Wie man die Beziehung für die Zeitableitung in einem rotierenden Bezugssystem ableitet

Die Komponenten jeder Vektorfunktion können auf jeder gewünschten Basis geschrieben werden. Lassen Sie insbesondere

$$\begin{align} \mathbf A_L(t) = (A^1_L(t) , A^2_L(t), A^3_L(t)) \end{align}$$ bezeichnen die Komponenten einer Vektorfunktion, wie sie in einer im Labor festgelegten orthonormalen Basis geschrieben sind, und lassen $$\begin{align} \mathbf A_R(t) = (A^1_R(t), A^2_R(t), A^3_R(t)) \end{align}$$ bezeichnen die Komponenten desselben Vektors, wie er in einer rotierenden orthonormalen Basis geschrieben ist. Diese Komponenten werden durch eine zeitabhängige spezielle orthogonale Matrix (Rotation) in Beziehung gesetzt; $$\begin{align} \mathbf A_L(t) = R(t)\mathbf A_R(t) \end{align}$$ Beachten Sie insbesondere, dass das Nehmen von Zeitableitungen auf beiden Seiten ergibt $$\begin{align} \dot{\mathbf A}_L(t) &= R(t) \dot{\mathbf A}_R(t) + \dot R(t) \mathbf A_R(t) \\ &= R(t) \dot{\mathbf A}_R(t) + \dot R(t) R(t)^T\mathbf A_L(t) \end{align}$$ Seit $R(t)$eine orthogonale Matrix ist, haben wir $$\begin{align} R(t)R(t)^T = I \end{align}$$ und indem wir Ableitungen von beiden Seiten nehmen und die Tatsache verwenden, dass Zeitableitungen und Matrixtransponierte pendeln, finden wir das $$\begin{align} \dot R(t) R(t)^T = -(\dot R(t)R(t)^T)^T \end{align}$$ mit anderen Worten, $\dot R(t) R(t)^T$ist eine antisymmetrische Matrix. Wir verlieren keine Allgemeingültigkeit, indem wir daher schreiben $$\begin{align} \dot R(t) R(t)^T = \Omega(t) \end{align}$$ Wo $$\begin{align} \Omega(t) = \begin{pmatrix} 0 & -\omega^3(t) & \omega^2(t) \\ \omega^3(t) & 0 & -\omega^1(t) \\ -\omega^2(t) & \omega^1(t) & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$ für einen Vektor von Funktionen $\boldsymbol\omega=(\omega^1, \omega^2, \omega^3$). Daher haben wir $$\begin{align} \dot {\mathbf A}_L(t) = R(t)\dot{\mathbf A}_R(t) + \Omega(t)\mathbf A_L(t) \end{align}$$ Es ist einfach, diese Multiplikation mit explizit zu zeigen $\Omega(t)$entspricht einem Kreuzprodukt von $\boldsymbol\omega(t)$, damit wir schreiben können $$\begin{align} \Omega(t) \mathbf A_L(t) = \boldsymbol\omega(t)\times\mathbf A_L(t) \end{align}$$ und wir sind daher auf den Ausdruck angewiesen $$\begin{align} \boxed{\dot{\mathbf A}_L(t) = R(t)\dot{\mathbf A}_R(t) + \boldsymbol\omega(t)\times\mathbf A_L(t)} \end{align}$$ Wenn wir die Identifizierungen vornehmen $$\begin{align} \dot{\mathbf A}_L(t) &=\left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_\mathrm{laboratory} \\ R(t)\dot{\mathbf A}_R(t) &=\left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_\mathrm{rotating} \end{align}$$ dann sehen wir, dass dies Ihrer Formel entspricht. Meiner Meinung nach ist die Physikernotation in der Formel, die Sie aufgeschrieben haben, äußerst verwirrend, und ich ziehe es vor, die beschreibendere Notation in dem oben stehenden Ausdruck zu verwenden. Ich finde, dass es zu weniger Fehlern führt und konzeptionell klarer ist.

Ich werde zweidimensionale Referenzrahmen betrachten und eine Galilei-Transformation verwenden, die an Ihr spezielles Problem angepasst ist. So stelle ich mir das vor:

Hier,$\vec{r}$ist der Positionsvektor eines Punktes, gesehen vom Laborrahmen;$\vec{r_0}$der Positionsvektor der Mitte des anderen (bewegten) Rahmens ist; Und$\vec{r'}$ist die Position des Punktes, gesehen vom grundierten Rahmen. Beachten Sie, dass$\vec{r'}$wird einen Kreis beschreiben, also können wir ihn schreiben als:

$$\vec{r'}=r'\cos(\omega t) \vec{i}+r'\sin(\omega t) \vec{j}$$ (unter der Annahme, dass das Teilchen in einem Winkel beginnt $0$Wenn $t=0$).

Nun, klar, wir haben$\vec{r}=\vec{r_0}+\vec{r'}$. Differenziert man dies nach der Zeit, erhält man:

$${\frac{d\vec{r}}{dt}}={\frac{d\vec{r_0}}{dt}}+{\frac{d\vec{r'}}{dt}}$$

was dasselbe ist wie

$$\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{v'}$$ Wo $\vec{v}$ist die vom Laborrahmen aus gesehene Geschwindigkeit, $\vec{v_0}$ist die Geschwindigkeit des sich bewegenden Rahmens, und $\vec{v'}$ist die Geschwindigkeit im bewegten Rahmen.

Aber$\vec{v'}={\frac{d\vec{r'}}{dt}}=-\omega r'\sin(\omega t)\vec{i}+\omega r'\sin(\omega t)\vec{j}$, sodass wir schließlich erhalten:

$$\vec{v}=\vec{v_0}+\omega r' [-\sin(\omega t)\vec{i}+\cos(\omega t)\vec{j}]$$

Um die Beschleunigungen zu finden, kann man diesen Zusammenhang nochmals differenzieren.