Rotierendes Federsystem: Stimmt meine Intuition?

Nehmen wir Polarkoordinaten an. Fixieren Sie den rotierenden Körper am Ursprung. Alles passiert in einem Flugzeug. Ich gehe davon aus, dass sich beide Federn mit dem rotierenden Körper drehen, also der Bewegung folgen. Sie haben also die gleiche Winkelgeschwindigkeit$\theta$.

Nehmen wir das Trägheitsmoment des rotierenden Körpers im Ursprung als J. Ich unterstelle auch eine Symmetrie des Systems in der Weise, dass beide Federn gleich sind und die Massen im gleichen Abstand beginnen, notiert$r$. Der Lagrangian des Systems ist dann

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}M\left(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\right) + \frac{1}{2}M\left(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\right) + \frac{1}{2}J\dot{\theta}^2 - \frac{1}{2}kr^2 - \frac{1}{2}kr^2$$

$\theta$Da es sich um eine zyklische Variable handelt, bleibt der Gesamtdrehimpuls erhalten

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}} = (2Mr^2+J)\dot{\theta} = c$$

Wo$c$ist eine Konstante. Dies ist ein Ergebnis, das Sie auch bei der Newtonschen Mechanik finden können. Keine Kraft erzeugt ein Drehmoment auf das System, da die Federkraft orthogonal zur Bewegung ist. Dann ist das Gesamtträgheitsmoment mit Hilfe des Satzes von Steiner$2Mr^2 + J$und der Drehimpuls folgt wie oben. Diese Konstante hilft uns, Ihre Frage zu beantworten. Um zu wissen, ob$\dot{\theta}$wird verlangsamen und beschleunigen usw. Wir müssen das Verhalten von kennen$r(t)$. Dies ist durch die Euler-Lagrange-Gleichungen für gegeben$r$, die Sie wiederum mit einer Newtonschen, aber langwierigen Kraftdiagrammstudie erhalten könnten:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r} = 0$$ die es nach Durchführung gibt

$$2M\ddot{r} - 2Mr\dot{\theta}^2 +2kr = 0 \text{ or } \ddot{r} = r\dot{\theta}^2 - \omega_0^2 r = (\dot{\theta}^2 - \omega_0^2)r$$

Wo$\omega_0^2 \equiv \frac{k}{M}$. Diese Differentialgleichung ist schwer zu lösen, auch wenn wir einsetzen$\dot{\theta}$aus der Erhaltungsgröße, aber sie sagt uns zwei Dinge aus der letzten Differentialgleichung:

1. Ist der Fliehkraftanteil größer als der Federanteil, gehorcht die Bewegung annähernd divergierenden Exponentialen$\ddot{r} \sim z r$mit$z > 0$. Intuitiv bedeutet dies, dass die an der Feder befestigte Masse so stark rotiert, dass die Feder nicht ausreicht, um sie auf einer Kreisbewegung zu halten, und somit die Massen immer weiter auseinander gehen.
2. Wenn beide Beiträge gleich sind, bedeutet dies, dass wir uns in einem stationären Bereich befinden, in dem die Federkraft gerade ausreicht, um die Masse auf einem Kreis zu halten, und dies bedeutet, dass es keine Schwingung gibt und die Winkelgeschwindigkeit konstant ist.
3. Überwiegt die Federkraft den Fliehkraftanteil, dann liegt ein oszillierendes Verhalten vor und Ihre Intuition ist richtig.

Beachten Sie jedoch, dass für den ersten Punkt, wie$r$divergent weggeht, sagt uns die Erhaltungsgröße, dass die Winkelgeschwindigkeit abnehmen sollte, damit die Masse zurückkommen kann, da die Federkraft den zentrifugalen Anteil übernehmen würde. Alles in allem würde die Masse also zurückkommen, aber ich weiß nicht, wie oszillierend das wäre. Das Beste wäre, die obige Differentialgleichung numerisch zu lösen, um alle Fälle zu untersuchen.

Soweit ich verstanden habe, gibt es zwei Fälle:

1. Rotor: Befindet sich am Ende der A1-Achse ein Rotor, der sich mit konstanter Drehzahl dreht, dann bleibt die Winkelgeschwindigkeit offensichtlich erhalten. In diesem Fall wird jedoch nicht immer Energie gespart (der Durchschnitt über lange Zeiträume ist es jedoch); und der Rotor erhält zeitweise etwas Energie und verrichtet zu anderen Zeiten Arbeit.

2. Freie Drehung: Da in diesem Fall keine externe Energiequelle vorhanden ist, bleibt die Gesamtenergie erhalten. Außerdem gibt es nichts, um ein Drehmoment bereitzustellen, sodass auch der Drehimpuls erhalten bleibt. Wie Sie bereits sagten, bedeutet dies, dass sich das System schneller dreht, wenn sich die beiden Massen der Achse nähern (was auch bei der Energieerhaltung Sinn macht).