Rotierender Stab Als Kegelpendel

Stellen Sie sich einen starren Stab vor, der an seinem oberen Punkt angelenkt ist und im Kreis herumgewirbelt wird (ähnlich einem konischen Pendel). Es ist gegeben, dass die Winkelgeschwindigkeit (und damit der Halbvertikalwinkel) konstant ist . Ich versuche, dieses System zu analysieren:

  1. Aus dem Drehrahmen kommt die Stange in Ruhe. Somit muss das Nettodrehmoment Null sein. Wir müssen auch Pseudokräfte berücksichtigen. Betrachten Sie ein Massenelement D M der Länge dx im Abstand x vom Gelenkpunkt. Es dreht sich in einem Radiuskreis X S ich N ( θ ) Es übt also ein Drehmoment aus: ( D M ) ( ω 2 ) ( X S ich N θ ) ( X C Ö S θ ) über den Aufhängepunkt. Dies muss durch das Drehmoment von weight= ausgeglichen werden D M G X S ich N θ . Das Gleichsetzen dieser beiden Integrale ergibt eine Beziehung zwischen ω Und θ .
  2. Aus dem Bodenrahmen ist jedoch klar, dass es ein Nettodrehmoment (aufgrund des Gewichts) um den Aufhängungspunkt geben wird, was mich die Tatsache in Frage stellen ließ ω ist konstant. Betrachtet man jedoch die Rotationsachse , M G kann kein Drehmoment erzeugen, da es parallel zur Achse ist! Deshalb auch ω ist konstant? Welche Bedeutung hat es dann, wenn das Nettodrehmoment um den Aufhängungspunkt nicht Null ist?
  3. Eine (ungelöste) Abbildung in meinem Lehrbuch fragt nach der "Drehimpulsänderungsrate" des Stabes. Da dies gleich dem "Drehmoment" ist, was muss ich beachten? Drehmoment um den Aufhängepunkt? oder um die Achse? und warum?
Sie haben vergessen, die Spannung der Stange hinzuzufügen
@maverick Geht das nicht immer durch den Aufhängungspunkt und die Achse? Es sollte kein Drehmoment erzeugen
Ja, in Bezug auf den Aufhängungspunkt wird es aufgrund der Spannung kein Drehmoment geben, aber es kann nützlich sein, Kräfte auszugleichen, die sich im Gleichgewicht befinden

Antworten (2)

Ich glaube, Sie haben die Frage falsch verstanden, wo sich der Stab nicht um die Achse dreht , sondern gewirbelt wird , was bedeutet, dass er gezwungen wird, sich mit einer konstanten Frequenz zu drehen, und noch nicht im Gleichgewicht ist. Daher ist die Annahme, dass der halbvertikale Winkel konstant ist, falsch. Die Winkelgeschwindigkeit ist konstant, aber das Trägheitsmoment um die Achse ändert sich mit dem Winkel, wodurch sich der Drehimpuls ändert. Dies ist wahrscheinlich das, was Sie berechnen sollen (möglicherweise die sofortige Änderungsrate bei einem bestimmten Winkel, ich kenne die genaue Frage nicht). Sie können dies mit einem Freikörperdiagramm tun.

Typischerweise versuchen wir, eine Beziehung zwischen dem Öffnungswinkel des Kegels (zwischen dem Stab und der Vertikalen) und der Winkelgeschwindigkeit der Rotation zu finden.

Es wird beschlossen, das Problem in dem Trägheitsbezugssystem zu untersuchen, das durch Punkt O gegeben ist, wo der Stab an der Decke befestigt ist. Die Bewegung des Stabes ist eine Drehung um die durch O verlaufende vertikale Achse, die keine Symmetrieachse des Stabes ist. Da der Drehimpuls des Stabs keine Symmetrieachse ist, ist er in Bezug auf den Punkt O nicht parallel zur Winkelgeschwindigkeit und folgt einer Präzessionsbewegung. Der Drehimpuls geht mit gleicher Geschwindigkeit voraus ω → mit der sich der Stab dreht und daher folgt seine Bewegung dem Gesetz:

D L → Ö D T = ω → × L → Ö
Für die zweite Kardinalgleichung ist die zeitliche Ableitung des Drehimpulses nach einem festen Pol gleich dem Drehmoment. Die an diesem Trägheitssystem beteiligten Kräfte sind ausschließlich die Zwangskraft der Decke und die Gewichtskraft. Die Zwangskraft der Decke erzeugt kein Drehmoment, da sie am Punkt O angreift. Die Gewichtskraft ist eigentlich ein ganzes Feld paralleler Gewichtskräfte, die auf jeden Punkt des Objekts wirken. Wir wenden das Parallelkraftfeld-Theorem an, das uns sagt, dass das durch die Gewichtskräfte gegebene Gesamtdrehmoment gleich dem Drehmoment der gesamten Gewichtskraft ist, die im Schwerpunkt in der Mitte der Stange aufgebracht wird.
D L → Ö D T = ω → × L → Ö = τ → Ö = R → C M × W →
Wir beobachten, dass beide Vektorprodukte tatsächlich einen Vektor in ausgehender Richtung erzeugen. Wir setzen Gleichheit zwischen den Modulen durch
ω → × L → Ö = R C M × W →
ω L Ö Sünde ⁡ ( π / 2 − θ ) = l 2 M G Sünde ⁡ ( θ )
ω L Ö cos ⁡ ( θ ) = l 2 M G Sünde ⁡ ( θ )
ω L Ö = l M G 2 bräunen ⁡ ( θ )
Der Drehimpuls L Ö scheint schwierig zu berechnen, da sich das Objekt um eine nicht symmetrische Achse dreht. Wir können es jedoch einfach aus der Definition berechnen:
L → Ö = ∑ ich R → ich × M ich v → ich
L → Ö = ∑ ich M ich R → ich × ( ω → × R → ich )
Die Summierung nimmt Vektoren mit der gleichen Richtung und Orientierung, daher ist das Modul der Summierung die Summe der Module. Indem wir bei der Berechnung der Module aufpassen, erhalten wir
L Ö = ∑ ich M ich R ich 2 w Sünde ⁡ ( π − θ ) = ∑ ich M ich R ich 2 w Sünde ⁡ ( θ )
Der Stab hat eine kontinuierliche und gleichmäßige Materieverteilung, sodass wir entlang seiner Länge integrieren.
L Ö = ∫ 0 l R 2 ω Sünde ⁡ ( θ ) D M = ∫ 0 l R 2 ω Sünde ⁡ ( θ ) M l D R = ω Sünde ⁡ ( θ ) M l 2 3
Einsetzen in die zuvor gefundene Gleichung:
ω 2 Sünde ⁡ ( θ ) M l 2 3 = l M G 2 bräunen ⁡ ( θ )
ω 2 = 3 G 2 l cos ⁡ ( θ )
Das drückt die Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit und dem Winkel zwischen dem Stab und der Vertikalen aus. Aus diesem Ausdruck lässt sich auch eine Mindestdrehgeschwindigkeit ableiten, damit das Kegelpendelregime aufrechterhalten werden kann: 0 < cos ⁡ ( θ ) < 1 So ω Mindest 2 = 3 G / 2 l .

Die gleichen Ergebnisse können erzielt werden, wenn wir uns in einen nicht trägen Referenzrahmen versetzen, der sich mit der Stange dreht und in O zentriert ist. In diesem Fall erzeugen die scheinbare Zentrifugalkraft, die sich von Punkt zu Punkt der Stange unterscheidet, und die Gewichtskraft das Drehmoment, das ermöglicht Drehungen. In dem gewählten System ist das Objekt stationär und daher kann auferlegt werden, dass die Summe der externen Drehmomente Null ist. Indem man sich in das Nicht-Inertialsystem hineinversetzt, kann man das Problem also zu einem Statikproblem machen.

Das ist meine Herangehensweise an das Problem. Beim Versuch mit dem Nicht-Trägheitsrahmen erhielt ich das gleiche Ergebnis.

Rotierender Stab Als Kegelpendel
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