Warum gibt es Drehmoment?

Also hat @lemon in den Kommentaren eine gute Erklärung gegeben, die die Frage für mich erfüllt. Wenn Sie mehr beizutragen haben, tun Sie dies bitte.

Wenn Sie einen Körper drehen (ein Drehmoment anwenden), leisten Sie Arbeit, um ihn um einen Winkel zu drehen. Die gleiche Menge an Arbeit wird benötigt, um diesen Winkel abzudecken, egal was passiert. Bei einem größeren Abstand von der Achse ist der Bogen größer, es gibt mehr Abstand, um den gleichen Winkel zurückzulegen. Wenn also die erforderliche Arbeit die gleiche ist, aber über eine größere Entfernung ausgeübt wird, benötigen Sie weniger Kraft.

Der Momentarm beeinflusst die Kraft in einem Drehmoment, da ein größerer Momentarm, Radius oder senkrechter Abstand mehr Abstand bedeutet, um den gleichen Drehwinkel abzudecken.

Wow, das ist tatsächlich eine tiefe Frage, die eine tiefe Antwort rechtfertigt.

Die Art und Weise, wie ich die Newtonsche Mechanik interpretiere, ist, dass das Drehmoment, genau wie die lineare Geschwindigkeit, ein reines Ergebnis ist, das etwas in der Ferne passiert . Nämlich eine Kraft oder eine Rotation. Tatsächlich sind für mich Kräfte und Rotationen grundlegend für die Beschreibung der Starrkörpermechanik und Drehmomente und Geschwindigkeiten zweitrangig.

Folgendes benötigen Sie, um die Belastung eines starren Körpers vollständig zu beschreiben:

1. Stärke der Kraft,$F$
2. Kraftrichtung,$\vec{e}$
3. Position (Achse) erzwingen$\vec{r}$ oder Drehmoment am Ursprung$\vec{\tau}$.

Und hier sind die abgeleiteten Eigenschaften aus diesen Informationen:

1. Vektor erzwingen,$\vec{F} = F \vec{e}$
2. Drehmoment am Ursprung,$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ oder Position (Achse) erzwingen$\vec{r} = \frac{\vec{F} \times \vec{\tau}}{F^2}$
3. Kraftsteigung (Verhältnis Linear zu Winkel)$h = \frac{\vec{F} \cdot \vec{\tau}}{F^2}$

$$\boldsymbol{f} = \begin{Bmatrix} \vec{F} \\ \vec{\tau} \end{Bmatrix} = F \begin{Bmatrix} \vec{e} \\ \vec{r} \times \vec{e} + h \vec{e} \end{Bmatrix}$$

Analog gilt für die Bewegung eines starren Körpers:

1. Rotationsgröße,$\omega$
2. Drehrichtung,$\vec{e}$
3. Rotation (Achse) Position$\vec{r}$ oder Geschwindigkeit am Ursprung$\vec{v}$.

Und hier sind die abgeleiteten Eigenschaften aus diesen Informationen:

1. Rotationsvektor,$\vec{\omega} = \omega \vec{e}$
2. Geschwindigkeit am Ursprung,$\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$ oder Rotation (Achse) Position$\vec{r} = \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}}{\omega^2}$
3. Bewegungssteigung (Verhältnis Linear zu Winkel)$h = \frac{\vec{\omega} \cdot \vec{v}}{\omega^2}$

$$\boldsymbol{v} = \begin{Bmatrix} \vec{\omega} \\ \vec{v} \end{Bmatrix} = \omega \begin{Bmatrix} \vec{e} \\ \vec{r} \times \vec{e} + h \vec{e} \end{Bmatrix}$$

Außerdem wird Impuls ähnlich wie Kräfte beschrieben:

1. Impulsgröße,$p$
2. Impulsrichtung,$\vec{e}$
3. Momentum (Achse) Ort$\vec{r}$ oder Drehimpuls am Ursprung$\vec{L}$.

Und hier sind die abgeleiteten Eigenschaften aus diesen Informationen:

1. Impulsvektor,$\vec{p} = F \vec{e}$
2. Drehimpuls am Ursprung,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ oder Momentum (Achse) Position$\vec{r} = \frac{\vec{p} \times \vec{L}}{p^2}$
3. Momentum Pitch (lineares Winkelverhältnis)$h = \frac{\vec{p} \cdot \vec{L}}{p^2}$

$$\boldsymbol{p} = \begin{Bmatrix} \vec{p} \\ \vec{L} \end{Bmatrix} = p \begin{Bmatrix} \vec{e} \\ \vec{r} \times \vec{e} + h \vec{e} \end{Bmatrix}$$

Nun werden die Grundgleichungen der Mechanik für einen starren Körper wie folgt beschrieben:

$$\begin{align} \boldsymbol{p} &= \mathrm{I} \boldsymbol{v}\\ \boldsymbol{f} &= \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \boldsymbol{p} \end{align}$$

mit$\rm I$eine geeignete 6×6 räumliche Trägheitsmatrix. Liegt der Schwerpunkt bei$\vec{r}_C$und die 3×3 Trägheitsmatrix um den Massenmittelpunkt ist$\mathcal{I}_C$Dann

$${\rm I} = \begin{Bmatrix} m & -m [\vec{r}_C]\times \\ m [\vec{r}_C]\times & \mathcal{I}_C - m [\vec{r}_C]\times [\vec{r}_C]\times \end{Bmatrix}$$

Von diesem langen Weg aus sehen Sie also, dass Drehmoment nicht direkt benötigt wird, außer um den Ort zu vermitteln, an dem Kräfte durchgehen. Die gleichung$\boldsymbol{p} = \mathrm{I} \boldsymbol{v}$hat eine geometrische Interpretation, da beide$\boldsymbol{p}$Und$\boldsymbol{v}$sind Linien im Raum. Diese Gleichung ist eine Eins-zu-Eins-Abbildung, die sich auf die Pol-Polar-Beziehung in der planaren Geometrie bezieht. Schließlich der Momentarm des Momentums$\ell$hängt mit dem Momentenarm der Drehung zusammen$c$mit dem Ausdruck$\ell = \frac{\kappa^2}{c}$Wo$\kappa$ist der Trägheitsradius des starren Körpers entlang der Achsenbewegung.

_{NOTIZ:$\times$ist das Vektorkreuzprodukt und$\cdot$ist das Punktprodukt des Vektors. Auch$[\vec{c}\times]$ist eine 3 × 3 schiefe symmetrische Matrix, so dass$[\vec{c}\times] \vec{a} = \vec{c} \times \vec{a}$}

_Verweise:

1. Räumliche Trägheit (Folien)
2. Räumliche Vektoralgebra (pdf)

3. Ableitung von Bewegungsgleichungen (diese Seite)

Die Antwort, die Lemon gab, ist intuitiv, aber ich denke, seine Begründung ist der Kürze halber etwas vereinfacht.

Im Allgemeinen kann ein Objekt mit beliebig viel Arbeit um jeden Winkel gedreht werden. Stellen Sie sich vor, ein Stab sitzt im freien Raum, das System hat unabhängig von der Ausrichtung des Stabs die gleiche Energie. Wenn Sie den Stab drehen, geben Sie ihm einen Drehimpuls um eine Achse. Die Arbeit, die Sie an der Stange geleistet haben, ist$\frac{1}{2} I \omega_\text{max}^2$(oder die Tensorform für ausreichend komplizierte Rotationen) durch den Arbeits-Energie-Satz. Wenn die Stange angehalten wird, verrichtet sie die gleiche Arbeit an dem Objekt, das sie angehalten hat. Die geleistete Arbeit ist dann entweder 0 oder eine Funktion der Rotationsgeschwindigkeit, je nachdem, ob vor oder nach dem Stoppen der Stange gefragt wird.

Es gibt ein paar Argumentationslinien, die wir verwenden können, um dieses Problem zu berücksichtigen. Betrachten Sie zuerst die, vielleicht tiefer liegende Frage des Drehimpulses. Das Drehmoment verhält sich zum Drehimpuls wie die Kraft zum linearen Impuls. Der "Grund, warum das Drehmoment mit dem Hebelarm zunimmt" ist das kanonische Moment für den Koordinatenwinkel$\theta$hat ein$mR$als Vorstufe zu$\dot{\theta}$. Wenn wir den Winkel verwenden$\theta$Um unser Problem zu betrachten, ist die relevante Masse für Punktobjekte nicht$m$, es ist$mR$.

Gibt es einen anderen Weg, wie wir versuchen können, das zu verstehen, warum sollte?$m \to mR$wenn wir in Polarkoordinaten arbeiten? Nun, es ist weil$\theta$ist keine Entfernung;$R \theta$Ist. Also die Entfernung, die mit einer Verschiebung verbunden ist$\delta \theta$Ist$R \delta \theta$. Und die virtuelle Arbeit , die mit dieser Verschiebung gegen eine lineare Kraft verbunden ist$F$Ist$F R \delta \theta$. Deshalb können Sie mit der gleichen Kraft auf größere Entfernung mehr Arbeit leisten$R$.

Ihre Verwirrung besteht darin, dass Sie beim Arbeiten mit Drehmomenten und beim Arbeiten mit linearen Kräften grundsätzlich in unterschiedlichen Koordinatensystemen arbeiten. Ein Wechsel ein$\theta$Mit einem Drehmoment ist in der Art und Weise eine Änderung verbunden$x$ist einer Kraft zugeordnet. Wenn Sie Kräfte in Drehmomente übersetzen möchten, übersetzen Sie implizit von Linear- in Polarkoordinaten.

Die Rotationsversion von Newtons zweitem Gesetz besagt:

Das auf ein System wirkende Gesamtnettodrehmoment ist gleich dem Produkt aus seinem Trägheitsmoment und der Winkelbeschleunigung, die es aufgrund dieses Drehmoments erfährt.

Die andere Version dieses Gesetzes lautet:

Das auf ein System wirkende Gesamtnettodrehmoment ist gleich der Änderungsrate des Drehimpulses des Systems.

Der einzige Grund für das Vorhandensein eines Gesamtnettodrehmoments ungleich Null ist also ein nicht erhaltener Drehimpuls im betrachteten System. Das System ist nicht isoliert.

Danke,