Warum hängt das Kraftmoment (auch bekannt als Drehmoment) vom senkrechten Abstand ab?

Beide$\vec p$Und$\vec r_2-\vec r_1$beginnen am selben Punkt, und die Spitzen beider Vektoren bilden eine Linie$H$. Wir wissen, dass der Hebelarm der senkrechte Abstand von der Rotationsachse zur Kraft und der senkrechte Abstand vom Ursprung beider Vektoren zur Linie ist$H$ist offensichtlich gleich.

Sie können auch sehen, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist

$\vec a \times \vec b$=$|a||b|sin\theta$

hat ein$sin \theta$Begriff. In unserem Fall findet dieser Begriff die Projektion von$\vec r_2-\vec r_1$An$\vec p$. (Die Projektion entspricht der Länge von$\vec p$Die Momentarme sind also wieder die gleichen.)

Edit: Mit Ursprung meine ich den Punkt wo beides$\vec p$Und$\vec r_2 - \vec r_1$Start.

Weil:

$$\vec p = \vec r_2 - \vec r_1 -r_3,$$ Wo $\vec r_3$ist die unbeschriftete Seite des Dreiecks, die parallel zu ist $\vec H$. $$\vec r_2 - \vec r_1 = \vec p + \vec r_3$$ $$(\vec r_2 - \vec r_1) \times \vec H = \vec p \times \vec H + \vec r_3 \times \vec H$$ Aber $\vec H$Und $\vec r_3$sind also parallel $\vec r_3 \times \vec H = 0$, Und $$(\vec r_2 - \vec r_1) \times \vec H = \vec p \times \vec H$$ .

Eine Kraft wirkt auf eine Linie und die Auswahl eines beliebigen Punktes entlang der Linie macht keinen Unterschied in Bezug auf das erzeugte Moment. Tatsächlich entspricht das Kreuzprodukt der Fläche des Dreiecks, das durch den Kraftvektor und den Punkt O gebildet wird , an dem das Moment berechnet wird. Im Bereich des Dreiecks kommt es auf die Höhe des Dreiecks (senkrechter Abstand) an und hier gilt dasselbe.

Da hier zwei beliebige Punkte entlang der beiden Linien ausreichen würden, wählt der Autor den Spezialfall des minimalen Abstands (senkrechter Abstand).