Wie kann man die Mehrdeutigkeit der Vektorauflösung verstehen?

Question

Wie kann man die Mehrdeutigkeit der Vektorauflösung verstehen?

Harsch Darji

Wenn wir Probleme lösen, bei denen ein Pendel an einer straffen, nicht dehnbaren Schnur aufgehängt ist und die Frage nach der Spannung fragt, die sich in der Schnur am höchsten Punkt des Schwungs des Bobs entwickelt hat. Das Folgende ist der herkömmliche Ansatz zum Lösen des Problems.

Wie Sie sehen können, löste sogar ich die Spannung und $mg$ in ihre jeweiligen Bestandteile. Die Verwirrung, die ich hatte, war - hier $T=mg\cos\theta$ Und $mg=T\cos\theta$ . Woher weiß ich, welche ich in Betracht ziehen sollte? Weil beide gleich sinnvoll sind (zumindest für mich) - ihre Richtungen passen perfekt zusammen.

Andreas Steane

Achtung: der Pendelkörper ist nicht im statischen Gleichgewicht; es beschleunigt sich.

Harsch Darji

Ich würde mich freuen, wenn Sie mir eine vollständige Antwort geben , anstatt mir Hinweise zu geben. Ich habe lange genug um dieses Problem herumgeschwirrt.

Michael Seifert

Ich glaube, @AndrewSteanes Punkt ist, dass keine Ihrer Gleichungen wahr ist, weil die Nettokraft auf den Bob nicht Null ist. Ich schreibe jetzt eine ausführlichere Antwort.

Harsch Darji

Oh, in Ordnung. Was wäre dann die richtige Vorgehensweise? Es tut mir so leid, dass ich dich bitten muss, mich mit dem Löffel zu füttern, aber ich bin irgendwie neu in dieser ganzen Sache und es fällt mir schwer, mich damit zu beschäftigen.

Michael Seifert

(Eigentlich ist mein obiger Kommentar nicht wahr; die

T = m g \cos θ

$T = mg \cos \theta$ Gleichung gilt hier. Siehe meine Antwort, sobald sie gepostet wurde.)

Harsch Darji

Gut, danke. Ich warte

Harsch Darji

@AndrewSteane Ich habe vergessen zu erwähnen, dass die Situation, die ich gezeichnet habe, in einem Moment ist, in dem der Bob seinen höchsten Punkt erreicht hat. Ich glaube, es heißt Dynamic Equilibrium

Rambal Herz-Remo

Mit welcher Software haben Sie diese FBD gezeichnet?

Harsch Darji

Ich habe Microsoft OneNote verwendet

Antworten (3)

Wie kann man die Mehrdeutigkeit der Vektorauflösung verstehen?

Achtung: der Pendelkörper ist nicht im statischen Gleichgewicht; es beschleunigt sich.
Ich würde mich freuen, wenn Sie mir eine vollständige Antwort geben , anstatt mir Hinweise zu geben. Ich habe lange genug um dieses Problem herumgeschwirrt.
Ich glaube, @AndrewSteanes Punkt ist, dass keine Ihrer Gleichungen wahr ist, weil die Nettokraft auf den Bob nicht Null ist. Ich schreibe jetzt eine ausführlichere Antwort.
Oh, in Ordnung. Was wäre dann die richtige Vorgehensweise? Es tut mir so leid, dass ich dich bitten muss, mich mit dem Löffel zu füttern, aber ich bin irgendwie neu in dieser ganzen Sache und es fällt mir schwer, mich damit zu beschäftigen.
(Eigentlich ist mein obiger Kommentar nicht wahr; die $T = mg \cos \theta$ Gleichung gilt hier. Siehe meine Antwort, sobald sie gepostet wurde.)
@AndrewSteane Ich habe vergessen zu erwähnen, dass die Situation, die ich gezeichnet habe, in einem Moment ist, in dem der Bob seinen höchsten Punkt erreicht hat. Ich glaube, es heißt Dynamic Equilibrium

Biophysiker · Answer 1

Wie aus den Kommentaren hervorgeht, ist eine Ihrer Gleichungen falsch, da davon ausgegangen wird, dass der Bob am höchsten Punkt nicht vertikal beschleunigt. Auch wenn dies nicht wirklich das Hauptziel Ihrer Frage ist, arbeiten wir zunächst mit den richtigen Gleichungen, damit wir das aus dem Weg räumen können.

Radial haben wir eine Zentripetalbeschleunigung, also entlang der Zugkraft, die wir haben

T - M G \cos θ = M A_{C} = \frac{M v^{2}}{L}

$T-mg\cos\theta=ma_{\text c}=\frac{mv^2}{L}$ Wo

L

$L$ ist die Länge der Zeichenfolge und

v

$v$ ist die Geschwindigkeit des Bobs. Wenn der Bob seine maximale Höhe erreicht hat, dann

v = 0

$v=0$ Und

T = m g \cos θ

$T=mg\cos\theta$ .

Vertikal haben wir etwas Beschleunigung $a_y$ so dass

T \cos θ - M G = M A_{j}

$T\cos\theta-mg=ma_y$

Auf maximaler Höhe $a_y\neq0$ , So $mg=T\cos\theta$ hält hier nicht. Irgendwann zwischen der maximalen und minimalen Höhe wird sie aber gültig sein, da die Vertikalbeschleunigung in dieser Zeit irgendwann das Vorzeichen wechseln muss.

Kommen wir nun zu Ihrem konzeptionellen Problem.

Woher weiß ich, welche ich in Betracht ziehen sollte? Weil beide gleich sinnvoll sind.

Du hast Recht! Beides sind gültige Gleichungen. Was Sie verwenden möchten, hängt davon ab, was Sie betrachten. Nur weil eine Gleichung gültig ist, bedeutet das nicht, dass sie nützlich ist. Zum Beispiel wird hier Energie gespart, also könnten wir auch die gültige Gleichung haben, die die maximale Geschwindigkeit des Bobs mit seiner maximalen Höhe über seinem niedrigsten Punkt in Beziehung setzt (vorausgesetzt, er macht keine vollen Schleifen um den Drehpunkt).

\frac{1}{2} M v_{max}^{2} = M G j_{max}

$\frac12mv_{\text{max}}^2=mgy_{\text{max}}$

aber wenn wir uns nicht um die maximale Geschwindigkeit oder maximale Höhe kümmern, dann hat diese Gleichung wenig Nutzen für uns.

Also, wenn Sie sich für die Zentripetalbeschleunigung interessieren, gehen Sie vielleicht mit dieser Gleichung. Wenn Sie sich die vertikale Bewegung ansehen möchten, schauen Sie sich vielleicht diese an. Viele Gleichungen können für einen Aspekt eines Systems gültig sein; Sie müssen lernen, welche Gleichungen für das, was Sie tun möchten, nützlich sind. Beachten Sie auch das Kontrapositiv: Nur weil eine Gleichung nicht nützlich ist, heißt das nicht, dass sie falsch ist; Das ist etwas, mit dem ich sehe, dass neue Physikstudenten sehr zu kämpfen haben.

Es tut mir leid, dass ich meine Frage etwas falsch formuliert habe. Bitte gehen Sie die letzte Änderung durch.
Trotzdem danke. Ihre Antwort hat noch viele Missverständnisse geklärt
@HarshDarji Fertig. Obwohl die letzte Änderung für den Hauptpunkt Ihrer Frage irrelevant ist.
Nein, was ich damit sagen wollte. Ich gehe davon aus, dass der Bob am höchsten Punkt ist. Sie sagten - Wie aus den Kommentaren hervorgeht, sind Ihre Gleichungen falsch, da davon ausgegangen wird, dass der Bob nicht beschleunigt.
Obwohl ja ... die letzte Änderung ist irgendwie irrelevant. Ich denke, es macht die Situation nur etwas spezifischer.
@HarshDarji Der Bob beschleunigt immer noch am höchsten Punkt. Aber ich denke, dann ist eine Ihrer Gleichungen richtig. Ich werde bearbeiten.
Können Sie das auch näher erläutern? Wie beschleunigt der Bob, wenn er momentan ruht (am höchsten Punkt)?
@HarshDarji Weil sich seine vertikale Geschwindigkeit immer noch ändert. Denken Sie zurück, wie Sie einen Ball in die Luft werfen. Am Scheitelpunkt ist seine Beschleunigung still $-g$ obwohl es momentan in Ruhe ist.
Oh ja! Vielen herzlichen Dank! Sie sind buchstäblich ein Lebensretter! Ich bin so dankbar für die Hilfe, die Sie mir gegeben haben.

Michael Seifert · Answer 2

Newtons zweites Gesetz ist $\vec{F} = m \vec{a}$ . In Bezug auf Vektorkomponenten wird dies

F_{X} = M A_{X} F_{j} = M A_{j} .

$F_x = m a_x \qquad F_y = m a_y.$ Je nachdem, wie wir unsere Koordinaten einrichten, haben wir möglicherweise eine oder beide

a_{x}

$a_x$ oder

a_{y}

$a_y$ nicht verschwindend. Aber wir können unsere Freiheit nutzen, um unsere Koordinatenachsen so zu wählen, wie wir unser Leben vereinfachen möchten. Insbesondere, wenn wir unsere Koordinatenachsen so wählen

\vec{a}

$\vec{a}$ Punkte entlang einer von ihnen, dann die andere Komponente von

\vec{a}

$\vec{a}$ ist Null. Dadurch verschwindet einer der Terme, was die Algebra vereinfacht.

Im vorliegenden Fall können wir unsere Äxte also holen $x$ -Achsenpunkte entlang des Bogens, den der Bob beschreiben wird, und die $y$ -axis zeigt entlang der Saite. Da wir uns am höchsten Punkt der Schaukel befinden, gibt es keine zentripetale Beschleunigung; also die beschleunigung $\vec{a}$ wird im sein $x$ -Richtung nur, mit $a_y = 0$ Und $a_x = a$ . Die Gleichungen werden dann

M G Sünde θ = M A T - M G \cos θ = 0.

$mg \sin \theta = m a \qquad T - mg \cos \theta = 0.$ Dieses Gleichungssystem ist besonders einfach nach den Unbekannten aufzulösen

T

$T$ Und

a

$a$ : wir werden haben

T = m g \cos θ

$T = mg \cos \theta$ Und

a = g \sin θ

$a = g \sin \theta$ .

Aber es ist wichtig zu beachten, dass die Wahl verschiedener Achsen nicht per se falsch ist; es macht die Algebra nur schwieriger. Angenommen, Sie wählen stattdessen horizontale und vertikale Achsen. In diesem Fall hätten Sie $a_x = a \cos \theta$ & $a_y = - a \sin \theta$ , und Newtons zweites Gesetz wäre (in diesen Komponenten)

T Sünde θ = M A \cos θ T \cos θ - M G = - M A Sünde θ .

$T \sin \theta = m a \cos \theta \qquad T \cos \theta - mg = -m a \sin \theta.$ Dieses Gleichungssystem ist schwieriger zu lösen

a

$a$ Und

T

$T$ , aber Sie können zeigen, dass die Lösung für

a

$a$ Und

T

$T$ ist genau das gleiche, was wir oben bekommen haben. (Versuch es!)

Herr Seifert, wenn das Pendel nicht auf Hochtouren schwingt, sorgt „T“ auch für Zentripetalkraft.
@ DavidWhite: Ja, ich habe es versäumt, diese Annahme in der ursprünglichen Version meiner Antwort zu erwähnen. Es wurde bearbeitet, um diese Annahme jetzt zu erwähnen.
@DavidWhite sieht so aus, als würde die Position des Bobs viele Probleme verursachen. Lassen Sie es mich etwas konkreter machen
@DavidWhite Sie können meine neueste Bearbeitung durchgehen
@HarshDarji, die Position des Bobs hat keine Verwirrung gestiftet. Was mehrdeutig ist, ist die Tangentialgeschwindigkeit des Bobs für das gegebene Bild.

RW Vogel · Answer 3

mg sin(θ) erzeugt ein Drehmoment, das eine Winkelbeschleunigung verursacht. T – mg cos(θ) ist nicht Null. Es muss eine Zentripetalbeschleunigung liefern. Das mg – T cos(θ) ergibt eine nach unten gerichtete Beschleunigungskomponente.

Wie kann man die Mehrdeutigkeit der Vektorauflösung verstehen?

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