Warum ist die Geschwindigkeit der Masse v/cosθv/cos⁡θv/ \cos θ ? Warum nicht 2vcosθ2vcos⁡θ2v \cos θ?

Stellen Sie sich vor, was passieren würde, wenn die beiden Riemenscheiben sehr nahe beieinander wären, also das$\theta$ist sehr nahe bei Null, und$\cos\theta$ist sehr nah an einem.

In diesem Fall steigt die Masse in der Mitte mit einer Geschwindigkeit von sehr nahe an$v$- und es steigt mit der gleichen Geschwindigkeit, egal wie viele der anderen Massen anwesend sind. Daher kann seine Geschwindigkeit unmöglich sein$\frac{2v}{\cos\theta}$. Es muss sein$\frac{v}{\cos\theta}$.

Da es vier Möglichkeiten gibt, können wir die Antwort sofort sagen, indem wir lassen$\theta$gehe zu$0$Und$\frac{\pi}{2}$. Indem man$\theta$gehe zu$0$, können wir 3) und 4) eliminieren, wie von @Dawood ibn Kareem erwähnt; indem man$\theta$gehe zu$\frac{\pi}{2}$, können wir 1) eliminieren.

Andernfalls können wir dieses Ergebnis mit etwas Berechnung erhalten. Um die Beschreibung zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Riemenscheiben unendlich klein sind (das ändert nichts am Problem). Geben Sie den Abstand zwischen an$A$Und$B$von$2d$, der Abstand zwischen$A$Und$P$von$y$, der vertikale Abstand zwischen$A$und der Aufhängepunkt durch$x$. Nun, davon ist die Saite nicht dehnbar, das wissen wir

(A)$u \cos\theta = v$ist richtig. Der Schnittpunkt der 3 Saiten (den ich Y nennen werde) bewegt sich mit Geschwindigkeit nach oben$u$. Dieser Punkt Y befindet sich am Ende der beiden Saiten, die mit P und Q verbunden sind. Jede Saite AY und BY verkürzt sich mit der Geschwindigkeit$v$, also muss die Geschwindigkeitskomponente von Y entlang der Richtung jeder Saite sein$v$. Deshalb$v=u\cos\theta$ist richtig.

(B)$u=v\cos\theta$das ist nicht richtig. Der Punkt, an dem die Schnur an der Riemenscheibe P befestigt ist (ich nenne diesen Punkt A), bewegt sich mit Geschwindigkeit$v$im Winkel$\theta$zur Vertikalen. Die Bewegung von Y ist jedoch nicht die gleiche wie die Bewegung von A. Ebenso wie die Bewegung mit Geschwindigkeit$v$in Richtung AY dreht sich auch die Saite AY um Punkt A. Der Winkel$\theta$verändert sich. Die Bewegung von Y (am anderen Ende der Saite AY) ist also die Summe der radialen Komponente entlang AY und einer tangentialen Komponente senkrecht zu AY. Schreiben$u=v\cos\theta$ignoriert diese tangentiale Bewegung von Y senkrecht zu AY.

Der Unterschied zwischen (a) und (b) besteht darin, dass in (a) der Punkt Y keine Bewegung senkrecht zur Vertikalen hat, während in (b) der Punkt Y eine Bewegungskomponente senkrecht zu AY hat.

Wenn sich der Abschnitt der Saite AY nicht drehte, sondern einen konstanten Winkel beibehielt$\theta$mit der Vertikalen, dann hätten die Punkte A und Y die gleiche Geschwindigkeit, sowohl in Richtung als auch in Bezug auf die Größe. In diesem Fall$u=v\cos\theta$wäre richtig. Y würde sich in diesem Fall jedoch nicht vertikal bewegen. Es würde sich entlang AY bewegen. Es kann sich nicht gleichzeitig entlang BY und AY bewegen, da sich Y dann aufspalten müsste.

Beachten Sie, dass sich die Massen P und Q nicht mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen$v$(was passieren könnte, wenn sie unterschiedliche Gewichte haben) oder wenn die Winkel$\theta$auf jeder Seite der Vertikalen unterschiedlich sind (was passieren könnte, wenn Y nicht auf der Mittellinie zwischen A und B liegt), dann ist die Geschwindigkeit von Y nicht vertikal. Infolgedessen auch nicht$v=u\cos\theta$noch$u=v\cos\theta$wird richtig sein.