Wie beweisen wir, dass die nach unten gerichtete Kraft eines masselosen Seils auf eine Rolle, um die es sich wickelt, 2T2T2T ist?

Ich habe dieses Bild aus einem von Morins Problembüchern entnommen.

Das gesamte System steht unter dem Einfluss der Schwerkraft. Die Seile sind masselos, und der Kreis ist masselos.

Die ursprüngliche Frage fragt nach der Kraft, die die Hand auf die Rolle ausüben muss, um zu verhindern, dass die Rolle nach unten beschleunigt. Die Massen können sich frei bewegen, wie sie es tun werden, wenn eine der Massen größer als die andere ist. Was wir stillhalten wollen, ist der eigentliche Kreis.

Meine Frage bezieht sich auf einen bestimmten Schritt:

Warum muss die Kraft, die wir von oben aufbringen müssen, gleich sein?$2T$? Ich kenne die offensichtliche Antwort:

„Nun, denn wenn Sie das System analysieren, gibt es zwei Teile des Seils, die an der Rolle nach unten ziehen, wobei jeder mit einer Spannung nach unten gezogen wird$T$".

Aber was ich sehen möchte, ist, wie ein Seil, das eine Spannung von hat$T$Durchlaufen und sich um einen Kreis wickeln, bewirkt, dass sich das Seil anstrengt$2T$auf dem Kreis.

Das Argument, dass es die Nettokraft nach unten ist, reicht nicht wirklich aus: Wenn diese nach unten zeigenden Abschnitte jeweils an der Rolle hängen würden, wäre das Argument ausreichend.

Aber in diesem Fall wickelt sich das Seil mit jedem winzigen Abschnitt um die Rolle$dl$des Seils, das in vertikaler Richtung eine unterschiedliche Kraft auf die Rolle ausübt. Ich würde gerne sehen, wie sich die Summe aller Kräfte zusammensetzt, die durch das darüber gewickelte Seil nach unten auf die Rolle ausgeübt werden$2T$.

Meine Frage nochmal einfacher formuliert:

Wie integrieren wir die Normalkraft von winzigen Seilstücken über die gesamte kreisförmige Rolle, um eine vertikale Gesamtkraft von zu erhalten?$2T$drauf?

Hier ist meine bisherige Arbeit:

Wir beginnen mit dem Seil, das um die Rolle gewickelt ist, mit einer Spannung von$T$durch sie laufen. Ich habe die Massen nicht am unteren Ende des Seils gezeichnet, aber die Nettokraft des Seils ist nach unten gerichtet.

Dann betrachten wir ein kleines Stück Seil$dL$einen kleinen Winkel unterlegen$d \theta$

Da wir das Seil auf einer unendlich kleinen Fläche des Kreises betrachten, steht es senkrecht zum Radius des Kreises.

Die Kraft, die auf unsere ausgeübt wird$dL$von rechts ist$T$, und von links ist$T$.

Um die Komponente der Kraft in Richtung des Kreises und damit die Normalkraft zu erhalten, müssen wir die Komponente betrachten, die von beiden Seiten auf den Kreis zeigt,$Tsin(\frac{d\theta}{2})$, und addieren Sie sie dann zusammen, um eine Gesamtnormalkraft von zu erhalten$2Tsin(\frac{d\theta}{2})$in Richtung des Kreises zeigen (nicht unbedingt nach unten).

Aaaaand, ich bin mir nicht sicher, was ich von hier aus tun soll ...

Danke!