Was ist die resultierende Radialkraft, die die kreisförmige Bewegung einer Punktmasse erzeugt, die eine auf der Erdoberfläche befindliche Kugel herunterrollt?

Question

Was ist die resultierende Radialkraft, die die kreisförmige Bewegung einer Punktmasse erzeugt, die eine auf der Erdoberfläche befindliche Kugel herunterrollt?

evianpring

Stellen Sie sich eine feste Kugel ohne Reibung auf der Erdoberfläche vor. Stellen Sie sich eine Punktmasse auf der Kugel vor. Die Kugel hat nur eine geringe Anfangsgeschwindigkeit, so dass sie beginnt, sich die Kugel hinunter zu bewegen.

Die Gravitationskraft zeigt zum Erdmittelpunkt und hat Komponenten entlang der tangentialen und radialen Richtung der Flugbahn der Punktmasse.

F_{G} = - M G \cos θ \hat{R} + M G Sünde θ \hat{θ}

$F_g=-mg\cos{\theta}\ \hat{r}+mg\sin{\theta}\ \hat{\theta}$

Lassen Sie uns messen $\theta$ als Winkel, der mit dem vertikalen Durchmesser der Kugel gebildet wird, so dass die Punktmasse bei beginnt $\theta=0$ .Als $\theta$ steigt, nimmt die Tangentialkomponente der Gravitationskraft zu und die Radialkomponente ab.

Es gibt auch eine Normalkraft von der Oberfläche der Kugel auf den Massenpunkt. Soweit ich das beurteilen kann, ist seine Größe $mg\cos{\theta}$ und es ist eine Reaktion auf die Kraft, die der Massenpunkt aufgrund der radialen Komponente der Schwerkraft auf die Kugel ausübt und diese somit vollständig ausgleicht.

Aber da sich die Punktmasse auf einer Kreisbahn bewegt (zumindest für eine Weile), muss sie eine resultierende Kraft haben, die eine Komponente in radialer Richtung zum Mittelpunkt der Kugel hat, die die Richtung ihres Geschwindigkeitsvektors ändert. Ich kann nicht verstehen, wie ich die Tatsache in Einklang bringen soll, dass sich die Normalkraft und die radiale Gravitationskraft gegenseitig aufheben, und die Tatsache, dass es eine Kraft gibt, die die Radialbeschleunigung erzeugt.

Ich vermute, dass die Bewegung in diesem Fall dadurch verursacht wird, dass die Tangentialkraft ihre Richtung ändert. Ist das so? Ich denke, das ist wahrscheinlich ähnlich oder analog zur Analyse eines Pendels, aber das habe ich noch nicht gemacht.

BowlOfRed

Woher weißt du, dass die Normalkraft ist?

m g \cos θ

$mg\cos \theta$ ? Wie passt das zu der Tatsache, dass das Objekt schließlich die Kugel verlässt (und somit zu Null wird)?

evianpring

Die radiale Komponente der Schwerkraft nimmt ab

θ

$\theta$ erhöht sich. Während sich der Massenpunkt auf der Kreisbahn befindet, hat er Radialbeschleunigung

- \frac{v^{2}}{r}

$-\frac{v^2}{r}$ . Unter Verwendung des 2. Newtonschen Gesetzes können wir die Kraft finden, die erforderlich ist, um eine solche Beschleunigung zu erzeugen. Zu Beginn der Bewegung liegt die Radialkraft über einer solchen erforderlichen Radialkraft, aber an einem Punkt ist die Radialkraft kleiner als die erforderliche Kraft, um die ursprüngliche Kreisbahn beizubehalten. Bei diesem

θ

$\theta$ das Objekt verlässt die Kugel.

evianpring

Wie ich in der Frage erwähnt habe, wird die Normalkraft, soweit ich das beurteilen kann, unter Verwendung des 3. Newtonschen Gesetzes zusammen mit der radialen Komponente der Gravitationskraft erhalten, die ist

m g \cos θ

$mg\cos{\theta}$ .

BowlOfRed

Aber das Objekt beschleunigt. Sie können also nicht davon ausgehen, dass die Normalkraft die Gravitationskraft aufhebt.

evianpring

Ich habe die Gravitationskraft in eine tangentiale und eine radiale Komponente zerlegt. Ich sagte, dass die Normalkraft die radiale Komponente aufhebt. Die Tangentialkomponente der Gravitationskraft beschleunigt das Objekt.

BowlOfRed

Die Normalkraft hebt die radiale Komponente nicht auf. Dadurch kann das Objekt radial beschleunigen.

evianpring

Ich verstehe, dass das, was Sie sagen, irgendwie wahr sein muss, aber meine Frage ist, wie ich das genauer erklären kann? Wenn ich die Gravitationskraft zerlege, zeigt die radiale Komponente direkt in die Kugel. Warum würde die Kugel keine Kraft in die entgegengesetzte Richtung und mit gleicher Größe ausüben?

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Was ist die resultierende Radialkraft, die die kreisförmige Bewegung einer Punktmasse erzeugt, die eine auf der Erdoberfläche befindliche Kugel herunterrollt?

Woher weißt du, dass die Normalkraft ist? $mg\cos \theta$ ? Wie passt das zu der Tatsache, dass das Objekt schließlich die Kugel verlässt (und somit zu Null wird)?
Die radiale Komponente der Schwerkraft nimmt ab $\theta$ erhöht sich. Während sich der Massenpunkt auf der Kreisbahn befindet, hat er Radialbeschleunigung $-\frac{v^2}{r}$ . Unter Verwendung des 2. Newtonschen Gesetzes können wir die Kraft finden, die erforderlich ist, um eine solche Beschleunigung zu erzeugen. Zu Beginn der Bewegung liegt die Radialkraft über einer solchen erforderlichen Radialkraft, aber an einem Punkt ist die Radialkraft kleiner als die erforderliche Kraft, um die ursprüngliche Kreisbahn beizubehalten. Bei diesem $\theta$ das Objekt verlässt die Kugel.
Wie ich in der Frage erwähnt habe, wird die Normalkraft, soweit ich das beurteilen kann, unter Verwendung des 3. Newtonschen Gesetzes zusammen mit der radialen Komponente der Gravitationskraft erhalten, die ist $mg\cos{\theta}$ .
Aber das Objekt beschleunigt. Sie können also nicht davon ausgehen, dass die Normalkraft die Gravitationskraft aufhebt.
Ich habe die Gravitationskraft in eine tangentiale und eine radiale Komponente zerlegt. Ich sagte, dass die Normalkraft die radiale Komponente aufhebt. Die Tangentialkomponente der Gravitationskraft beschleunigt das Objekt.
Die Normalkraft hebt die radiale Komponente nicht auf. Dadurch kann das Objekt radial beschleunigen.
Ich verstehe, dass das, was Sie sagen, irgendwie wahr sein muss, aber meine Frage ist, wie ich das genauer erklären kann? Wenn ich die Gravitationskraft zerlege, zeigt die radiale Komponente direkt in die Kugel. Warum würde die Kugel keine Kraft in die entgegengesetzte Richtung und mit gleicher Größe ausüben?

BowlOfRed · Answer 1

Soweit ich das beurteilen kann, ist die Größe [der Normalkraft]. $mg \cos \theta$ und es ist eine Reaktion auf die Kraft, die der Massenpunkt aufgrund der radialen Komponente der Schwerkraft auf die Kugel ausübt und diese somit vollständig ausgleicht.

Eine Waage in einem nach unten beschleunigenden Aufzug misst die Normalkraft vom Boden. Es ist eine Reaktionskraft auf die Anziehungskraft einer Person. Aber es hat keine Größe $mg$ . Der Unterschied zwischen ihm und $mg$ sorgt für die Abwärtsbeschleunigung der Person.

Warum würde die Kugel keine Kraft in die entgegengesetzte Richtung und mit gleicher Größe ausüben?

Es tut. Es ist nur so, dass keine dieser Kräfte gleich der radialen Komponente von ist $mg$ .

Wenn Sie den Weg (den Umfang der Kugel) und die Geschwindigkeit (kann durch Energieargumente berechnet werden) gegeben haben, kennen Sie die Beschleunigung. Ausgehend von der Nettobeschleunigung können Sie die Nettokraft berechnen. Angesichts der Konstante $mg$ , können Sie die Normalkraft bestimmen. Wenn die Normalkraft auf Null geht, kann das Objekt nicht länger auf der Kugel bleiben und entfernt sich mit einer ballistischen Flugbahn.

Ein paar Dinge in Ihrer Antwort ließen mich im Zweifel. Zunächst einmal vermute ich, dass Sie eine Waage in einem Aufzug meinen, auf der eine Person steht. Wenn der Aufzug stillsteht, drückt die Person mit einer gewaltigen Kraft auf die Waage $mg$ , und diese ist gleich der Größe der Normalkraft auf die Person. Wenn der Aufzug nach unten beschleunigt, müssen wir davon ausgehen, dass er an der Waage "klebt" und somit eine nach unten gerichtete Kraft auf die Waage ausübt. Die Normalkraft ist jetzt gleich der Differenz zwischen $mg$ und diese nach unten gerichtete Kraft.
Sie haben behauptet, dass weder die Normalkraft noch die Radialkraft, die von der Punktmasse auf die Kugel ausgeübt wird, gleich der Radialkomponente von ist $mg$ . Und die ursprüngliche Frage ist "Was ist die resultierende Radialkraft ...". Können Sie mir also die Berechnung zeigen, die Sie einfach in Worten beschrieben haben, um die Nettokraft zu berechnen?
Ich würde die Beschleunigung annehmen und daraus direkt die Nettokraft berechnen. Siehe die Berechnungen in physical.stackexchange.com/questions/262282/…

evianpring · Answer 2

Die Teilchenmasse, die einer kreisförmigen Bewegung entlang der Kugel gehorcht, gehorcht den folgenden Gleichungen des 2. Hauptsatzes

\begin{matrix} (1) & N - M G \cos θ = - \frac{v^{2}}{R} \end{matrix}

$N-mg\cos{\theta}=-\frac{v^2}{R}\tag{1}$

Aus der Energieeinsparung wissen wir

\frac{M v^{2}}{2} - M G R (1 - \cos θ) = 0

$\frac{mv^2}{2}-mgR(1-\cos{\theta})=0$

\begin{matrix} (2) & v = \sqrt{2 G R (1 - \cos θ)} \end{matrix}

$v=\sqrt{2gR(1-\cos{\theta})}\tag{2}$

Einfügen dieser Geschwindigkeit in $(1)$

N = M G \cos θ - \frac{2 M G R (1 - \cos θ}{R}

$N=mg\cos{\theta}-\frac{2mgR(1-\cos{\theta}}{R}$

N = M G (3 \cos θ - 2)

$N=mg(3\cos{\theta}-2)$

Wir können sehen, dass die Normalkraft Null wird, wenn $\cos{\theta}=\frac{2}{3}$ .

Lassen Sie uns überlegen

M = 1 k G

$m=1kg$

G = 9.8 M \cdot S^{- 2}

$g=9.8m \cdot s^{-2}$

Und trage die Normalkraft und die radiale Gravitationskraft als Funktion von auf $\theta$

In radialer Richtung nimmt die Größe der Beschleunigung zu $\theta$ (weil die Geschwindigkeit zunimmt in $\theta$ ), hat aber ein negatives Vorzeichen.

Die radiale Gravitationskraft nimmt ab, und wenn wir dies als gegeben betrachten, dann muss die Normalkraft noch schneller abnehmen, um die Gleichung des 2. Hauptsatzes auszugleichen, dh die Differenz zwischen normaler und radialer Gravitationskraft muss proportional zur Radialbeschleunigung abnehmen Zunahme.

Irgendwann ( $\theta=\cos^{-1}{\frac{2}{3}}$ ) die Normalkraft Null erreicht. Da sie in diesem Aufbau nicht negativ werden kann, reicht die resultierende Kraft in dieser radialen Richtung nicht aus, um die Partikelmasse mit dieser Geschwindigkeit und diesem Radius (äquivalent zu dieser radialen Beschleunigung) auf einer Kreisbahn zu halten.

Was würde passieren, wenn die Partikelmasse immer noch die Kugel hinuntergleiten würde, aber an einer masselosen Schnur befestigt wäre, die im Kugelzentrum befestigt ist (die irgendwie am Partikel haften bleiben kann, wenn es nach unten gleitet).

Wir hätten eine zusätzliche Kraft, die parallel und in der gleichen Richtung wie die radiale Komponente der Gravitationskraft wirkt. Diese Kraft ist eine Spannkraft auf die Saite. Aber wäre es eine zusätzliche Kraft oder würde es nur das ersetzen, was vorher die normale Kraft war?

Ich glaube, was wir hätten, ist ein Fall, in dem $T=0$ aus $\theta=0$ Zu $\theta=\cos^{-1}{\frac{2}{3}}$ und dann $T$ würde anfangen zu steigen. Es ist einfach die vorherige Analyse, aber in welcher $N$ kann negativ sein. Ein Negativ $N$ wäre das $T$ erforderlich, um das Teilchen auf der Kreisbahn zu halten.

- T - M G \cos θ = - 2 M G (1 - \cos θ), θ > \cos^{- 1} \frac{2}{3}

$-T-mg\cos{\theta}=-2mg(1-\cos{\theta}),\ \theta>\cos^{-1}{\frac{2}{3}}$

T = M G (2 - 3 \cos θ)

$T=mg(2-3\cos{\theta})$

Wir können das sehen $\theta=\pi$

T = 5 M G

$T=5mg$

Was ist die resultierende Radialkraft, die die kreisförmige Bewegung einer Punktmasse erzeugt, die eine auf der Erdoberfläche befindliche Kugel herunterrollt?

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