Warum erhalte ich zwei Ergebnisse aus einem einzigen Freikörperdiagramm?

Für jeden gegebenen Fall gibt es einige offensichtliche Details, denen nicht widersprochen werden darf. Ein FBD bietet einen mathematischeren Ansatz für die Frage, aber wie wir unsere Gleichungen bilden, basiert auf diesen kritischen Details.

Eine korrekte FBD erfüllt all diese Details (oder Beobachtungen).

Für den gegebenen Fall lauten die Beobachtungen:

1. Der Keil ist stationär,
2. Der Block verliert nie den Kontakt mit dem Keil, und
3. Der Block beschleunigt entlang des Keils.

Wenn Sie die Normalkraft vertikal und horizontal auflösen, kommen Sie zu zwei Schlussfolgerungen.

Fazit$(1)$, Vertikales Gleichgewicht.

$N\cos{\theta}=mg$

Diese Gleichung zeigt an, dass sich der Block im vertikalen Gleichgewicht befindet, aber dies widerspricht der Beobachtung$(3)$. Der Block muss sich senkrecht nach unten bewegen.

Schlussfolgerung (2) , Horizontalbeschleunigung.

$ma=N\sin{\theta}$

In diesem Fall wissen wir, dass der Block den Keil nie verlässt, aber wenn der Block eine gewisse Netto-Horizontalbeschleunigung hat (wie im Diagramm gezeigt), wird er den Keil definitiv verlassen. Dies widerspricht der Beobachtung$(2)$.

Die Gleichungen, die wir mit diesem FBD aufstellen, müssen also falsch sein, weil sie unsere Beobachtungen nicht befriedigen. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die FBD falsch ist, aber die Gleichungen, die wir mit der FBD erstellen, sind falsch.

Wenn Sie das Gewicht des Blocks entlang und senkrecht zum Keil auflösen, erfüllt die resultierende FBD alle unsere Beobachtungen. Die zwei richtigen Gleichungen sind

Senkrecht zur Oberfläche: Gleichung (1) ,$mg\cos{\theta}=N$, dies erfüllt die Beobachtung$(2)$.

Entlang der Oberfläche: Gleichung (2) ,$ma=mg\sin{\theta}$, dies erfüllt die Beobachtung$(2)$und$(3)$.

Diese Gleichungen im kombinierten Sinne sagen uns, dass die Nettokraft auf den Block ist$mg\sin{\theta}$. Die Normalkraft hat sich aufgehoben$mg\cos{\theta}$.

Daher ist dies der richtige FBD.

Darüber hinaus wissen wir dies auch aus der Beobachtung, dass sich der Block sowohl nach vorne als auch nach unten bewegen wird. Also, wenn Sie weiter lösen$mg\sin{\theta}$vertikal und horizontal erhalten Sie die wahre vertikale bzw. horizontale Beschleunigung des Blocks.

Wenn der Keil jedoch auch beschleunigt, müssen Sie nur Gleichungen aufstellen, die die Beobachtungen erfüllen. Die wichtigste Beobachtung in beiden Fällen ist, dass der Block in Bezug auf die Oberfläche des Keils stationär ist.

Ich hoffe, dass das Bilden korrekter Gleichungen kein Problem mehr für Sie darstellt.

Ein gewisser Kontext ist erforderlich. Die Antwort hängt von der Beschleunigung ab.

• Reibungslose Rampe: In diesem Fall beschleunigt der Block die Rampe hinunter. Es gibt keine Beschleunigung in einer Richtung normal zur Rampe, also gibt es keine Nettokraft in dieser Richtung, also$N=mg \mathrm{cos}\theta$.

• Steilkurve: In diesem Fall ist die Beschleunigung horizontal, daher gibt es keine vertikale Nettokraft. Daher$N\mathrm{cos}\theta=mg$.

Das physikalische Prinzip hinter solchen Problemen ist Newtons erstes Gesetz:
$F=M*a$
Wobei F die Summe aller Kräfte in einer Richtung ist.

Bei den meisten Schulproblemen gibt es keine Bewegung (und damit Beschleunigung) in der betrachteten Richtung, und die Gleichung reduziert sich auf$F=0$. Leider kommen viele Leute zu dem Schluss, dass$F=0$ohne es zu motivieren. Oft haben sie Glück und es gibt tatsächlich keine Bewegung in diese Richtung, und sie bekommen die richtige Antwort. Aber manchmal ist die Annahme, dass es keine Beschleunigung gibt, falsch. In diesem Fall erhalten sie die falsche Antwort und können möglicherweise nicht herausfinden, warum. Dies ist ein perfektes Beispiel für eine solche Situation. Ohne Reibung, was gemäß der gezeichneten FBD der Fall ist, beschleunigt der Block den Hang hinunter. Eine Komponente dieser Beschleunigung liegt in vertikaler Richtung, daher ist die Annahme, dass die Summe der Kräfte in vertikaler Richtung null ist, falsch. Dies führt zu einer falschen Antwort.

In anderen Antworten wurde vorgeschlagen, dass die FBD falsch ist und in bestimmte Richtungen gelöst werden sollte. Das ist nicht wahr. Das Problem kann gelöst werden, indem die Kräfte in zwei beliebige Richtungen zerlegt werden, solange sie nicht auf derselben Linie liegen. Der folgende Beweis zeigt, dass das Problem gelöst werden kann, indem die Kräfte entlang und senkrecht zum Hang, aber auch in horizontaler und vertikaler Richtung zerlegt werden.

Beginnen wir mit der einfachen Lösung und leiten die Bewegungsgleichungen in Richtung der Steigung und senkrecht dazu her. Ich werde die t-Richtung so definieren, dass sie den Hang hinuntergeht, und die n-Richtung senkrecht dazu nach unten. Die Gleichungen lauten:

$$\begin{align} mg\sin\theta &= ma_{t} \tag{1a} \\ mg\cos\theta - N &= ma_{n} \tag{2a} \end{align}$$

Nun sollten wir beachten, dass N keine zufällige Kraft ist, sondern die Reaktionskraft, die den Block auf der Neigung hält. Daher ist die Beschleunigung senkrecht zum Hang Null, und wir nennen die Beschleunigung entlang des Hanges a. Die Gleichungen reduzieren sich nun auf:

$$\begin{align} mg\sin\theta &= ma \tag{3a} \\ mg\cos\theta - N & = 0 \tag{4a} \end{align}$$

Oder:

$$\begin{align} ma &= mg\sin\theta \tag{5a} \\ N &= mg\cos\theta \tag{6a} \end{align}$$

Nun der schwierige Teil, das Lösen des Systems in horizontaler und vertikaler Richtung. Wir definieren die x-Richtung als nach links und die y-Richtung nach unten. Wir erhalten dann die folgenden Gleichungen:

$$\begin{align} mg - N\cos\theta &= ma_{y} \tag{1b} \\ N\sin\theta &= ma_{x} \tag{2b} \end{align}$$

Wieder wissen wir, dass sich der Block nur entlang der Steigung bewegen kann, weil N eine Reaktionskraft ist, und wir nennen die Beschleunigung entlang der Steigung (nach unten) wieder a. Wir erhalten also folgende Gleichungen:

$$\begin{align} mg - N\cos\theta &= ma\sin\theta \tag{3b} \\ N\sin\theta &= ma\cos\theta \tag{4b} \end{align}$$

Gleichung 4b kann nun umgeschrieben werden als:

$$\begin{align} N &= \frac{ma\cos\theta}{sin\theta} \tag{5b} \end{align}$$

Nun kann Gleichung 5b in 3b eingesetzt werden:

$$\begin{align} mg - ma \frac{cos\theta}{sin\theta} cos\theta &= ma\sin\theta \tag{6b} \end{align}$$

Dies kann umgestellt werden zu:

$$\begin{align} mg &= ma \big( \frac{cos\theta}{sin\theta} cos\theta + sin\theta \big) \tag{7b} \end{align}$$

Nun multiplizieren wir den zweiten Term in der Klammer mit$\frac{sin\theta}{sin\theta}$und bekomme:

$$\begin{align} mg &= ma \big( \frac{1}{sin\theta} \big) \tag{8b} \end{align}$$

Oder:

$$\begin{align} ma &= mg\sin\theta \tag{9b} \end{align}$$

Dies ist dasselbe wie Gleichung 5a. Einsetzen in Gleichung 5b ergibt:

$$\begin{align} N &= mg\sin\theta \frac{cos\theta}{sin\theta} \tag{10b} \end{align}$$

Dies vereinfacht sich zu:

$$\begin{align} N &= mg\cos\theta \tag{11b} \end{align}$$

Das ist wieder dasselbe wie 6a.

Die wichtige Lektion, die Sie hier lernen müssen, ist, die Beschleunigungen immer explizit aufzuschreiben und sie erst auf Null zu setzen, nachdem Sie bewiesen haben, dass sie Null sein werden.

Sie sollten die Normale nicht in Komponenten auflösen. Dies liegt daran, dass Ncosθ≠mg. Es gibt eine Beschleunigung ungleich Null in Abwärtsrichtung. Wenn der Block im Gleichgewicht ist, gibt es eine andere Kraft, die den Block entlang der geneigten Ebene drückt. Die entlang der schiefen Ebene wirkende Kraft, die den Körper nach oben drückt, kann in Komponenten zerlegt werden

1. Die Normalkraft entsteht durch den Kontakt zwischen dem Körper und dem Flugzeug

2. Die mg (Abwärtskraft) sind auf die Schwerkraft zurückzuführen

die Kraft, die nicht normal zur Oberfläche ist, wird aufgelöst

Sie haben hier einen Fehler bei der Anwendung des 2. Newtonschen Gesetzes gemacht. Es steht dass$\sum \vec{F}=m\vec{a}$.

Da der Körper entlang der Steigung der Rampe beschleunigt (z. B. mit Beschleunigung$a$) gibt es eine Beschleunigungskomponente$a\sin{\theta}$das ist entlang der Vertikalen. Das 2. Newtonsche Gesetz wird also bei Anwendung in vertikaler Richtung zu:

Angenommen, wir wenden stattdessen das 2. Newtonsche Gesetz entlang der Richtung der normalen Reaktion an, dann ist die Komponente der Beschleunigung entlang der Normalen$a\cos{90^{\circ}} = 0$. Das 2. Gesetz von Newton wird also zu:

Jetzt können Sie beide FBDs verwenden, um das Problem zu lösen, daran ist nichts auszusetzen. Jedes Freikörperdiagramm gibt Ihnen 2 Gleichungen (entlang der 2 senkrechten Richtungen), die Sie benötigen, um die 2 Variablen im Problem zu lösen,$N$und$a$. Normalerweise verwenden die Leute das erste Freikörperdiagramm, weil Sie dann die Gleichungen nicht lösen müssen, sondern direkt nach den Variablen lösen können (wie Sie es getan haben).

Bevor ich die Kräfte wie in den anderen Antworten beschrieben summiere, finde ich es hilfreich, der FBD etwas mehr Details hinzuzufügen. Hier ist leicht zu erkennen, dass N = mg cos(theta) statt mg = N cos(theta)

Hier ist eine FBD für eine überhöhte Straße mit dargestellter Zentripetalkraft.

Sie haben einen sehr einfachen trigonometrischen Fehler gemacht.

Als du gleichgesetzt hast$N=mg \cdot cos(\theta)$ es ist falsch. Nachschlagen$cos(\theta)$Definition und Sie werden verstehen.

Kosinus:

Substantiv, Mathematik

die trigonometrische Funktion, die gleich dem Verhältnis der an einen spitzen Winkel angrenzenden Seite (in einem rechtwinkligen Dreieck) zur Hypotenuse ist.

Auf dieser Grundlage muss die Beziehung im rechten oberen Diagramm als sein$N=\frac{mg}{cos(\theta)}$

Und tatsächlich kommen Sie in Ihrem zweiten Diagramm zu derselben Beziehung.

Denken Sie daran : Zahlen lügen nie; wenn sie es scheinen, dann muss es unser Fehler sein :P

Du teilst die Kräfte richtig auf. Aber warum setzt du sie gleich?

Sie tun das, weil Sie Newtons 1. Gesetz annehmen. Das Problem ist nur, dass Newtons 1. Gesetz nicht in beiden Fällen gilt. Sie gilt nur senkrecht zur Oberfläche, da in dieser Richtung nichts beschleunigt wird. Deine zweite Gleichung ist also richtig.

In jeder anderen Richtung ist eine Beschleunigungskomponente enthalten, daher müssen Sie das 2. Newtonsche Gesetz verwenden und einen Masse-mal-Beschleunigungskomponenten-Term einbeziehen. Die erste Gleichung ist falsch und hätte lauten sollen: