Spannung in einer Atwoods-Maschine konzeptionell?

Stellen Sie sich ein endliches Segment des Seils vor, sagen wir auf der linken Seite. Angenommen, die Spannung an der Spitze des Segments ist$T_t$und die Spannung am unteren Ende des Segments ist$T_b$. Dann spürt das Seilsegment eine Kraft$T_t$auf und$T_b$nach unten oder eine Nettokraft$T_t - T_b$hoch. Da das Seil masselos ist, gibt es damit keine Gravitationskraft$T_t - T_b$ist die Nettokraft auf das Seil.

Das Newtonsche Gesetz besagt, dass die Beschleunigung des Seils ist$\dfrac{T_t - T_b}{m}$nach oben, wo$m$ist die Masse des Seilsegments. Allerdings seit$m$Null ist, muss diese Beschleunigung unendlich sein, was ein Problem darstellt.

Was wirklich vor sich geht, ist, dass das Seilsegment sofort nach oben beschleunigt würde, wenn es eine Nettokraft nach oben gäbe. Diese Aufwärtsbewegung würde die Spannung im oberen Teil des Seils lockern ($T_t$sinkt) und erhöhen Sie die Spannung im unteren Teil des Seils ($T_b$erhöht sich). Dies wird fortgesetzt bis$T_t$gleich$T_b$und es gibt keine Nettokraft auf das Seilsegment. Dies geschieht im gesamten Seil, wenn es straff wird. Da das Seil masselos ist, geschieht dieser Vorgang sehr schnell, so dass davon auszugehen ist$T_t$ist gleich$T_b$.

Da das Seilsegment überall hätte sein können, bedeutet dies, dass zwei beliebige Punkte auf dem Seil die gleiche Spannung haben müssen.

Betrachten Sie zwei Fälle.

FALL 1: Ohne Reibung

Die Riemenscheibe ist völlig reibungsfrei. Betrachten Sie Segment A. Hier wird es durch sein Gewicht, eine nach oben gerichtete Zugkraft (T2), die von dem darüber liegenden Seilsegment ausgeübt wird, und eine nach unten gerichtete Zugkraft (T1), die von dem darunter liegenden Segment ausgeübt wird, beaufschlagt. Da es nach unten beschleunigt, ma=mg+T1-T2 Nun, wenn das Seil weniger Masse hat, mg=0, ist auch eine unendlich kleine Kraft erforderlich, um dieses masselose Segment zu beschleunigen, also ma=0 und T1=T2. Nach dem gleichen Argument können Sie die Abwärtsspannung im Segment B (T3) = T1 = T2 erkennen. Da die Riemenscheibe reibungsfrei ist, wirkt keine zusätzliche Reibungskraft auf das Segment B und die nach oben gerichtete Spannkraft (T4) = T3. Auf diese Weise können Sie feststellen, dass die Spannung entlang aller Segmente des Seils gleich ist.

FALL 2: Mit Reibung

Für das Segment A folgt das gleiche Argument wie im vorherigen Fall. Letztendlich können Sie die nach unten gerichtete Zugkraft im Segment B(T3)=T2=T1 zeigen

Anders verhält es sich jedoch mit der Zugkraft nach oben im Fall von Segment B. Hier wirkt Reibung in Segment B. ma = Tangentialkomponente von mg+T3-T4-Reibung Da m=0, T3=T4+Reibung. Also T3=/=T4. In allen Segmenten, die mit der Riemenscheibe in Kontakt sind, ist die Spannung an beiden Enden nicht gleich. Aber sobald das Segment den Kontakt mit der Riemenscheibe verliert, ist die Spannung an beiden Enden gleich.

Die Annahme, dass$T1$Und$T2$gleich sind, kommt auf die Annäherung an$m_{rope} = 0$. Am Ende versuchen wir, einer Annahme einen Sinn zu geben, die physikalisch nicht trivial zu interpretieren ist.

Neben Brians großartiger Antwort möchte ich diese Annahme hinzufügen$m_{rope} = 0$führt zu einem Kräftegleichgewicht (FBD) um das Seil, das darauf hindeutet, dass das Seil an seinen Enden die gleiche Kraft "fühlt". Als Reaktion übt das Seil also eine Spannung aus$T$an jedem Objekt. Weitere Details finden Sie in meiner Antwort auf einen anderen Beitrag: https://physics.stackexchange.com/a/387934/46464