Können zwei Körper unterschiedlicher Masse, die an den Enden einer Schnur befestigt sind, die über eine reibungsfreie Rolle geführt wird, auf beiden Seiten die gleiche Spannung erzeugen?

Das ist eine wirklich gute Frage, die Bücher normalerweise nicht auf intuitive Weise ansprechen. Lassen Sie mich Ihnen Schritt für Schritt eine intuitive Erklärung geben, indem ich mir die Maschine von Atwood ansehe:

Beginnen Sie mit dem Kräftegleichgewicht um das Kabel:

F2 ist größer als F1, da der Würfel mehr Masse hat als die Kugel. Jetzt verwenden wir die übliche Annahme, die Lehrbücher verwenden, das heißt, nehmen an, dass die Masse des Kabels unbedeutend ist:

Die erste Gleichung würde also ergeben:

Seltsam ist, dass wir an den Enden des Kabels unterschiedliche Kräfte anwenden, das Kabel jedoch zwei gleiche Kräfte "fühlt". Aber wir wissen genau, dass F2 und F1 nicht dasselbe sind. Was ist also diese Kraft, die das Kabel an seinen Enden „fühlt“? Nennen wir es Spannung, T:

Da das Kabel an seinen Enden zwei gleiche Kräfte T "fühlt", reagiert es auf die Körper, an denen es befestigt ist, mit ebenfalls einem Wert von T. Deshalb gibt es in der Atwood-Maschine aus der ersten Abbildung eine Spannung T wird auf jeden Körper aufgetragen. Denken Sie daran, dass dies nur mit der anfänglichen Annahme (m = 0) zutrifft, und in Danimals Antwort wird ein realistischerer Ansatz erwähnt.

Natürlich können Sie jetzt den Wert von T berechnen, indem Sie die FBD der Kugel und des Würfels analysieren. Das überlasse ich Ihnen.

Hinweis: Nehmen Sie an, dass beide Körper die gleiche Beschleunigung haben: Wenn die Position des Würfels um 1 Einheit nach unten geht, dann geht die Position der Kugel auch um 1 Einheit nach oben (dank des Kabels, das eine konstante Länge hat). Da die Verschiebungen (Absolutwert)$r(t)$, der Körper, im Laufe der Zeit gleich sind, dann sind auch ihre Ableitungen gleich, was bedeutet, dass$a_1 = a_2$, Wo$a_i$ist die resultierende Beschleunigung am Körper i.

Die Spannungen sind keine "Reaktionen" in dem Sinne, dass sie nicht die Partner des 3. Gesetzes der Gewichte der beiden Massen sind, also müssen sie nicht gleich den Gewichten sein. Damit die Spannung in der gesamten Saite gleich ist, muss sie „leicht“, dh masselos sein. Da diese gleiche Spannung unmöglich BEIDE die beiden unterschiedlichen Gewichte ausgleichen kann, beschleunigt jede Masse, da jede eine resultierende Kraft ungleich Null hat.

Wenn die Spannungen jeweils gleich den Gewichten wären, würde das System nicht beschleunigen und die Saite könnte nicht masselos sein. Es ist jedoch normalerweise sicher, in einer Frage im Lehrbuchstil anzunehmen, sofern nicht anders angegeben, dass die Saite masselos ist, aber schlechte Form, ganz zu schweigen von dieser Tatsache!

In einem einfachen Modell eines Seils oder einer Schnur nimmt man an, dass es masselos (oder „leicht“) ist. Dies hat modellhaft zur Folge, dass die Spannung im gesamten Seil gleich sein muss. Um das Seil so zu modellieren, dass es Masse hat, müssen Sie ein typisches Element/Stück des Seils betrachten und die Kräfte auf dieses Stück von beiden Seiten untersuchen; Kalkül ist erforderlich, um die volle Abhängigkeit der Spannung von der Entfernung entlang des Seils zu erhalten, aber Sie können ein einfacheres ähnliches Problem betrachten. 3 Waggons gleicher Masse$m$von einem Ende durch eine konstante Kraft entlang einer reibungsfreien Bahn gezogen wird$F$(nach rechts, sagen wir) mit den Spannungen$T_1$Und$T_2$zwischen jedem Paar (von links nach rechts), getragen von Schleppstangen oder ähnlichem. Jetzt hat der rechte Wagen eine Nettokraft$F-T_2$nach rechts und damit eine Beschleunigung$F-T_2\over m$Nach rechts. Der mittlere Schlitten hat eine Nettokraft$T_2-T_1$nach rechts und damit eine Beschleunigung$T_2-T_1\over m$Nach rechts. Der linke Schlitten hat eine Nettokraft$T_1$nach rechts und eine Beschleunigung$T1/m$Nach rechts. Wenn wir nun wissen, dass sie starr aneinander befestigt sind, müssen ihre Beschleunigungen gleich sein, und wenn Sie die resultierenden Gleichungen lösen, sollten Sie das bekommen$T_1=F/3$Und$T_2= 2F/3$, das heißt, die Spannung, die der Zugkraft F am nächsten liegt, ist doppelt so groß wie die nächste entlang. Die einzige Möglichkeit, unterschiedliche Spannungen zu erhalten, besteht darin, dass Sie zulassen, dass die Schlitten keine Masse haben. Das heißt, wenn das Seil (oder der Wagenzug) Masse hat, variiert die Spannung entlang des Seils, aber wenn es masselos ist, hat es eine konstante Spannung.

Die Saite wird offensichtlich als ideal angenommen. Eine ideale Saite dehnt oder dehnt sich nicht aus. Und da die gesamte Saite, die um die Riemenscheibe läuft, eine Saite ist, muss sie an beiden Enden die gleiche Kraft erfahren. Wenn ein Ende sogar etwas mehr Spannung hat, würde das andere als die Saite dazu neigen, sich zu verlängern. Außerdem hätte es nach der Dehnung wieder auf beiden Seiten die gleiche Spannung.