Eine mathematische Analyse einer einzelnen festen Riemenscheibe

Es gibt zwei Möglichkeiten, konzeptionell über Riemenscheiben nachzudenken. Ein Weg ist Ihr Weg, der darin besteht, sich eine zylindrische Nabe mit Radius vorzustellen$r$das dreht sich. In diesem Fall stelle ich mir die zylindrische Nabe gerne als Zahnrad mit Zähnen vor, das mit dem Kabel arretiert. Nimmt man einen Schnitt in das Kabel und isoliert das Kabel-Hub-System, sieht das Freikörperbild so aus:

Beachten Sie, dass in diesem Diagramm immer noch ein Teil des Kabels Kontakt mit dem Hub hat. R ist die Reaktionskraft von der Decke, die die Nabe hält, und L und E sind Spannungen innerhalb des Kabels aufgrund der Last bzw. Anstrengung. Eine Annahme, die Sie treffen können, ist, dass die Nabe selbst einen kleinen Radius hat und/oder praktisch masselos ist. In diesem Fall ist sein Trägheitsmoment Null. Wenn sein Trägheitsmoment null ist, müssen sich die auf ihn um seinen Befestigungspunkt wirkenden Drehmomente ausgleichen, selbst wenn er eine Winkelbeschleunigung erfährt . Dann ist Ihre Analyse genau richtig, da L und E beide in einem Abstand r vom Befestigungspunkt wirken und ihre Momente ausgeglichen sein müssen. Außerdem übersetzt der Hub nicht, sodass R L + E ausgleicht, selbst wenn der Hub massiv ist.

Eine andere Möglichkeit, eine Umlenkrolle zu konzipieren, ist als feste Trommel, auf der das Kabel gleiten kann. In diesem Fall gleicht die Last die Anstrengung aus, wenn sie reibungsfrei ist. Angenommen, es ist nicht reibungsfrei. Dann entwickelt sich zwischen Seil und Trommel ein Scherzug. Wenn L größer als E ist, dann sieht das Freikörperbild des Kabels im Kontakt mit der Trommel im Gleichgewicht so aus:

Die normalen Traktionen tragen nicht zu einem Moment um O bei. Aber die Schertraktionen aufgrund von Reibung haben ein Moment im Uhrzeigersinn. E hat ein Moment im Uhrzeigersinn, das nicht so groß ist wie das Moment gegen den Uhrzeigersinn von L. Alle Drehmomente sind ausgeglichen. Siehe Capstan-Gleichung.

Warum denkst du, dass es eine unendliche Summe gibt? Wenn die Spannungen nicht gleich sind, ist das Gesamtdrehmoment gleich$r(L-E)$. Wenn die Riemenscheibe ein Trägheitsmoment hat$I$wir haben$I\dot \omega = r(L-E)$, also nur wann$I=0$dass die Spannungen gleich sein müssen.

Für eine mathematische Formel für das Drehmoment beachte das

$$\tau = \int_a^b \left(\frac{d T}{ds}\right) r ds = \left[ rT\right]_a^b=r(T(b)-T(a)$$ Wo$a$Und$b$sind der erste und der letzte Konstantenpunkt der Zeichenfolge. Dies gilt, weil (für einen masselosen Stachel) das dritte Newtonsche Gesetz uns sagt, dass die Tangentialkraft auf die Riemenscheibe auf den Kontakt eines unendlich kleinen Saitenelements der Länge zurückzuführen ist$dS$ist die Differenz der Spannung an den beiden Enden des Elements.