Warum bewegen sich nach den Newtonschen Gesetzen die beiden unterschiedlichen Massen einer Atwood-Maschine in entgegengesetzte Richtungen?

Stellen Sie sich eine Atwood-Maschine mit zwei unterschiedlichen Massen vor M Und M so dass M > M . Beim Versuch, die Beschleunigung dieses Systems zu finden, gehen alle Lösungen, die ich gefunden habe, so:

Auf die Masse wirken 2 Kräfte M , Spannung T → und die Gravitationskraft F G → . Nach Newtons 2. Gesetz haben wir dann T → + F G → = M A → . Seit T → , F G → Und A → sind alle parallel mit A → nach unten gerichtet , folgt daraus

T − M G = − M A

Ein ähnlicher Denkprozess für M mit seiner nach oben gerichteten Beschleunigung nachgibt

T − M G = M A

Jetzt kann man nach a auflösen. Aber warum ist die Annahme, die wir über das Vorzeichen von treffen A → halten? Empirisch erscheint das trivial, aber ich denke trotzdem, dass es möglich sein sollte, dies aus Newtons Axiomen abzuleiten. Aber anscheinend bin ich dafür zu unerfahren.

Ich weiß das T → ist für beide Massen gleich, beide T → s sind mit gleicher Größe nach oben gerichtet. Das kenne ich auch beides F G → s sind nach unten gerichtet, aber die für die Masse M betragsmäßig größer ist als die Masse M . Aber ich verstehe nicht warum F G , M → groß genug wäre, um sie zu überwinden T → und Masse verursachen M nach unten zu bewegen. Und warum nicht F G , M → groß genug, um sie zu überwinden T → ?

Sie sollten kein Vorzeichen für die Beschleunigung annehmen. Sie definieren ein Koordinatensystem, das die Vorzeichen Ihrer Kräfte bestimmt. Dann bestimmt man mit dem zweiten Newtonschen Gesetz die Beschleunigung. Das Vorzeichen der Beschleunigung sagt Ihnen, in welche Richtung die Beschleunigung ausgehend von Ihrem zuvor definierten Koordinatensystem geht
@AaronStevens Es tut mir leid, aber ich verstehe wirklich nicht, wie das Definieren meines Koordinatensystems bestimmt, dass beide Nettokräfte in entgegengesetzter Richtung sind.
Du hast Recht. Die beiden Nettokräfte auf jedes Objekt sind unabhängig vom Koordinatensystem in entgegengesetzte Richtungen gerichtet. Ich spreche davon, wenn Sie über die Annahme eines Vorzeichens für die Beschleunigung sprechen. Sie nehmen nicht einfach ein Vorzeichen für die Beschleunigung an. Sie ergibt sich aus dem Koordinatensystem. Ich kann jetzt eine ausführlichere Antwort schreiben.
@PhysicsUndergraduateStudent, ich habe meinen Studenten immer gesagt, dass "oben" auf einer Seite der Atwood-Maschine die positive Richtung ist. Da die Riemenscheibe die Richtung der Saite ändert, ist auch "nach unten" auf der anderen Seite der Atwood-Maschine positiv. Konzeptionell bedeutet dies, dass sich die beiden Gewichte "in die gleiche Richtung" bewegen, und sie bewegen sich mit der gleichen Geschwindigkeit, weil sie durch eine Schnur verbunden sind.
Das ist in diesem einfachen Fall und bei Steigungen problemlos möglich. In Situationen mit mehreren Objekten, die auf komplizierte Weise verbunden sind, wird es schwierig, die "natürliche" Richtung für die positiven Achsen herauszufinden. Die Lösung von Aaron Stevens ist allgemeiner und erfordert weniger Nachdenken.

Antworten (1)

Sie nehmen kein Zeichen der Beschleunigung an. Das Vorzeichen der Beschleunigung ergibt sich aus dem gewählten Koordinatensystem und den relativen Größen der Kräfte.

Nehmen wir an, dass nach oben positiv und nach unten negativ ist. Rufen wir die Masse an M 1 Und M 2 dafür, was es einfacher macht, den Überblick über jede Masse zu behalten. Ein Diagramm davon ist unten gezeigt.

Diagramm des Problems

Sie gehen zu Recht davon aus, dass jede Masse die gleiche Spannung nach oben erfährt ∗ , und das Gewicht jeder Masse wirkt nach unten. Bei Problemen wie diesen ist es immer hilfreich, Freikörperdiagramme von jedem Objekt zu zeichnen. Diagramme wie diese können uns helfen, die Nettokraft auf jedes Objekt aufzuschreiben, um sie in der Gleichung für Newtons zweites Gesetz zu verwenden.

FBD

Daher sieht das zweite Newtonsche Gesetz für jeden Block wie folgt aus:

∑ F 1 = T − M 1 G = M 1 A 1
∑ F 2 = T − M 2 G = M 2 A 2

Nun, aufgrund der Art und Weise, wie die Massen verbunden sind, muss es das sein A 1 = − A 2 (denn wenn das eine nach oben geht, geht das andere nach unten. Dies kann auch "abgeleitet" werden, wenn man bedenkt, dass die Länge des Seils, das die Massen verbindet, konstant sein muss). Sagen wir der Einfachheit halber A 1 = − A 2 = A . Dann können wir unsere Gleichungen ändern

T − M 1 G = M 1 A
T − M 2 G = − M 2 A

Beim Auflösen nach der Beschleunigung finden wir Folgendes:

A = ( M 2 − M 1 ) G M 1 + M 2

Sagen wir mal M 1 > M 2 . Dann sehen wir das A < 0 . Jetzt erinnere dich, A = A 1 ist die Beschleunigung des Blocks 1 . Daher, wenn block 1 massiver ist, beschleunigt es nach unten (in negativer Richtung basierend auf unserem Koordinatensystem). Sie können ein ähnliches Argument anwenden, wenn M 1 < M 2 . Beachten Sie, dass wir nichts über das Vorzeichen der Beschleunigung angenommen haben. Das Zeichen entstand aus der Anwendung der Newtonschen Gesetze auf das Problem mit unserem definierten Koordinatensystem. Dies ist der beste Weg, um das Problem anzugehen, da Sie in komplizierteren Systemen möglicherweise zunächst nicht wissen, in welche Richtung sich die Dinge bewegen werden.

Es scheint, als wäre es für Sie auch hilfreich, wenn wir auch die Spannung in der Saite lösen würden:

T = 2 M 1 M 2 G M 1 + M 2

Wenn M 1 > M 2 (Block 1 geht runter und blockiert 2 steigt), dann sehen wir das

T = 2 M 1 M 2 G M 1 + M 2 > 2 M 1 M 2 G M 1 + M 1 = M 2 G

Wir sehen also, dass die Spannung tatsächlich groß genug ist, um die kleinere Masse anzuheben. Wir können ein ähnliches Argument anführen, um zu zeigen, dass das Gewicht der Masse 1 ist größer als die Spannung.

Daher haben wir zwei verschiedene Möglichkeiten zu zeigen, dass sich die größere Masse nach unten und die kleinere nach oben bewegt.

∗ Dass die Spannungsgröße für jede Masse gleich ist, hängt von zwei Annahmen ab. Erstens, wenn wir davon ausgehen, dass die Riemenscheibe masselos und reibungsfrei ist, dann ist kein Nettodrehmoment erforderlich, um die Riemenscheibe zu drehen. Vergleichen Sie dies mit dem Fall einer Riemenscheibe mit Masse, bei der jede Spannung unterschiedlich sein muss, um die Riemenscheibe zu drehen. Zweitens, wenn wir davon ausgehen, dass das Seil masselos ist, muss das Seil sein eigenes Gewicht nicht tragen. Das bedeutet, dass die Spannung nicht von der Höhe jeder Masse abhängt.

Könntest du vielleicht den folgenden Schritt etwas näher erläutern? „Nun, aufgrund der Art und Weise, wie die Massen verbunden sind, muss es das sein A 1 = − A 2 ". Das ist im Wesentlichen das, was ich zu fragen versucht habe. Warum? A 1 = − A 2 ? Auch wenn dies trivial und offensichtlich erscheint, habe ich dennoch das Gefühl, dass es sich lohnt, es anhand von Newtons Axiomen zu beweisen.
@PhysicsUndergraduateStudent Dies ist nicht von Newtons Gesetzen. Dies liegt nur daran, dass die beiden Massen so verbunden sind, dass dies wahr wird. Es ist ein Teil unseres Systems. Wenn eine Masse nach oben geht, geht die andere nach unten. Wenn eine Masse nach oben beschleunigt wird, muss die andere nach unten beschleunigt werden. Wenn Sie etwas tiefer gehen wollen, könnten Sie argumentieren, dass dies darauf zurückzuführen ist, dass die Gesamtlängen von jeder Masse bis zur Rolle konstant bleiben müssen (dh die Seillänge ist konstant).
@PhysicsUndergraduateStudent So j 1 + j 2 = L ist konstant, wo j bedeutet Abstand zur Riemenscheibe. Dann muss es das sein j ¨ 1 + j ¨ 2 = 0 . Dies ist jedoch nicht von Netwons Gesetzen.
Ja! Ich habe wahrscheinlich zu viel darüber nachgedacht. Aber dieses Argument "konstante Länge" ist das, wonach ich gesucht habe.
@PhysicsUndergraduateStudent Gut! Ich werde dies in die Antwort für andere aufnehmen, die sich diese Frage ansehen
Dies ist eine gute Antwort. Würden Sie in Betracht ziehen, es mit einem Diagramm zu verbessern?
@DrSheldon Ich werde morgen früh ein ausreichendes Bild / Bilder finden. Danke für die Bewertung.
@DrSheldon Ich habe Diagramme hinzugefügt. Lassen Sie mich wissen, ob ich noch etwas tun kann, um dies zu verbessern.
@PhysicsUndergraduateStudent A 1 = − A 2 ist eine Einschränkung aufgrund der Geometrie. Wenn man das Newtonsche Gesetz separat auf separate Objekte anwendet, muss man spezifizieren, wie die Objekte eingeschränkt werden. Eine Alternative, die Sie vielleicht zufriedenstellender finden, besteht darin, die Saite zu einem dritten Objekt zu machen und sie als Feder zu modellieren und die Federkonstante am Ende auf unendlich gehen zu lassen. Ich denke, das sollte funktionieren. Haftungsausschluss: Ich habe es nicht versucht, es auf diese Weise zu tun!
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