Wo wirkt Pseudokraft?

Pseudokräfte wirken wie die Schwerkraft an allen Punkten eines Körpers. Wenn wir in der Mechanik sagen, dass eine verteilte Kraft an einem einzigen Punkt "wirkt", meinen wir, dass die Durchführung eines solchen Austauschs das auf den Körper als Ganzes wirkende Drehmoment nicht ändert. Ob dies möglich ist, hängt von der Pseudokraft ab.

• In einem gleichmäßig beschleunigenden Rahmen kann die Pseudokraft dazu verwendet werden, mit Stärke am Massenmittelpunkt des Körpers zu wirken$M \mathbf{a}$.
• In einem gleichmäßig rotierenden Rahmen kann die zentrifugale Pseudokraft genommen werden, um mit Stärke am Massenmittelpunkt des Körpers zu wirken$M \omega^2 \mathbf{r}_{\mathrm{cm}}$.
• Die Coriolis-Kraft kann im Allgemeinen nicht auf diese Weise behandelt werden. Beispielsweise gibt es Situationen, in denen die gesamte Coriolis-Kraft verschwindet, das gesamte Coriolis-Drehmoment jedoch nicht.

Pseudokräfte werden durch die Beschleunigung des Bezugssystems bestimmt und wirken im Allgemeinen an allen Punkten im Raum. Für einen linear beschleunigenden Rahmen ist die resultierende Pseudokraft gleichförmig. Bei einem rotierenden Bezugssystem hängt die Kraft von Dingen wie dem Abstand von der Rotationsachse, der Rotationsgeschwindigkeit ab. Die auf ein Punktteilchen wirkende Corioliskraft hängt auch von der Geschwindigkeit des Teilchens relativ zum rotierenden Bezugssystem ab, aber dieser Effekt besteht immer noch an allen Punkten im rotierenden Bezugssystem.

Wenn Sie diese Kräfte für ein ausgedehntes Objekt zu einzelnen Punkten und Momenten "verdichten" möchten, müssen Sie nur den gewichteten Durchschnitt dieser Größen finden, wie Sie es für jede andere verteilte Last tun würden. Beachten Sie, dass Sie dies für Kräfte und Momente separat tun müssen; es gilt im Allgemeinen nicht, dass das gewichtete Mittel der Drehmomente gleich dem Drehmoment des gewichteten Mittels der Kräfte ist.

In einem linear beschleunigten Bezugssystem wirkt dieselbe Pseudokraft gleichmäßig (zu jedem gegebenen Zeitpunkt) auf alle Teilchen in einem ausgedehnten Körper. Dieser Satz von Pseudokräften kann durch eine einzelne Kraft ersetzt werden, die am Massenmittelpunkt des Körpers wirkt.

In einem rotierenden Referenzrahmen sind die Pseudokräfte nicht gleichmäßig, daher müssen Sie die auf jedes Partikel wirkende Pseudokraft einzeln bestimmen und dann über den Körper als Ganzes integrieren.

Es ist kein Zufall, dass dies der Analyse der Bewegung eines ausgedehnten Körpers in einem gleichförmigen oder ungleichförmigen Gravitationsfeld entspricht.

Zusammenfassung

Stellen Sie sich ein System von Teilchen vor, nicht unbedingt einen starren Körper, betrachtet in einem Inertialsystem. Die Translationsbewegung (die Änderung des linearen Gesamtimpulses) kann unter der Annahme bewertet werden, dass die Gesamtmasse ein Teilchen ist, das sich im Massenmittelpunkt (CM) befindet und auf das die gesamte äußere Kraft einwirkt. Die Drehbewegung (Drehimpulsänderung) kann nicht ausgewertet werden, wenn man annimmt, dass die gesamte äußere Kraft am CM angreift.

In einem nicht-trägen System betrachtet, gelten die obigen Schlussfolgerungen, aber zusätzlich zu den externen Kräften müssen fiktive Kräfte berücksichtigt werden. Die Translationsbewegung (die Änderung des gesamten linearen Impulses) kann unter der Annahme bewertet werden, dass die Gesamtmasse ein Teilchen ist, das sich im Massenzentrum (CM) befindet, auf das die gesamte externe Kraft plus die gesamte fiktive Kraft einwirkt. Die Rotationsbewegung (die Drehimpulsänderung) kann nicht bewertet werden, wenn man annimmt, dass die gesamte äußere Kraft der gesamten fiktiven Kraft am CM angreift.

Hier ist ein einfaches Beispiel. Angenommen, eine starre Stange wird an ihrem CM von einem Drehpunkt getragen und es wirkt eine Kraft auf sie ein$F$, nach unten in einem Abstand$d$rechts vom CM. Das CM ist stationär. Im Inertialsystem betrachtet, erzeugt diese Kraft eine Rotationsbewegung um das CM. Betrachten Sie nun die Bewegung in einem nicht trägen, rotierenden Rahmen, in dem der Stab ruht. In diesem Rahmen wirken fiktive Kräfte entgegen$F$Kraft, um die Stange in Ruhe zu halten. Wenn angenommen würde, dass die fiktiven Kräfte am CM wirken, könnten sie den Stab nicht stationär im nicht-trägen Rahmen halten. Es ist davon auszugehen, dass am CM gewisse Kräfte wirken. Am CM kann angenommen werden, dass die Gewichtskraft und die fiktive Kraft, die sich aus der Translationsbeschleunigung ergibt, wirken. Betrachten Sie die starre Stange, die mit der Schwerkraft frei fallen kann, als einzige ausgeübte äußere Kraft. Im Trägheitsrahmen fällt der Stab, dreht sich aber nicht um seine CM, da angenommen werden kann, dass die Schwerkraft an der CM wirkt. Im Nicht-Trägheitssystem, in dem der Stab die Ruhe ist, wirkt die fiktive Kraft, die den Stab stationär hält, auf das CM und es gibt keine Rotation um das CM.

Es folgt eine ausführlichere Erörterung der Translations- und Rotationsbewegung.

Translations- und Rotationsbewegung im Trägheitsrahmen

Stellen Sie sich ein System von Teilchen vor, nicht unbedingt einen starren Körper. Siehe Abbildungen 1 und 2.

In einem Inertialsystem kann die Translationsbewegung unter der Annahme bewertet werden, dass sich die Gesamtmasse im Schwerpunkt (CM) befindet. Der gesamte lineare Impuls$\vec P = ∑_{i=1}^{k} m_i\vec v_i = M \vec V$Wo$m_i$ist die Masse jedes Teilchens mit Geschwindigkeit$\vec v_i$,$M = ∑_{i=1}^{k}m_i$ist die Gesamtmasse und$\vec V$ist die Geschwindigkeit des CM.$M \vec A = \vec F_{tot}{^{ext} }$Wo$\vec A$ist die Beschleunigung des CM und der gesamten externen Kraft$\vec F_{tot}{^{ext}} = ∑_{i=1}^{k}\enspace \vec F_i^{\,ext}$ist die Summe der äußeren Nettokraft auf jedes Teilchen.

Die Rotationsbewegung um einen Punkt kann nicht berücksichtigt werden, wenn die Gesamtmasse am CM liegt; Die Rotationsbewegung hängt von den spezifischen Stellen am Körper ab, an denen die äußeren Kräfte wirken. Der Gesamtdrehimpuls um einen Punkt$Q$Ist$\vec L_Q = ∑_{i=1}^{k}\enspace \vec r_{iQ} \times m_i \vec v_i$, Wo$\vec r_{iQ}$ist die Stellung von$i$gegenüber$Q$. Die Änderung des Drehimpulses des Systems um einen Punkt$Q$Ist${d \vec L_Q \over dt} = \vec N_Q^{\,ext} - \vec v_Q \times \vec P$Wo$\vec v_Q$ist die Geschwindigkeit von$Q$Und$\vec N_Q^{\,ext} = ∑_{i=1}^{k}\enspace \vec r_{IQ} \times \vec F_i^{\,ext}$ist das Gesamtdrehmoment von externen Kräften. [Kochmann] Wenn$Q$als CM gewählt wird, die$\vec v_Q \times \vec P$Begriff ist Null. Nur für bestimmte Kräfte, wie z. B. die Schwerkraft, kann angenommen werden, dass die Kräfte am CM zur Bewertung der Rotationsbewegung wirken.

Wie nachfolgend diskutiert wird, gelten ähnliche Schlussfolgerungen im Nicht-Trägheitssystem, wenn man auch die fiktiven Kräfte berücksichtigt. Die Translationsbewegung kann unter der Annahme bewertet werden, dass sich die Gesamtmasse im Schwerpunkt (CM) befindet. Die Rotationsbewegung hängt von den spezifischen Stellen am Körper ab, an denen die äußeren Kräfte wirken.

Translations- und Rotationsbewegung im Nicht-Trägheitsrahmen

Bei einem Teilchensystem ergibt sich die Bewegung des Massenschwerpunkts in einem nicht trägen Bezugsrahmen aus der gesamten externen Kraft im Trägheitsrahmen plus den folgenden fiktiven Kräften: Zentrifugalkraft, Coriolis-Kraft, Euler-Kraft und der Kraft von Translationsbeschleunigung des nicht inertialen Rahmens.
Betrachten Sie ein System von$k$Teilchen aus der Perspektive sowohl eines inertialen als auch eines nicht-inertialen Bezugsrahmens mit jeweiligen Ursprüngen bei O und O*. O ist stationär und O* ist in Bezug auf O in Beschleunigung und die kartesischen Achsen für O* rotieren in Bezug auf die von O. CM bezeichnet die Position des Massenschwerpunkts der Teilchen. Wie in Lehrbüchern der Physik-Mechanik abgeleitet, für ein einzelnes Teilchen im System der Teilchen [Symon]$(1) \enspace m{d^{*2} \vec r^{\, *} \over dt^2} = m( {d^{2}\vec r \over dt^2 }- \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r^{\,*} )- 2\vec \omega \times {d^*\vec r^{\,*}\over dt}- {d \vec\omega \over dt}\times \vec r^{\,*} - {d^2\vec h \over dt^2 })$

$(2)\enspace m{d^{*2}\vec r^{\,*}\over dt^2 }$ist die Beschleunigung des Teilchens im Nicht-Trägheitssystem.

$(3)\enspace m {d^{2} \vec r \over dt^2} = \enspace \vec F^{\,ext} + \vec F^{\,int}$Ist die Beschleunigung des Teilchens im Inertialsystem
wo$\vec F^{\,ext}$ist die äußere Nettokraft auf das Teilchen, und$\vec F^{\,int}$ist die innere Nettokraft auf das Partikel von anderen Partikeln.

$(4)\enspace - m\vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r^{\,*})$ist die Zentrifugalkraft auf das Teilchen im O*-Rahmen.

$(5)\enspace- 2mω \times {d^*\vec r^{\,*}\over dt}$ist die Coriolis-Kraft auf das Teilchen im O*-Koordinatensystem.

$(6)\enspace -m {d \omega\over dt}×\vec r^{\,*}$Ist die Euler-Kraft auf das Teilchen im O*-Rahmen.

$(7)\enspace -m{d^2\vec h \over dt^2}$ist die fiktive Kraft aus der Translationsbeschleunigung von O* bezüglich O.

Das Summieren der Gesamtpartikel im System unter Verwendung von Gl. 1 haben wir

$(8)\enspace ∑_{i=1}^{k} m_i{d^{*2} \vec r_i^{\,*} \over dt^2} = ∑_{i=1}^{k} m_i( {d^{2} \vec r_i \over dt^2} - \vec ω×(\vec ω×\vec r_i^{\,*}) - 2\vec ω×{d^* \vec r_i^{\,*} \over dt} - {d \vec ω\over dt} ×\vec r_i^{\,*} - {d^2 \vec h \over dt^2})$

$(9)\enspace ∑_{i=1}^{k} m_i {d^{2} r_i \over dt^2}=\sum_{i=1}^{k}\vec F_i^{\,ext} + \vec F_i^{\,int} = \sum_{i=1}^{k}\vec F_i^{\,ext}$da die gesamte innere Kraft auf der Grundlage des dritten Newtonschen Gesetzes null ist. Siehe Abbildung 2. Beachten Sie, dass der Abstand vom CM zum Partikel$i$Ist$\vec r_{iCM}$sowohl im O- als auch im O*-Rahmen. Für einen starren Körper ist die Größe von$\vec r_{iCM}$ist im Trägheits- (und Nicht-Trägheits-) System konstant.

$(10)\enspace \vec r_i^* = \vec R^* + \vec r_{iCM}$Wo$\vec r_i^*$ist der Ort des Teilchens$i$im O*-Rahmen in Bezug auf O*,$\vec R^*$der Ort des CM im O*-Frame ist, und$\vec r_{iCM}$ist der Ort des Teilchens$i$in Bezug auf die CM. Deshalb,

$(11) ∑_{i=1}^{k}\enspace m_i\vec r_i^* = ∑_{i=1}^{k}m_i\vec R^* + ∑_{i=1}^{k}m_i\vec r_{iCM}$.

Nach der Definition des CM

$(12)\enspace ∑_{i=1}^{k} m_i \vec r_i = MR$Wo$M= \sum_{i=1}^{k} m_i$ist die Gesamtmasse.

Unter Verwendung von Abb. 1,

$(13)\enspace MR = \sum_{i=1}^{k} m_i \vec r_i =\sum_{i=1}^{k} m_i (\vec R + \vec r_{iCM}) = MR + \sum_{i=1}^{k} m_i \vec r_{iCM}$, Deshalb

$(14)\enspace \sum_{i=1}^{k} m_i \vec r_{iCM} = 0$und Gl. (11) reduziert sich auf

$(15)\enspace \sum_{i=1}^{k} m_i \vec r_i^* = M\vec R^*$Wo$\vec R^*$der Ort des CM im O*-Frame ist.

Unter Verwendung von Gl. (15),

$(16)\enspace \sum_{i=1}^{k} m_i \vec v_i^* = M\vec V^*$Und

$(17)\enspace \sum_{i=1}^{k} m_i \vec a_i^* = M\vec A^*$Wobei V* und A* die Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung des CM im O*-System sind.

Unter Verwendung von Gl. (9), (15), (16) und (17) in Gl. (8), haben wir

$(18)\enspace M\vec A_{CM}^{\,*} = \vec F_{total}^{\,ext} -M\vec \omega \times(\vec \omega \times \vec R_{CM}^{\,*}) - 2M\vec \omega \times \vec V_{CM}^{\,*} - M{d\vec \omega \over dt} \times \vec R_{CM}^{\,*} - M\vec a_O^{\,*}$Wo$\vec F_{total}^{\,ext} = \sum_{i=1}^{k}\vec F_i^{\,ext}$Und$\vec a_O^* = {d^2 \vec h \over dt^2}$ist die Beschleunigung von O* bezüglich O.

Die linke Seite von Gl. (18) ist die Gesamtkraft auf das CM im nicht-trägen O*-Rahmen. Der erste Term auf der rechten Seite ist die gesamte äußere Kraft im Trägheitsrahmen. Der zweite, dritte und vierte Term auf der rechten Seite sind jeweils: die gesamte Zentrifugalkraft, die gesamte Coriolis-Kraft und die gesamte Euler-Kraft. Der letzte Term auf der rechten Seite ist die fiktive Kraft, die sich aus der Translationsbeschleunigung von O* ergibt. Die Beziehung (18) wird auch in einer Referenz bereitgestellt. [Kochmann]

Beachten Sie, dass die Netto-Zentrifugal-, Coriolis- und Euler-Kräfte in Bezug auf die Gesamtmasse und den Ort und die Bewegung des CM in Gl. (18), und die gesamte fiktive Kraft aus der Translationsbeschleunigung von O* kann als am CM wirkend angesehen werden.

Betrachten Sie nun die Rotationsbewegung im Nicht-Inertialsystem. Siehe Abbildung 3.

In Bezug auf Q ist im Nichtträgheitssystem der Gesamtdrehimpuls

$$(19) \enspace\vec L_{Q}^{\,*} = \sum_{i=1}^{k}m_i\vec r_{iQ}^{\,*} \times \dot {\vec r}_i^*$$ Verwenden$\vec r_{iQ}^{\,*} = r_i^{\,*} - R_Q^{\,*}$, die Ableitung des Gesamtdrehimpulses ist${d\vec L_{Q}^{\,*} \over dt } = \sum_{i=1}^{k}m_i \vec r_{iQ}^{^\,*} \times \vec a_i^{\,*} + \sum_{i=1}^{k}m_i \dot {\vec r_{i}}^{*} \times \dot {\vec r_{i}}^{\,*} - \dot {\vec R_{Q}}^{*} \times \sum_{i=1}^{k}m_i \dot {\vec r_{i}}^{*}$Wo$\vec a_i^{\,*}$ist die Teilchenbeschleunigung$i$im Nicht-Inertialsystem. Der zweite Term auf der rechten Seite ist Null.

$M \vec R_{CM}^* = \sum_{i=1}^{k}m_i r_i^*$Wo$\vec R_{CM}^*$ist die Position des CM im Nicht-Inertialsystem.$\vec P^* = \sum_{i=1}^{k}m_i\vec v_i^{\,*} = M\vec V^*$ist der gesamte lineare Impuls im Nicht-Trägheitsrahmen, wobei$\vec V_{CM}^*$ist die Geschwindigkeit des CM im Nicht-Trägheitsrahmen.$\dot {\vec R_{Q}}^{*} = \vec v_Q^{\,*}$.

Deshalb,

$$(20) \enspace{d \vec L_{Q}^{\,*} \over dt } = \sum_{i=1}^{k}m_i (\vec r_{iQ}^{^\,*} \times \vec a_{i}^{\,*}) - \vec v_{Q}^{\,*} \times \vec P^*$$ Unter Verwendung von Gl. (1) für$m_i\vec a_i^*$wir haben

$$(21) \enspace{d \vec L_{Q}^{\,*} \over dt } = \sum_{i=1}^{k}\vec r_{iQ}^{\,*} \times (\vec F_i^{\,ext} + \vec F_i^{\,cent} + \vec F_i^{\,corio} + \vec F_i^{\,Euler} + \vec F_i^{\,trans})$$

$\vec F_i^{\,ext}$ist die gesamte äußere Kraft auf das Teilchen$i$.

$\vec F_i^{\,cent} = - m_i\vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r_i^{\,*})$ist die Zentrifugalkraft auf das Teilchen im O*-System.

$\vec F_i^{\,corio} = - 2m_i \vec \omega \times {d^*\vec r_i^{\,*}\over dt}$ist die Coriolis-Kraft auf das Teilchen im O*-Koordinatensystem.

$\vec F_i^{\,Euler} = - m_i {d \vec \omega\over dt}×\vec r_i^{\,*}$ist die Euler-Kraft auf das Teilchen im O*-Rahmen.

$\vec F_i^{\,trans} = -m_i{d^2\vec h \over dt^2}$ist die fiktive Kraft aus der Translationsbeschleunigung von O*.

Das Drehmoment bzgl$Q$aus der gesamten fiktiven Kraft aufgrund der Translationsbeschleunigung von$O^*$Ist$\sum_{i=1}^{k}\vec r_{iQ}^{\,*} \times (-m_i{d^2\vec h \over dt^2}) = \sum_{i=1}^{k}m_i(\vec r_i^* - \vec R_Q^*) \times (-{d^2\vec h \over dt^2}) = (\vec R_Q^* - \vec R_{CM}^{\,*}) \times M{d^2\vec h \over dt^2}$. Daher ist die gesamte fiktive Kraft aufgrund der Translationsbeschleunigung von$O^*$kann in Betracht gezogen werden, bei der CM zu handeln.

Das Moment aus den anderen fiktiven Kräften kann nicht als äquivalent zu den am CM wirkenden Kräften angenommen werden. Dies wird auch in Bezug diskutiert. [Diaz]

Wenn$Q$als CM gewählt wird, ist das Moment aus der fiktiven Kraft aufgrund der Translationsbeschleunigung Null und

$$(22) \enspace {d\vec L_{CM}^{\,*} \over dt }= \sum_{i=1}^{k}\vec r_{iCM}^{\,*} \times (\vec F_i^{\,ext} + \vec F_i^{\,cent} + \vec F_i^{\,corio} + \vec F_i^{\,Euler})$$

Für einen starren Körper mit$O^*$als Punkt innerhalb des Körpers gewählt, ist die Corioliskraft Null. Und

$$(23) \enspace {d{\vec L_{CM\,rigid}^{\,*}} \over dt} = \sum_{i=1}^{k}\vec r_{iCM}^{\,*} \times (\vec F_i^{\,ext} + \vec F_i^{\,cent} + \vec F_i^{\,Euler})$$ Der Euler-Term ist Null für Konstante$\vec \omega$.

Im Folgenden wird ein möglicher Bereich der Verwirrung angesprochen. Der Drehimpuls eines rotierenden starren Körpers in Bezug auf seinen CM in einem nicht trägen rotierenden Rahmen - dem Körperrahmen - in dem der Körper ruht,$\vec L_{CM}^*$ist seit Null$\vec v_i^*$ist für jedes Teilchen Null$i$. Nennen wir den Drehimpuls im nicht rotierenden Raumsystem$\vec H_{CM}$bezüglich des CM ist nicht Null.$\vec L_{CM}^*$Und$\vec H_{CM}$sind nicht die gleichen Vektoren.

In Bezug auf die CM,$\vec H_B = {\bf I}\vec \omega$Wo${\bf I}\vec \omega$ist das Trägheitsmoment im Trägheitsraumrahmen und$\vec \omega$ist die Drehwinkelgeschwindigkeit des Körpers im Inertialsystem.${d\vec H_{CM} \over dt} = \vec N_{CM}$Wo$\vec N_{CM}$ist das Nettodrehmoment in Bezug auf das CM von den externen Kräften im Trägheitsrahmen. [Kochmann]

Für jeden (kostenlosen) Vektor$\vec G$

$$\enspace (24) {d \vec G \over dt}|_{space} = {d \vec G \over dt}|_{body} + \vec \omega \times \vec G$$ [Goldstein]${d \vec G \over dt}|_{space}$ist die Ableitung von$\vec G$ausgedrückt in Raumkoordinaten.${d \vec G \over dt}|_{body}$ist die Ableitung von$\vec G$ausgedrückt in Körperkoordinaten. Siehe meine Antwort auf Die Zeitableitungen von Vektoren in rotierenden Frames auf diesem Austausch für eine detaillierte Diskussion der Beziehung (24).

Unter Verwendung der Beziehung (24) für einen starren Körper kann die zeitliche Ableitung des Drehimpulses des räumlichen Rahmens in Bezug auf das CM ausgedrückt werden als

$$(25) \vec N_{CM}= \bf I_{body} \dot {\vec \omega} + \omega \times {\bf I_{body}}\vec \omega$$ Wo${\bf I_{body}}$ist der konstante Trägheitstensor im Körperrahmen. [Kochmann]

Der erste Term auf der rechten Seite der Beziehung (25) ist nicht die zeitliche Ableitung des Drehimpulses im nicht-trägen Körperrahmen, wo der Körper ruht; es ist die zeitliche Ableitung des Drehimpulses des Raumrahmens, ausgedrückt unter Verwendung von Körperrahmenkoordinaten. Die zeitliche Ableitung des Drehimpulses im nicht-trägen Körpersystem, in dem der Körper ruht, ist Null.

Verweise

[Goldstein] Goldstein, Klassische Mechanik

[Kochmann] https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/mavt/mechanical-systems/mm-dam/documents/Notes/Dynamics_LectureNotes.pdf .

[Symon] Symon, Mechanik

[Diaz] Zur Transformation von Drehmomenten zwischen Labor- und Schwerpunktbezugssystem (researchgate.net)