Beschleunigung in einem rotierenden Rahmen

Question

Beschleunigung in einem rotierenden Rahmen

Gate-Vorbereitung

Beschleunigung

[...]

Durch dreimaliges Anwenden der obigen Transformation vom stationären zum rotierenden Koordinatensystem kann die absolute Beschleunigung des Teilchens geschrieben werden als:
$\begin{aligned} A & = \frac{D^{2} R}{D T^{2}} = \frac{D}{D T} \frac{D R}{D T} = \frac{D}{D T} ([\frac{D R}{D T}] + ω \times R) \\ = [\frac{D^{2} R}{D T^{2}}] + ω \times [\frac{D R}{D T}] + \frac{D ω}{D T} \times R + ω \times \frac{D R}{D T} \\ = [\frac{D^{2} R}{D T^{2}}] + ω \times [\frac{D R}{D T}] + \frac{D ω}{D T} \times R + ω \times ([\frac{D R}{D T}] + ω \times R) \\ = [\frac{D^{2} R}{D T^{2}}] + \frac{D ω}{D T} \times R + 2 ω \times [\frac{D R}{D T}] + ω \times (ω \times R) . \end{aligned}$ $\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&={\frac {\operatorname {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(\left[{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}\ \right)\\&=\left[{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}\right]+{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\operatorname {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}\\&=\left[{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}\right]+{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\operatorname {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left[{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}\ \right)\\&=\left[{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}\right]+{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\operatorname {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+2{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})\ .\end{aligned}$

Hier habe ich gesehen, dass der letzte Begriff im Allgemeinen $\mathbf{\omega} {\times}\left(\mathbf{\omega} {\times} \mathbf{r} \right)$ . Die anderen Bedingungen heben sich ggf. auf.

Frage: Warum erfordern die Probleme mit rotierenden Rahmen die Verwendung von Nicht-Trägheitsrahmen anstelle von Bodenrahmen für allgemeine Berechnungen?

Nat

" annullieren aus " , wie, wann

\frac{d r}{d t} = 0

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{0}$ Und

\frac{d ω}{d t} = 0

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{\omega}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{0}$ ?

John Rennie

Ich bin mir nicht sicher, ob es stimmt, dass Probleme mit rotierenden Rahmen die Verwendung von Nicht-Trägheitsrahmen erfordern . Im Allgemeinen würde ich Studenten raten, die Arbeit in nicht-inertialen Systemen zu vermeiden, da sie unintuitiv sein können und es leicht ist, Fehler zu machen.

RogerJBarlow

Versammeln Sie sich mit Freunden und finden Sie einen Kinderspielplatz mit Karussell – je größer desto besser. (Ignorieren Sie alle „nur für Kinder“-Schilder, da dies im Interesse der Wissenschaft ist.) Bringen Sie sich in Schwung und spüren Sie dann die Kräfte: Probieren Sie einige einfache Experimente wie das Schwingen eines Pendels aus. Das gibt Ihnen eine gewisse Intuition, um die Mathematik zu verstehen.

Antworten (2)

Beschleunigung in einem rotierenden Rahmen

" annullieren aus " , wie, wann $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{0}$ Und $\frac{\mathrm{d}\mathbf{\omega}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{0}$ ?
Ich bin mir nicht sicher, ob es stimmt, dass Probleme mit rotierenden Rahmen die Verwendung von Nicht-Trägheitsrahmen erfordern . Im Allgemeinen würde ich Studenten raten, die Arbeit in nicht-inertialen Systemen zu vermeiden, da sie unintuitiv sein können und es leicht ist, Fehler zu machen.
Versammeln Sie sich mit Freunden und finden Sie einen Kinderspielplatz mit Karussell – je größer desto besser. (Ignorieren Sie alle „nur für Kinder“-Schilder, da dies im Interesse der Wissenschaft ist.) Bringen Sie sich in Schwung und spüren Sie dann die Kräfte: Probieren Sie einige einfache Experimente wie das Schwingen eines Pendels aus. Das gibt Ihnen eine gewisse Intuition, um die Mathematik zu verstehen.

David Hammen · Answer 1

Warum erfordern die Probleme mit rotierenden Rahmen die Verwendung von Nicht-Trägheitsrahmen anstelle von Bodenrahmen für allgemeine Berechnungen?

Sie tun es nicht. Die Verwendung eines rotierenden Rahmens kann manchmal die Lösung eines Problems erleichtern als andere Bezugsrahmen, insbesondere wenn die Nicht-Trägheitseffekte ignoriert werden können oder eingebaut sind. Bei letzterem ist bei Verwendung eines Bodenrahmens die fiktive Fliehkraft „eingebaut“. Die Erdbeschleunigung g ist die Vektorsumme der Erdbeschleunigung und der Zentrifugalbeschleunigung.

In Bezug auf den ersteren wird der Coriolis-Effekt typischerweise in einführenden physikalischen Problemen ignoriert, die berechnen, wie weit eine Kanonenkugel fliegt. Unter der Annahme, dass die Gravitationsbeschleunigung ein konstanter Vektor ist und das Ignorieren des Luftwiderstands und des Coriolis-Effekts führt zu einem netten einfachen Modell, dem Parabelflug, das die Schüler verwenden können, um Probleme zu lösen. Das Ignorieren des Coriolis-Effekts steht im Einklang mit diesen anderen vereinfachenden Annahmen.

Diese Annahmen stimmen nicht mit einer Kanonenkugel (oder einem anderen ballistischen Projektil) überein, die sich weit über die Erdatmosphäre erhebt, nur um auf einem anderen Kontinent zur Erde zurückzukehren. Dies ist jedoch eher ein Problem für Studenten des Globalen Thermonuklearen Krieges als für Studenten der Einführungsphysik.

Ob Rotationseffekte "eingebaut" werden und ob der Groundframe verwendet wird, ist unabhängig voneinander. In der Geophysik ist es üblich, die tatsächlich gemessene Gravitationsbeschleunigung anzugeben, die, wie Sie betonen, kleiner als die wahre Gravitation ist. Beschleunigung aufgrund der Erdrotation. Im Falle der Meteorologie: In den Gleichungen meteorologischer Modelle wird der Zentrifugalterm weggelassen. Würde man den Zentrifugalterm nicht weglassen, so würde der Zentrifugaleffekt zweimal eingeführt: einmal mit der gemessenen Erdbeschleunigung und noch einmal mit dem Zentrifugalterm.

Kleonis · Answer 2

In Anlehnung an die Antwort von David Hammen:
Je nachdem, was man berechnen möchte, wägt man ab, was praktikabler ist.

Einige Beispiele:
Angenommen, Sie möchten ballistische Flugbahnen berechnen, im vereinfachten Fall einer Erde ohne Atmosphäre. Sie haben einen Computer und können Berechnungen programmieren.

Dann ist es sinnvoll, das nicht rotierende Koordinatensystem zu verwenden, das sich mit dem Erdmittelpunkt mitbewegt. Sie finden die Startgeschwindigkeit und -richtung des Projektils und damit numerisch, wie lange sein Flug dauert. Während des Flugs hat sich die Erde unter dem fliegenden Projektil gedreht, daher besteht der letzte Schritt dieser Berechnung darin, zu berücksichtigen, wie stark sich die Erde während des Flugs gedreht hat. Vorteil der Verwendung des Trägheitskoordinatensystems: Die Flugbahn ist eine Keplerbahn; sehr einfach zu berechnen.

Nehmen wir nun an, Sie möchten eine genauere Simulation und die Luftreibung berücksichtigen. Die Luftmasse der Erde bewegt sich mit der Erde mit, daher hat sie eine Geschwindigkeit relativ zum nicht rotierenden Koordinatensystem, die Sie berücksichtigen müssen.

Ein weiteres Beispiel für einen Fall, in dem alle Eingabedaten relativ zu dem mit der Erde mitrotierenden Koordinatensystem angegeben werden: Meteorologie. Durch die Verwendung des mit der Erde mitrotierenden Koordinatensystems gehen alle Eingabedaten direkt ein. In diesem Fall wäre es also praktischer, das mitrotierende Koordinatensystem zu verwenden.

Allgemeine Anmerkung:
Wie von John Rennie betont: Die Grundlage für das Verständnis von Bewegung ist es, in Begriffen der Bewegung in Bezug auf das Trägheitskoordinatensystem zu denken.

Um Bewegungsgesetze zu verwenden, gibt es nur eine Wahl des Bezugssystems: die Äquivalenzklasse von Trägheitskoordinatensystemen. Davon gibt es keine Ausnahmen; das „Omega“ im Ausdruck der Transformation ist die Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Koordinatensystems in Bezug auf die Äquivalenzklasse der Trägheitskoordinatensysteme.
Das heißt: Die Gleichungen für das rotierende Koordinatensystem funktionieren, weil sie sich auf das Trägheitskoordinatensystem beziehen.

Beschleunigung in einem rotierenden Rahmen

Gate-Vorbereitung

Beschleunigung

Nat

John Rennie

RogerJBarlow

Antworten (2)

David Hammen

Kleonis

Kleonis

Wie können wir F=maF=maF = ma schreiben, wenn die Kraft rahmenunabhängig und die Beschleunigung rahmenabhängig ist?

Wie rationalisiert ein Beobachter außerhalb eines sich beschleunigenden Körpers die Auswirkungen von Pseudokraft?

Wo wirkt Pseudokraft?

Ist Pseudokraft nur eine Ad-hoc-Zahl, um Bewegung in nicht-trägen Rahmen zu erklären?

Die beiden Ursachen für den Faktor 2 im Coriolis-Effekt

Alle Referenzrahmen sind inertial? Wo ist der Denkfehler?

Wer spielt die Rolle der Zentrifugalkraft in einem Trägheitsbezugssystem?

Eine fiktive Kraft in einem umlaufenden Bezugssystem, das sich nicht dreht

Reicht das Gefühl einer scheinbaren Beschleunigung innerhalb des Rahmens oder der sichtbaren Kraftquelle aus, um zu wissen, ob dieser Rahmen nicht träge ist?

Wenn die Zentrifugalkraft nicht real ist, warum werde ich dann zu einer Karussellfahrt gedrängt? [Duplikat]