Die beiden Ursachen für den Faktor 2 im Coriolis-Effekt

Hier ist eine$^1$Betrachtungsweise über ein geschwindigkeitsabhängiges Potential. Das Coriolispotential ist

$$U_{\rm cor} ~=~ -m({\bf v} \times {\bf \Omega})\cdot{\bf r} ~=~-{\bf v}\cdot ({\bf \Omega}\times{\bf r} ),\tag{1}$$

vgl. Ref. 1. Der Faktor$\color{red}{2}$kommt von zwei verschiedenen Termen in der entsprechenden Kraftformel

$$\begin{align} {\bf F}~=~&\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial U_{\rm cor}}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U_{\rm cor}}{\partial {\bf r}}\cr ~\stackrel{(1)}{=}~&m\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} ({\bf r}\times {\bf \Omega}) + m{\bf v} \times {\bf \Omega}\cr ~\stackrel{\begin{matrix}\text{Leibniz}\\ \text{rule}\end{matrix}}{=}&~\underbrace{\color{red}{2}m {\bf v} \times {\bf \Omega}}_{\text{Coriolis force}} + \underbrace{m{\bf r} \times \dot{{\bf \Omega}}}_{\text{Euler force}} \end{align}.\tag{2}$$

Verweise:

1. LD Landau & EM Lifshitz, Mechanik, Bd. 1, (1976);$\S$39.

--

$^1$Alternativ wird in diesem Phys.SE-Beitrag eine elementare Herleitung der Coriolis-Beschleunigung gegeben , wobei der Faktor$\color{red}{2}$ergibt sich aus einem Binomialkoeffizienten$\begin{pmatrix}2 \\1 \end{pmatrix}=\color{red}{2}$in einem begriffsübergreifenden.

Nehmen Sie ein freies Teilchen, das sich auf einer Ebene in Polarkoordinaten bewegt

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos \theta \\ r \sin \theta \end{pmatrix}$$

Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Kettenregel, mit klarer Trennung für radiale und tangentiale Komponenten:

$$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} \begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix}$$

Die Beschleunigung wird durch Differentiation wiedergefunden

$$\begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \end{pmatrix} = \frac{{\rm d}\begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix}}{{\rm d}t} \begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix} + \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} \frac{{\rm d}\begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix}}{{\rm d}t}$$

$$=\begin{vmatrix} 0 & -\dot{\theta} \\ \dot{\theta} & 0 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix}\begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix} + \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix}\begin{pmatrix} \ddot{r} \\ r \ddot{\theta}+\dot{r} \dot{\theta}\end{pmatrix}$$

$$= \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} \left[\begin{vmatrix} 0 & -\dot{\theta} \\ \dot{\theta} & 0 \end{vmatrix}\begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \ddot{r} \\ r \ddot{\theta}+\dot{r} \dot{\theta}\end{pmatrix}\right]$$

Das obige ist zunächst eine Rotationsmatrix von$\theta$, dann die Auswirkung der Rotation auf die (lokale) Geschwindigkeit und schließlich die (lokale) Beschleunigung. Beachten Sie, dass in radialer Richtung die lokale Beschleunigung gerade ist$\ddot{r}$, und in tangentialer Richtung hat es zwei Terme. Eine davon ist Eulers Beschleunigung$r \ddot{\theta}$und die andere Hälfte der Coriolis-Term. Dieser Anteil ist auf die Richtungsänderung der Radialgeschwindigkeit zurückzuführen.

$$\begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \end{pmatrix} = ({\rm Rotation}) \left[ \begin{pmatrix} -r \dot{\theta}^2 \\ \dot{r} \dot{\theta} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \ddot{r} \\ r \ddot{\theta} + \dot{r} \dot{\theta} \end{pmatrix} \right]$$

Nun der erste Teil$(-r \dot{\theta}^2, \dot{r} \dot{\theta} )$enthält die Zentrifugalbeschleunigung in radialer Richtung und die Orientierungsänderung der Tangentialbeschleunigung, die die andere Hälfte des Coriolis-Effekts ist.

Aber ich finde das alles verwirrend. Ich schaue mir lieber ein Bild an:

Die Änderungen des Geschwindigkeitsvektors in radialen Koordinaten (wobei das Rotationszentrum in der -x - Richtung liegt. Die beiden$\dot{r} \dot{\theta}$Terme im Coriolis-Term stammen von a) Abdrehen$\dot{r}$und b) Verlängerung von$r \dot{\theta}$.

Die anderen Antworten sind fantastisch und die Mathematik ist genau richtig, aber diese Antwort bietet eine zusätzliche Intuition hinter den beiden "getrennten" Ursachen. Siehe den letzten Absatz zur Motivation für diese zusätzliche Antwort.

Stellen Sie sich einen Zug vor, der sich auf der Nordhalbkugel mit konstanter Geschwindigkeit relativ zum Boden direkt nach Norden bewegt. Wenn es weiter nach Norden reist, nimmt die östliche Geschwindigkeit der Erdoberfläche ab. Der Boden muss daher eine westliche Kraft (die der östlichen Coriolis-Kraft entgegenwirkt) auf den Zug ausüben, um ihn zu verlangsamen und ihm eine Ost/West-Geschwindigkeit von Null relativ zum Boden zu geben. Wenn wir die Gleichung für diese Kraft herleiten, ist dies genau 1/2 des Coriolis-Effekts. Wir könnten dann fälschlicherweise annehmen, dass alle anderen beteiligten Kräfte radial sind (um es einfach zu machen, nehmen wir an, dass die Erde eine perfekte Kugel ist). Diese Argumentation ist falsch; Betrachten Sie das Bild unten.

In diesem Bild sehen wir die Erde von oberhalb des Nordpols. Unser Zug (der rote Punkt) fährt nach Norden. Geschwindigkeiten sind rot und Kräfte blau.

Das linke Bild zeigt den oben beschriebenen Effekt. Wenn sich der Zug nach Norden bewegt, wird der Boden "langsamer", also muss er eine nach Westen gerichtete "Kraft" auf den Zug ausüben. Dies macht genau die Hälfte der Coriolis-Kraft aus. (Zur Verdeutlichung: Die Coriolis-Kraft ist nach Osten gerichtet, und der Boden übt eine entgegengesetzte nach Westen gerichtete Kraft auf den Zug aus).

Das rechte Bild zeigt den anderen Effekt im Spiel. Stellen Sie sich zwei Züge vor, die mit derselben Geschwindigkeit und denselben Breitengraden, aber unterschiedlichen Längengraden nach Norden fahren (einer befindet sich direkt östlich des anderen). Die Richtungen der Zuggeschwindigkeiten (die beiden roten Pfeile) sind im 3D-Raum eindeutig unterschiedlich. Die vom Zug auf den Boden ausgeübte Kraft kann nicht rein radial sein, um die Geschwindigkeit des westlichen Zuges in die Geschwindigkeit des östlichen Zuges umzuwandeln (es gibt eindeutig eine westliche Komponente dieser Kraft). Darüber hinaus wird der Effekt in der obigen Begründung oder im Bild links nicht berücksichtigt, da es keine Verschiebung nach Norden gibt (sie bewegen sich beide nach Norden, befinden sich aber auf demselben Breitengrad).

Mit anderen Worten, die Hälfte (es ist mathematisch leicht zu zeigen, dass es genau die Hälfte ist) der Coriolis-Kraft in dieser Situation wird durch die Tatsache verursacht, dass sich der Boden "langsamer bewegt", wenn wir nach Norden gehen, und die Hälfte wird durch die Tatsache verursacht, dass Wir müssen unsere konstante Nordgeschwindigkeit umwandeln, wenn sich die Erde dreht und sich unsere Definition von Norden ändert.

Hoffentlich macht dies es für diejenigen klarer, die wie ich der Mathematik folgen konnten, aber nicht der Intuition hinter den anderen Antworten.

Motivation für die Zusatzantwort: Die beiden anderen Antworten sind fantastisch und die Mathematik stimmt, aber nach mehrmaligem Lesen fehlte mir immer noch die Intuition. Darüber hinaus hatte ich es auf ganz andere Weise als die anderen Antworten aus den ersten Prinzipien abgeleitet, die Hälfte der Antwort erhalten und konnte nicht erkennen, wo meine Logik schief gelaufen ist (es stellte sich heraus, dass ich die „Bodenbewegungen langsamer“ berücksichtigte as we go north"-Effekt, aber nicht der andere Effekt). Der Fragesteller hier hatte genau das gleiche Problem, aber seine oder ihre Frage war als Duplikat markiert, sodass ich dort nicht antworten konnte. Wie die Antworten hier bietet die Antwort dort eine fantastische mathematische Ableitung, aber keine intuitive Aufschlüsselung der beiden "getrennten" Faktoren.