Über Referenzrahmen in Newtons zweitem Gesetz?

Sie haben eine falsche Vorstellung von der klassischen Raumzeit$V^4$. Es ist nicht das kartesische Produkt$\mathbb E^3 \times \mathbb R$.

Es ist stattdessen ein Faserbündel

$$T: V^4 \to \mathbb R$$ so dass jede Faser $\Sigma_t = T^{-1}(t)$, der absolute Raum zu einer festen Zeit $t$, isomorph zu einem dreidimensionalen euklidischen Raum (*) $\mathbb E^3$. Die Basis des Bündels, die Achse $\mathbb R$, ist der Bereich der absoluten Zeit $T$die bis auf eine additive Konstante definiert ist.

Der Unterschied zwischen dieser Vorstellung von Raumzeit als Bündel$T: V^4 \to \mathbb R$und ein triviales Skalarprodukt$\mathbb E^3 \times \mathbb R$Grundsätzlich gilt: Hier gibt es keine kanonische Darstellung von$V^4$als kartesisches Produkt$\mathbb E^3 \times \mathbb R$.

Genauer gesagt definiert jede Wahl eines Bezugsrahmens eine solche Darstellung .

Ein Bezugssystem ist nichts anderes als eine (glatte) surjektive Abbildung

$$\pi : V^4 \to \mathbb E^3$$ so dass $\pi|_{\Sigma_t} : \Sigma_t \to \mathbb E^3$ist ein Isomorphismus euklidischer Räume (dh eine surjektive affine Isometrie), für alle $t\in \mathbb R$.

In diesem Bild,$\mathbb E^3$wird als Ruheraum des Bezugssystems angesehen .

Auf diese Weise die Raumzeit$V^4$wird mit dem kartesischen Produkt identifiziert$\mathbb R \times \mathbb E^3$mittels

$$V^4 \ni p \mapsto (T(p), \pi(p)) \in \mathbb R \times \mathbb E^3$$

Je nach Wahl des Bezugssystems gibt es jedoch unendlich viele solcher Identifikationen.

Betrachten Sie zwei Referenzrahmen$\pi$Und$\pi'$und fixiere kartesische orthonormale Koordinaten in den jeweiligen Ruheräumen$\mathbb E^3$Und$\mathbb E'^3$, und verwende als Zeitkoordinate die bis auf eine additive Konstante definierte absolute Zeit.

Mit der Tatsache, dass$\pi'|_{\Sigma_t}\circ (\pi|_{\Sigma_t})^{-1} : \mathbb E^3 \to \mathbb E'^3$eine surjektive affine Isometrie ist, sieht man leicht, dass die Koordinatentransformation die Form haben muss

$$t'=t+c \:,\quad x'_i = \sum_{j=1}^3 R_{ij}(t) x_j + b_i(t) \tag{1}$$ Wo $R(t) \in O(3)$Und $b(t) \in \mathbb R$für jeden $t$.

Dies sind die allgemeinsten Transformationen von Koordinaten zwischen kartesischen Koordinaten im Ruhezustand mit unterschiedlichen Referenzrahmen.

Zum Definieren der Geschwindigkeit eines Abschnitts

$$\mathbb R \ni t \mapsto \gamma(t) \in \Sigma_t$$ du brauchst wie angegeben ein komplettes bezugssystem nicht nur einen bezugspunkt. Tatsächlich ist die Geschwindigkeit von $\gamma$gegenüber $\pi$wird berechnet als $$\vec{V}_\pi(t) := \frac{d}{dt}\pi(\gamma(t))$$ und mit dieser Definition ist es ein Vektor im Ruheraum$\mathbb E^3$von$\pi$. Es kann jedoch als Vektor in gesehen werden $\Sigma_t$unter Verwendung der Umkehrung des Isomorphismus $\pi|_{\Sigma_t} : \Sigma_t \to \mathbb E^3$. Unter Ausnutzung dieser Identifikation können Geschwindigkeiten des gleichen Abschnitts, aber bezogen auf verschiedene Referenzsysteme, im Absolutraum verglichen werden $\Sigma_t$.

BEMERKUNG . Es reicht nicht aus, einen Referenzpunkt, also einen Abschnitt, festzulegen$\mathbb R \ni t \to O(t) \in \Sigma_t$um die Geschwindigkeit eines anderen Abschnitts zu definieren$\mathbb R \ni t \to \gamma(t) \in \Sigma_t$. Ihre Idee ist es, die Grenze zu nehmen

$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\left[\left(\gamma(t+h) -O(t+h)\right) - \left(\gamma(t) -O(t)\right)\right]\:.$$ Der Punkt ist, dass der Unterschied $$\left(\gamma(t+h) -O(t+h)\right) - \left(\gamma(t) -O(t)\right)$$ macht keinen Sinn, da die beiden Vektoren $\gamma(t+h) -O(t+h)$Und $\gamma(t) -O(t)$gehören verschiedenen Vektorräumen an. Um diesen Unterschied fühlbar zu machen, ist es notwendig, die Räume isometrisch zu identifizieren . Genau das tut der Begriff des Bezugsrahmens.

Trägheitsreferenzsysteme sind als Referenzsysteme definiert, in denen sich jeder isolierte Körper mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Es ist leicht zu beweisen, dass diese Einschränkung die Form der Koordinatentransformation (1) zwischen Inertialsystemen stark einschränkt, auf die sie sich daher spezialisiert

$$t'=t+c \:,\quad x'_i = \sum_{j=1}^3 R_{ij} x_j + tv_i + b_i \tag{2}$$

das ist eine generische Transformation von Galileos Gruppe. Es ist schön zu beobachten, dass es bis auf Isomorphismen nur eine affine Struktur in der klassischen Raumzeit gibt, so dass ruhende kartesische Koordinaten mit Trägheitsreferenzrahmen zusammen mit der absoluten Zeit als vierte Koordinate affine Koordinatensysteme dieser Struktur definieren. Die Abschnitte der Raumzeit, die rechte Linien (Geodäten) dieser affinen Struktur sind, sind alle möglichen Trägheitsentwicklungen isolierter Materiepunkte. In dieser Hinsicht sind klassische Physik und GR nicht so verschieden.

Aussagen wie das zweite Newtonsche Gesetz werden mit diesem Bezugssystembegriff formuliert (wenn man ganz streng sein will).

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(*) Ein euklidischer Raum $\mathbb E^n$ist ein affiner Raum, dessen$n$-dimensionaler Vektorraum$T^n$Beschreibung von Übersetzungen in$\mathbb E^n$ist mit einem positiven Skalarprodukt ausgestattet.

Es scheint mir, dass nur Punkt O benötigt wird, die Basis interessiert uns eigentlich nicht.

Wir kümmern uns tatsächlich um die Basis, sehr sogar. In der Newtonschen Mechanik ist der Verschiebungsvektor zwischen einem Punkt und einem anderen in$\mathbb R^3$ist in der Tat Frame-unabhängig. Dieser Verschiebungsvektor könnte durchaus unterschiedliche Darstellungen in verschiedenen Basen haben, aber alle diese Verschiebungsvektoren sind im Wesentlichen derselbe Vektor.

Dasselbe gilt nicht für die zeitlichen Ableitungen dieser Vektoren. Die zeitliche Ableitung eines Verschiebungsvektors ist eine frameabhängige Größe, abhängig von den Linear- und Winkelgeschwindigkeiten der Beobachter. Dies gilt auch für die zweite zeitliche Ableitung eines Verschiebungsvektors. Da das zweite Newtonsche Gesetz eine Aussage über Ableitungen nach der zweiten Zeit ist, ist es irrelevant, dass Verschiebungsvektoren für alle Beobachter im Wesentlichen gleich sind.