Was ist die physikalische Bedeutung der Standardbasisvektoren?

Ihre Basisvektoren sind Einheitsvektoren , die (ironischerweise) einheitslos sind. Daher ist es für alle von Ihnen vorgeschlagenen Beispiele für Basisvektoren etwas irreführend, anzugeben, was der Vektor darstellt.

Mit anderen Worten, Sie können sich alle Ihre Basisvektoren vorstellen ($\hat d_1$,$\hat d_2$,$\hat d_3$,$\hat F_1$,$\hat F_2$,$\hat F_3$,$\hat i$,$\hat j$,$\hat k$) als reine Richtungen im Raum. Diese Sätze von Basisvektoren stellen keine Positionen, Kräfte usw. dar. Ihre tatsächlichen Komponentenbeträge ($a$,$b$,$c$usw.) haben Einheiten, und das bestimmt, was der Vektor physikalisch darstellt.

Deshalb können Sie viele Vektorgrößen mit demselben Satz von Basisvektoren erklären. Position, Kraft usw. haben alle eine Richtung in dem Raum, den Sie betrachten. Daher können Sie jeden Vektor mit denselben Basisvektoren ausdrücken.

Wenn Sie also sagen: "Ich kann drei Verschiebungsvektoren finden und sie als Basisvektoren verwenden", meinen Sie wirklich: "Ich habe drei Verschiebungsvektoren, und ich kann ihre Richtungen nehmen und Basisvektoren definieren." (vorausgesetzt, sie bilden tatsächlich eine gültige Grundlage). Mit Ihrem Beispiel sind dies

Diese Basisvektoren sind nur Richtungen, ihnen sind keine Einheiten zugeordnet, und Sie können sie verwenden, um jeden anderen Vektor zu erklären. Beispielsweise könnte eine Kraft sein

1. Wenn Sie speziell einige in Betracht ziehen$\mathbf{\hat{F}}_i$,$\mathbf{\hat{F}}_j$, Und$\mathbf{\hat{F}}_k$als 'Kraftbasis' würden Sie eine willkürliche Kraft ausdrücken$\mathbf{F}$als

   $$\mathbf{F}=F_i\mathbf{\hat{F}}_i+F_j\mathbf{\hat{F}}_j+F_k\mathbf{\hat{F}}_k$$ Wo$F_i$,$F_j$, Und$F_k$sind dimensionslose Skalare. Dies wird im Allgemeinen nicht durchgeführt, da es in mehrfacher Hinsicht unpraktisch ist. Die lineare Unabhängigkeit der Basisvektoren ist offensichtlich einfach auszuarbeiten, wenn Sie so etwas in Betracht ziehen$\mathbf{\hat{F}}_i=\langle1~\mathrm{N},0~\mathrm{N},0~\mathrm{N}\rangle$. Sie behaupten, dass die Basis ein Satz von Einheitsvektoren ist, also der Betrag von$\mathbf{\hat{F}}_a$(Wo$a$repräsentiert$i$,$j$, oder$k$) muss sein$1$. Aber die Dimensionen werden hier böse, und wir bekommen$||\mathbf{\hat{F}}_i||=\sqrt{1~\mathrm{N}^2}=1~\mathrm{N}\approx0.225~\mathrm{lbf}$. Dies bedeutet, dass Ihre Einheitsvektoren aus irgendeinem Grund Newton bevorzugen, da der Modul in anderen Einheiten dies nicht ist$1$. Das ist nicht etwas, was Sie wollen. Sie können sie natürlich immer noch als Basis bezeichnen, da sie als Basis funktionieren, indem Sie es Ihnen ermöglichen, jeden anderen Kraftvektor auf einzigartige Weise der Form auszudrücken$\mathbf{F}=F_i\mathbf{\hat{F}}_i+F_j\mathbf{\hat{F}}_j+F_k\mathbf{\hat{F}}_k$.

2. Betrachten wir eine mathematische Formel für die Momentanleistung,$P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$. Verwenden des vorgeschlagenen Satzes von Geschwindigkeitseinheitsvektoren$\mathbf{\hat{v}}_a$und Krafteinheitsvektoren$\mathbf{\hat{F}}_i$, wir haben eine sehr wenig hilfreich

   $$P=(F_i\mathbf{\hat{F}}_i+F_j\mathbf{\hat{F}}_j+F_k\mathbf{\hat{F}}_k)\cdot(v_i\mathbf{\hat{v}}_i+v_j\mathbf{\hat{v}}_j+v_k\mathbf{\hat{v}}_k),$$ die Erweiterung davon ist nicht einmal eindeutig ein Skalar, da$\mathbf{\hat{F}}_a\cdot\mathbf{\hat{v}}_a$Und$\mathbf{\hat{F}}_a\cdot\mathbf{\hat{v}}_b$wurden nicht definiert (und wenn Sie sie definieren, erhalten Sie alles andere als elegante Ergebnisse).

3. Die Lösung besteht darin, einen "universellen" Satz von Basisvektoren zu verwenden$\mathbf{\hat{i}}$,$\mathbf{\hat{j}}$, Und$\mathbf{\hat{k}}$, die mit dimensionellen Skalaren multipliziert werden können, um gewünschte Vektoren wie Verschiebung und Kraft zu ergeben. Diese Einheitsvektoren lassen Sie nicht mit verschiedenen Sätzen von Einheiten kämpfen (wie Zentimeter in Meter und solche Umrechnungen), und sie sind einfach Hinweise auf zueinander orthogonale Richtungen im dreidimensionalen Raum$\mathbb{R}^3$. Der kritische Punkt ist, dass die Koeffizienten dieser Einheitsvektoren im Allgemeinen nicht dimensionslos sind, obwohl sie Skalare sind, und so erhält der Vektor schließlich eine intuitive physikalische Bedeutung.