Warum ist Kraft ein Vektor? (Die Feynman-Vorlesungen)

Ok, ich denke, das ist die Antwort, nach der Sie wahrscheinlich suchen. Alle anderen geben mathematisch korrekte Antworten, aber ich glaube, sie haben vergessen, dass Feynmann eine komische Definition von Vektoren hat; er definiert sie als ein dreikomponentiges Objekt, das sich wie verwandelt$\vec{r}$wenn Sie das System drehen.

Also: Das wollen wir zeigen$\vec{F}$verwandelt sich wie$\vec{r}$tut unter Drehungen.

Das stellen wir zunächst fest$\vec{v}$wird von gegeben$\frac{d\vec{r}}{dt}$, so verwandelt es sich wie$\vec{r}$. Genauer gesagt, wenn$R$ist eine Rotationsmatrix, und$\vec{v}'$ist unsere transformierte Geschwindigkeit, die wir haben

Ähnlich,$\vec{a}$verwandelt sich wie$\vec{r}$, da es die zweite Ableitung von ist$\vec{r}$. Dann seit$\vec{F}=m\vec{a}$, es verwandelt sich auch wie$\vec{r}$.

Ich sollte Sie warnen, dass Sie hier zwei Konzepte verschmelzen:

1) ob ein bestimmtes Objekt ein Vektor oder kein Vektor oder ein Pseudo-Vektor ist .

2) Ob eine gegebene Kraft eine reale Kraft oder eine pseudo/fiktive Kraft ist .

zu Punkt 1): -Die formale Definition eines Vektors ist, dass er ein Element ist-$n$-Tupel - eines Vektorraums , der eine Gruppe von Axiomen erfüllt.

Ich werde nicht alle Axiome auflisten (Sie können sie im Wiki-Artikel über Vektorräume nachlesen), aber einige enthalten Dinge wie, wenn Sie einen Vektor skalieren, sollte er ein Vektor bleiben (Schließung unter Skalierung), wenn Sie zwei Vektoren hinzufügen , das Ergebnis ist auch ein Vektor (Abschluss unter Addition) und so weiter.

Auch dieser Vektorraum muss mit einem Skalarprodukt (Skalarprodukt) ausgestattet werden, das es uns ermöglicht, seine Größe und Richtung zu messen.

Entsprechend kann man, wie Sie gesagt haben, einen Vektor als ein Objekt definieren, das sich beispielsweise unter Koordinatendrehung richtig transformiert, wie beispielsweise der Verschiebungsvektor. Diejenigen, die die vorgenannten Axiome nicht erfüllen, sind keine Vektoren.

Aber es gibt eine dritte Kategorie namens Pseudovektoren, sie sind fast in allem wie Vektoren, außer dass sie sich bei Koordinateninversion anders verhalten. Zum Beispiel, wenn Sie einen Vektor haben$\mathbf{A}$zeigt in die positive x-Richtung, und wenn Sie jetzt Ihre Koordinaten invertieren, wird es zu$- \mathbf{A}$im neuen System, was Sinn macht.

Wenn Sie das Objekt betrachten

Wenn Sie eine Koordinatenumkehrung angewendet haben, wie$\mathbf{C}$wird wie im neuen System aussehen? so was

So$\mathbf{C}$ändert bei Inversion nicht das Vorzeichen! Ein solches Objekt wird als Pseudovektor bezeichnet.

Kraft ist nichts anderes als der um den Faktor skalierte Beschleunigungsvektor$m$(Erinnern Sie sich an den Abschluss unter dem Skalierungsaxiom), sodass er von der Beschleunigung alles erbt, was ihn zu einem richtigen Vektor macht. Was hat es also mit dem Pseudo-Force-Talk auf sich? das bringt mich zu Punkt 2):

-Auch im Bereich der klassischen Mechanik gelten die Newtonschen Bewegungsgesetze nicht immer. Sie gelten nur für Beobachter, die sich in Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit befinden. Daher brechen die Gesetze für Beobachter, die beschleunigen (rotierende oder sich bewegende ungleichförmige Translationsbewegung usw.), zusammen.

Eine sehr eigentümliche Sache namens Fiktive Kraft entsteht. Wenn zum Beispiel ein Bus plötzlich anhält, erleben Sie und alles andere einen Schubs nach vorne. Wir nennen das aus gutem Grund pseudo/fiktiv. Denn für Beobachter am Boden werden die Personen im Bus nicht durch irgendeine Kraft "geschoben", sondern ihre Trägheit in Kombination mit der Tatsache, dass der Bus abbremst (Aufnahmegeschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung zu seiner Bewegungsrichtung), die ihnen gibt die Illusion, gedrängt zu werden.

Eine Pseudokraft ist also eine Kraft, die entsteht, wenn Beobachter beschleunigt werden, und sobald wir die Koordinaten auf Beobachter in Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit umschalten, verschwindet diese Kraft.

Die Sache ist, dass eine Kraft ein Vektor ist, ob eine bestimmte Kraft eine echte Kraft oder eine pseudo/fiktive Kraft ist, ist eine andere Geschichte.

Dies ist eine alte Frage, die früher von Lehrbüchern ernst genommen wurde.

Aus dynamischer Sicht könnte man davon ausgehen$F=m\vec a$oder$\mathrm d \vec p/\mathrm d t$und dann muss eine Kraft ein Vektor sein, weil Beschleunigung und Impuls es sind, und das liegt daran, dass letztendlich die Verschiebung (mindestens eine über kleine Zeitintervalle) Vektoren sind (oder zumindest die Grenzen ihrer Änderungen sind).

Aber man kann Kräfte ohne Dynamik haben. Wenn Sie also die Statik als ein separates Thema betrachten, das seiner eigenen Grundlage und Erklärungskraft würdig ist, dann brauchen Sie einen völlig separaten Grund dafür, dass Kräfte ein Vektor sind. Aber jetzt können Sie ein Symmetrie-Argument anführen. Das Fehlen einer Geschwindigkeit ermöglicht es Ihnen zu argumentieren, dass Kräfte ähnliche Vektoren hinzufügen müssen. Und die Statik erfordert die Fähigkeit, Kräfte hinzuzufügen, um eine Gesamtkraft zu erhalten.

Es gibt viele verschiedene Argumente für das statische Symmetrie-Argument. Einige sind einfacher oder sauberer, funktionieren aber nur für Kontaktkräfte. Andere sind langwieriger. Aber es kommt darauf an, wie Kräfte Ihrer Meinung nach so hinzugefügt werden sollten, dass das Ergebnis die Symmetrien respektiert, die Sie von der Natur erwarten. Es wird in der Statik nicht von etwas anderem abgeleitet, weil Sie in der Statik nichts haben$\vec F=m\vec a$und in der Tat sollte die Statik mit jeder Alternative zum zweiten Hauptsatz kompatibel sein.

Kraft ist ein Vektor, weil sie dem Superpositionsgesetz über die Parallelogrammregel gehorcht, die auch für geometrische Vektoren gilt. Dieses Ergebnis war für den Fall statischer Kräfte vor Newton bekannt, und er fügte einen "Beweis" hinzu, als er das Parallelogramm der Kraft in seine Principia Mathematica einführte .

Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelogram_of_force ; der erste Link führt zu Newtons Beweis von Korollar I: https://en.wikisource.org/wiki/The_Mathematical_Principles_of_Natural_Philosophy_(1729)/Axioms,_or_Laws_of_Motion#Cor1

Hinweis: Es ist oft bequemer, Vektoren anhand von Vektorraumeigenschaften zu beschreiben, wie sie in der linearen Algebra gezeigt werden, als die Koordinatentransformationsregeln, die in älteren Arbeiten verwendet wurden.

Ein Skalar in beliebig vielen Dimensionen benötigt nur eine Zahl, um ihn vollständig zu definieren. Allgemein bekannte Skalare sind Masse, Temperatur und Druck.

Ein Vektor in N Dimensionen benötigt N Zahlen, um ihn vollständig zu spezifizieren, aber diese können auf viele Arten gewählt werden: x,y,z oder r,theta,phi oder r,theta,z.

Das Koordinatensystem muss nicht einmal orthogonal sein, jedoch werden häufig orthogonale Achsen gewählt, um störende Kreuzterme zu vermeiden.

Die darüber liegenden Vektoren sind Tensoren vom Rang 2,3 und 4 . Spannung (Rang 2) und Dehnung (Rang 2) sind durch die elastische Steifigkeit, einen Tensor des Ranges 4 mit 81 Komponenten im 3D-Raum, verbunden, jedoch sind viele der Komponenten 0.

Arbeiten in 2 Dimensionen Force benötigt 2 Zahlen um es zu spezifizieren und 3 in 3 Dimensionen.

Wie oben erwähnt, folgt die Kraft den additiven und Parallelogrammgesetzen für Vektoren.

Kraft muss ein Vektor sein, dh Komponenten in der haben$d$Richtungen des Raumes, weil es in dualer Beziehung zu Verschiebungen in diesen steht$d$Raumrichtungen.

In ähnlicher Weise ist Spannung ein Tensor, weil sie in einer dualen Beziehung zu Verformungen steht.

Kraft ist nur ein Begriff in der Newtonschen Mechanik. Es wird gesagt, dass der Begriff der Kraft in der Hamiltonschen Mechanik nicht einmal benötigt wird; dennoch ist es der Newtonschen Mechanik äquivalent.

Die Formel f = ma ist eine Kraftdefinition; daher wird die Eigenschaft der Kraft als Vektor nur durch ihre Definition erworben. Die vektorielle Natur der Kraft ist also nichts anderes als die vektorielle Natur der Beschleunigung.

Die Antwort auf "Warum ist Beschleunigung ein Vektor?" wäre die gleiche Antwort auf die Frage "Warum ist Kraft ein Vektor?"