Vektornotation

Question

Vektornotation

Tanamas

Ich arbeite mit Vektoren und löse sie wie folgt in ihre Komponenten in Vektorform auf:

\vec{F} = F_{1} \hat{ich} + F_{2} \hat{ȷ} .

$\vec{F} = F_1\hat{\imath}+F_2\hat{\jmath}.$ Ich frage mich, ob wir die Komponenten auf der rechten Seite mit Vektornotation versehen müssen oder ob wir die Komponenten nicht mit Vektornotation versehen?

John Alexiou

F_{1}

$F_1$ Und

F_{2}

$F_2$ sind skalare Werte, daher ist keine Vektornotation erforderlich.

Raub

Was Sie geschrieben haben, ist vollkommen in Ordnung, wo

F_{1} = (\vec{F} \cdot \hat{ı})

$F_1=(\vec F \cdot \hat \imath)$ Und

F_{2} = (\vec{F} \cdot \hat{ȷ})

$F_2=(\vec F \cdot \hat \jmath)$ . Wenn die LHS ein Vektor ist, sollte die RHS ein Vektor sein. Normalerweise schreibt man aber

F_{x}

$F_x$ Und

F_{y}

$F_y$ (für

F_{1}

$F_1$ Und

F_{2}

$F_2$ ), es sei denn, Sie beabsichtigen, eine numerische Indexnotation zu verwenden. Der Ausdruck, den Sie niemals schreiben dürfen, ist jedoch

F_{1} + F_{2}

$F_1+F_2$ , welches ist

(\vec{F} \cdot \hat{ı}) + (\vec{F} \cdot \hat{ȷ})

$(\vec F \cdot \hat \imath) + (\vec F \cdot \hat \jmath)$ [es sei denn, Sie machen ein Linienintegral eines konstanten Vektorfelds entlang eines bestimmten zweibeinigen Pfads, was Sie wahrscheinlich nicht tun werden].

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Vektornotation

$F_1$ Und $F_2$ sind skalare Werte, daher ist keine Vektornotation erforderlich.
Was Sie geschrieben haben, ist vollkommen in Ordnung, wo $F_1=(\vec F \cdot \hat \imath)$ Und $F_2=(\vec F \cdot \hat \jmath)$ . Wenn die LHS ein Vektor ist, sollte die RHS ein Vektor sein. Normalerweise schreibt man aber $F_x$ Und $F_y$ (für $F_1$ Und $F_2$ ), es sei denn, Sie beabsichtigen, eine numerische Indexnotation zu verwenden. Der Ausdruck, den Sie niemals schreiben dürfen, ist jedoch $F_1+F_2$ , welches ist $(\vec F \cdot \hat \imath) + (\vec F \cdot \hat \jmath)$ [es sei denn, Sie machen ein Linienintegral eines konstanten Vektorfelds entlang eines bestimmten zweibeinigen Pfads, was Sie wahrscheinlich nicht tun werden].

Philipp Holz · Answer 1

$F_1$ Und $F_2$ sind Skalare, sollten also so belassen werden, wie Sie sie gezeigt haben. $\hat{\imath}$ Und $\hat{\jmath}$ Einheitsvektoren sind. Das „Hut“-Symbol (^) zeigt sowohl ihre Vektornatur als auch ihre Einheitsgröße an, sodass keine zusätzliche Vektoranzeige erforderlich ist.

@ Buzz Danke, dass du meine geändert hast $\hat i$ Und $\hat j$ Symbole zu $\hat{\imath}$ Und $\hat{\jmath}$ . Es ist ein feiner Unterschied!

Filip Milovanović · Answer 2

Der $\hat{\imath}$ Und $\hat{\jmath}$ sind bereits Vektoren. (Das heißt, sie sind $\vec{\imath}$ Und $\vec{\jmath}$ , der Hut $\hat{}$ Symbol zeigt nur an, dass sie eine Einheitslänge haben.)

Im Bild über dem Vektor $\vec{r} = 3 \hat{\imath} + 2.5 \hat{\jmath}$ wird wörtlich als vektorielle Summe von skalierten Basisvektoren beschrieben $\hat{\imath}$ & $\hat{\jmath}$ .

Der Ausdruck

\vec{R} = 3 \hat{ich} + 2.5 \hat{ȷ} |

$\vec{r} = 3 \hat{\imath} + 2.5 \hat{\jmath}|$ bedeutet wörtlich: nehmen

\hat{ı}

$\hat{\imath}$ , skalieren Sie es auf das Dreifache seiner Größe; dann nehme

\hat{ȷ}

$\hat{\jmath}$ , skalieren Sie es auf das 2,5-fache seiner Größe; addieren Sie sie dann mithilfe der Vektoraddition, um den Vektor zu erhalten

\vec{r}

$\vec{r}$ .

Deshalb sind 3 & 2,5 Skalare . Sie skalieren Dinge. (Die Etymologie des Wortes geht historisch etwas tiefer, aber das ist der Kern.)

Also setzt du das nicht $\vec{}$ Pfeil darauf, es sind nur Zahlen – der Vektorpfeil ist bereits eingeschaltet $\hat{\imath}$ Und $\hat{\jmath}$ (obwohl es sich als Hut tarnt).

Ebenso im

\vec{F} = F_{1} \hat{ich} + F_{2} \hat{ȷ},

$\vec{F} = F_1 \hat{\imath} + F_2 \hat{\jmath},$

F_{1}

$F_1$ &

F_{2}

$F_2$ sind nur Zahlen (Skalare).

Nun können Sie manchmal die Beschriftungen wiederverwenden, um Komponentenvektoren darzustellen; man könnte zB sagen:

{\vec{F}}_{1} = F_{1} \hat{ich},

$\vec{F}_1 = F_1 \hat{\imath},$

{\vec{F}}_{2} = F_{2} \hat{ȷ},

$\vec{F}_2 = F_2 \hat{\jmath},$ Und

\vec{F} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2},

$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2,$ aber beachte das jetzt

\hat{ı}

$\hat{\imath}$ Und

\hat{ȷ}

$\hat{\jmath}$ sind "verschwunden", weil sie darin enthalten sind

{\vec{F}}_{1}

$\vec{F}_1$ Und

{\vec{F}}_{2}

$\vec{F}_2$ , bzw.

So $\vec{F}_1$ Und $F_1$ sind anders. Einer ist ein Vektor, ein Pfeil einer bestimmten Größe (Magnitude), der in eine Richtung zeigt. Die andere ist nur eine Zahl, die Ihnen sagt, wie viel größer (oder kleiner) $\vec{F}_1$ verglichen wird $\hat{\imath}$ (einschließlich negativer Werte, wenn die Richtung umgedreht wird).

{\vec{F}}_{1} \neq F_{1}

$\vec F_1 \neq F_1$

{\vec{F}}_{2} \neq F_{2}

$\vec F_2 \neq F_2$

Eli · Answer 3

schau dir diese Figur an

\vec{F} = {\vec{F}}_{X} + {\vec{F}}_{j} = F_{X} {\vec{e}}_{X} + F_{j} {\vec{e}}_{j}

$\vec F=\vec F_x+\vec F_y=F_x\,\vec{e}_x+F_y\,\vec{e}_y$

Wo $~F_x~,F_y~$ sind die Komponenten entlang der x- und y-Achse und

$~\vec{e}_x~,\vec{e}_y~$ sind Basisvektoren; $~\vec{e}_x\cdot\vec{e}_x=1~,\vec{e}_y\cdot\vec{e}_y=1~,\vec{e}_y\cdot\vec{e}_x=0$

Johannes Jäger · Answer 4

Johannes Jäger

Der $F_1$ Und $F_2$ sind die Größe der Komponenten und müssen keine Vektoren sein. Der $\hat{\imath}$ Und $\hat{\jmath}$ zeigt die Richtung der Komponenten.

Garyp

Pedantisches Geplänkel:

F_{1}

$F_1$ Und

F_{2}

$F_2$ sind nicht die Größen der Komponenten. Sie sind die skalaren Werte der Komponenten. Per Definition ist die Größe positiv definit. Missverstandene Sprache kann zu Missverständnissen führen, obwohl dies in diesem Fall nicht wahrscheinlich ist

Philipp Holz

@Garyp, auf den ich gestoßen bin

F_{1}

$F_1$ Und

F_{2}

$F_2$ genannt "skalare Komponenten" und

F_{1} \hat{i}

$F_1 \hat i$ Und

F_{2} \hat{j}

$F_2 \hat j$ sogenannte Vektorkomponenten“ (Synge und Griffith: Principles of Mechanics ).

Filip Milovanović

@PhilipWood Ich habe ursprünglich den Ausdruck "Vektorkomponenten" in meiner eigenen Antwort verwendet, aber dann gesehen, dass dies als "(skalare) Komponenten des Vektors" interpretiert werden könnte, also habe ich mich für "Komponentenvektoren" entschieden, um Verwirrung zu vermeiden.

Garyp

@PhilipWood Danke. Wenn ich Einführungskurse unterrichte, versuche ich, diese Sprache zu verwenden. Ich benutze auch |

\vec{F}

$\vec{F}$ | beim Schreiben einer Vektorgröße. Umständlich, nach einer Weile, wenn der Punkt klar ist und der Kontext klar ist, lasse ich die Modulsymbole und den Pfeil fallen.

John Alexiou · Answer 5

Meine Güte, es gibt so viele verschiedene Notationen da draußen. Verwenden Sie einfach das, was für Sie funktioniert, da es hier keine kanonische Form gibt.

Einige Beispiele sind

\begin{aligned} Notation & Ausdruck \\ Vektor & \vec{F} = F_{1} \hat{ich} + F_{2} \hat{J} \\ Überstreichen & \bar{F} = F_{1} \bar{ich} + F_{2} \bar{ȷ} \\ Unterstreichen & \underline{F} = F_{1} \underline{\hat{ich}} + F_{2} \underline{\hat{ȷ}} \\ {Fettdruck}^{*} & F = F_{1} \hat{ich} + F_{2} \hat{ȷ} \\ Spaltenvektor & F = (\begin{matrix} F_{1} \\ F_{2} \end{matrix}) \\ Zeilenvektor & F = {(\begin{matrix} F_{1} & F_{2} \end{matrix})}^{⊤} \\ Über Pfeil nach rechts & \vec{F} = F_{1} \vec{ich} + F_{2} \vec{ȷ} \\ Basisvektoren * & F = F_{1} e_{1} + F_{2} e_{2} \end{aligned}

$\begin{array}{r|l} \text{Notation} & \text{Expression}\\ \hline \text{Vector} & \vec{F}=F_{1}\hat{i}+F_{2}\hat{j}\\ \text{Overline} & \overline{F}=F_{1}\overline{\imath}+F_{2}\overline{\jmath}\\ \text{Underline} & \underline{F}=F_{1}\underline{\hat{\imath}}+F_{2}\underline{\hat{\jmath}}\\ \text{Boldface}^* & \boldsymbol{F}=F_{1}\boldsymbol{\hat{\imath}}+F_{2}\boldsymbol{\hat{\jmath}}\\ \text{Column Vector} & \boldsymbol{F}=\begin{pmatrix}F_{1}\\ F_{2} \end{pmatrix}\\ \text{Row Vector} & \boldsymbol{F}=\begin{pmatrix}F_{1} & F_{2}\end{pmatrix}^{\top}\\ \text{Over Right Arrow} & \overrightarrow{F}=F_{1}\overrightarrow{\imath}+F_{2}\overrightarrow{\jmath} \\ \text{Basis Vectors}*&\boldsymbol{F}=F_{1}\boldsymbol{e}_{1}+F_{2}\boldsymbol{e}_{2} \end{array}$

(*) Die fettgedruckte Schreibweise \boldsymbol{F}ist die gebräuchlichste in Fachzeitschriften, entweder mit Einheitsvektoren oder mit Basisvektoren.
Ich persönlich verwende schräge Variablen für Skalare ( $F$ ), fett schräg für Vektoren ( $\boldsymbol{F}$ ) und aufrecht fett für Matrixwerte ( $\mathbf{F}$ ). Bei einigen speziellen Matrixwerten wie der Identitätsmatrix verwende ich nur aufrechte Werte ( $\mathrm{F}$ ), da sie mehr auffallen.

In allen haben die skalaren Komponenten keine Verzierungen oder Modifikationen. Also die Größenordnungen $F_1$ Und $F_2$ sind immer so wie sie sind.

Beachten Sie auch, dass für Einheitsvektoren mit $\hat{i}$ oder $\hat{\imath}$ ist üblich, aber verwenden Sie das, was für Sie funktioniert, solange Sie konsequent sind und es offensichtlich ist, was Ihre Absicht ist. Um den Punkt über iund zu entfernen, jverwenden Sie \imathund \jmath.

Eine interessante Zusammenstellung! Aber ist Ihr Zeilenvektor mit dem Transpositionszeichen immer noch ein Zeilenvektor?
@PhilipWood - Der Vektor selbst ist kein Zeilenvektor, nur der visuelle Stil ist der eines Zeilenvektors. Viele Artikel verwenden diese Notation mit der Transponierung aus Gründen der Kompaktheit.
Aber Sie haben es als "Zeilenvektor" bezeichnet! Ich meine das nicht ganz ernst. Verzeihung.
Der Kommentar von Philip Wood hat in anderen Kontexten als der Physik, in denen die Konventionen abweichen können, ein gewisses zusätzliches Gewicht. Beispielsweise stellen einige Computergrafiktexte (die der DirectX-Tradition folgen) Vektoren als Zeilenmatrizen dar und transformieren sie durch Linksmultiplikation mit einer Transformationsmatrix, und unter dieser Notation würden Spaltenvektoren lineare Formen darstellen. Obwohl, soweit ich das beurteilen kann, die Darstellung mit Vektor = Spaltenvektor, lin. Form = Zeilenvektor ist weitaus häufiger.

Hartes Bansal · Answer 6

Sie müssen die Vektornotation nicht auf RHS setzen, bis Sie schreiben $\hat{\imath}$ oder $\hat{\jmath}$ Symbol. Wenn Sie diese Symbole nicht schreiben, müssen Sie die Vektornotation verwenden.

Jo · Answer 7

Eine weitere Standardnotation besteht darin, Vektoren zu unterstreichen (beim Schreiben auf Papier wird dies in Schriftsätzen häufig durch Fettschrift ersetzt).

Ich denke, dass die Notation für Ihr Beispiel besser funktioniert als die Notation mit dem Pfeil darüber. Auf dem Papier würde ich Einheitsvektoren mit einem Unterstrich und einem Hut kennzeichnen, so würde Ihre Formel aussehen

\underline{F} = F_{1} \underline{\hat{ich}} + F_{2} \underline{\hat{ȷ}} .

$\underline{F} = F_1 \underline{\hat{\imath}} + F_2 \underline{\hat{\jmath}}.$

Ich denke, das ist klarer, weil die Notation konsistent ist; Vektorgrößen haben immer eine Linie darunter, und es gibt keine Ausnahme für Einheitsvektoren.

Second-Person-Shooter · Answer 8

Im dreidimensionalen Raum ein Vektor $\vec{F}$ kann als lineare Kombination von Einheitsvektoren dargestellt werden $\hat{x}$ , $\hat{y}$ Und $\hat{z}$ die senkrecht zueinander stehen.

\vec{F} = F_{X} \hat{X} + F_{j} \hat{j} + F_{z} \hat{z}

$\vec{F}= F_x\, \hat{x}+F_y \,\hat{y}+F_z\, \hat{z}$

Wo $F_x$ , $F_y$ , Und $F_z$ sind nur Zahlen (oder Skalare).

Vektornotation

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