Verwirrung über Komponenten der Kreisbewegung

Question

Verwirrung über Komponenten der Kreisbewegung

Riz222

Nehmen wir an, wir haben ein Teilchen, das sich im dreht $xy$ Ebene, zentriert bei $(0,0)$ , mit Radius $r$ und konstanter Geschwindigkeit $v$ . Wenn es an der Sache ist $(0,r)$ , die horizontale Komponente der Geschwindigkeit ist $v_x=v$ und vertikale Komponente ist $v_y=0$ . Darüber hinaus ist die Richtung der Gesamtkraft darauf, der Zentripetalkraft, entlang des Negativen $y$ Achse. Nach Ablauf einer infinitesimalen Zeit nimmt die vertikale Geschwindigkeit ins Negative zu $y$ Richtung um einen infinitesimalen Betrag und die horizontale Komponente nimmt um einen infinitesimalen Betrag ab, so dass die Vektorresultante der neuen Komponenten gleich ist $v$ .

Jetzt ist meine Frage, die vertikale Komponente hat sich aufgrund der Zentripetalkraft geändert, die in diese Richtung war. Aber da es in diesem bestimmten Moment keine Kraft in horizontaler Richtung gab, was verursachte die Änderung in dieser Komponente?

Antworten (4)

Verwirrung über Komponenten der Kreisbewegung

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90 · Answer 1

Ihre Frage ist interessant, weil sie die Gefahren der Arbeit mit Infinitesimalzahlen ohne sorgfältige Kontrolle ihrer Bedeutung aufzeigt.

Grundsätzlich ist Ihre Frage auf jede Bewegung anwendbar, wenn die Trajektorie im Phasenraum entlang einer der Richtungen ein Extremum erreicht. Lassen Sie uns also der Einfachheit halber den einfachen eindimensionalen harmonischen Oszillator diskutieren, der in Ihrem Beispiel genau dem entspricht $x$ - Bestandteil der gleichförmigen Kreisbewegung.

Die Bewegungsgleichung ist

\ddot{X} (T) = - ω^{2} X (T),

$\ddot x(t) = - \omega^2x(t),$ jederzeit gültig

t

$t$ . Wenn

x = 0

$x=0$ , Beschleunigung ist Null und die Geschwindigkeit entlang

x

$x$ Richtung ist maximal.

Also, wie kommt es, dass es eine Abnahme von gibt $\dot x$ ?

Eine naive Anwendung von Infinitesimalen ist irreführend. Im aktuellen Fall

\dot{X} (T + D T) ≃ \dot{X} (T) + \ddot{X} (T) D T

$\dot x(t+dt) \simeq \dot x(t) + \ddot x(t) dt$ würde bedeuten

\dot{x} (t + d t) = \dot{x} (t)

$\dot x(t+dt) = \dot x(t)$ . Aber das ist nur das Ergebnis erster Ordnung . Näherungen erster Ordnung sind der Leitbegriff einer lokalen Analyse des Verhaltens einer regulären Funktion, sofern sie nicht verschwinden. Wann, wie im Fall eines Geschwindigkeitsextremums zur Zeit

t_{0}

$t_0$ (daher

\ddot{x} (t_{0}) = 0

$\ddot x(t_0)=0$ ) ist die Variation erster Ordnung null, muss in einer Potenzentwicklung von nach dem nächsten Term ungleich null gesucht werden

d t

$dt$ . Im aktuellen Fall:

\dot{X} (T_{0} + D T) = \dot{X} (T_{0}) + \ddot{X} (T_{0}) D T + \frac{1}{2} \overset{⃛}{X} (T_{0}) D T^{2} = \dot{X} (T_{0}) - \frac{1}{2} ω^{2} \dot{X} (T_{0}) D T^{2},

$\dot x(t_0+dt) = \dot x(t_0) + \ddot x(t_0) dt + \frac12 \dddot x(t_0) dt^2 = \dot x(t_0) - \frac12 \omega^2 \dot x(t_0) dt^2,$ wobei die Bewegungsgleichung verwendet wurde (indem eine zeitliche Ableitung beider Seiten genommen wurde), um die dritte Ableitung von auszudrücken

x

$x$ in Bezug auf die Zeit als Funktion von

\dot{x}

$\dot x$ .

Daher kann man das an der dominanten nicht verschwindenden Ordnung in sehen $dt$ , $\dot x$ variiert richtig.

Nebenbemerkung: Diese Art der Annäherung ist einer der Gründe, warum die Physik von Videospielen manchmal nicht realistisch ist. Denn eine einfache Simulation berechnet in diesem Zeitschritt keine Bewegung, und das Objekt beginnt sich erst im nächsten Zeitschritt zu bewegen. Diese Art von Dingen kann dazu führen, dass eine kreisförmige Bewegung präzediert und möglicherweise der Radius vergrößert oder verkleinert wird, es sei denn, das Objekt ist speziell darauf programmiert, sich in einem Kreis zu bewegen.
@ user253751 wahr, aber nur, wenn man einen schlechten numerischen Algorithmus verwendet.
naiv sollte naiv sein, oder ist das ein Begriff, den ich kennen sollte?
@Baldrickk Merriam-Webster gibt naïf oder naif als Synonyme für das häufigere (auf Englisch) naive ( merriam-webster.com/dictionary/naive#synonyms ), obwohl sie auf Französisch nur das männliche (naif) oder das weibliche (naiv) sind. Versionen des gleichen Adjektivs.
Ich glaube nicht, dass diese Antwort im Allgemeinen funktioniert, wenn Ihr Pfad einer flachen Funktion wie folgt $e^{-1/x^2}$ es schlägt fehl.
@ToddSewell Natürlich gibt es eine implizite Annahme: dass die Bewegungsgleichung einem gut gestellten Problem entspricht. Was bei der ursprünglichen Frage und vielen anderen Problemen der Fall ist. Das Beispiel, das Sie machen (und andere ähnliche), ist ein pathologischer Fall, in dem das Existenz- und Eindeutigkeitstheorem nicht gilt (die Bewegungsgleichung entspricht einer Trajektorie proportional zu $e^{-\frac{1}{t^2}}$ würde einem Nicht-Lipschitz-Kraftgesetz entsprechen).
@GiorgioP Das ist überraschend, für mich fühlt es sich intuitiv an $e^{−1/x^2}$ wäre eine physikalisch realisierbare Bewegung, oder nicht? Ich habe nicht viel Glück beim Nachschlagen, was eine Nicht-Lipschitz-Kraft ist, hängt sie mit der Lipschitz-Kontinuität zusammen?
@ToddSewell Sicher, Kraft ist für eine Funktion, die die Kraft mathematisch codiert . Bei einem solchen Spiel hilft Intuition nicht weiter, es sei denn, man hat eine hervorragende mathematische Intuition entwickelt. Aber auch aus physikalischer Sicht würde Ihr Beispiel dem Fall eines Punktes auf der Spitze eines sehr flachen Potentialmaximums entsprechen, so dass, wenn at $t=0$ der Punkt ruht, oder er bleibt für immer dort $x(t)=0$ , oder es bewegt sich entsprechend Ihrer vorgeschlagenen Entwicklung. Beide Lösungen sind zulässig. Ich denke, Sie würden zustimmen, dass es sich um einen pathologischen Fall handelt.

Biophysiker · Answer 2

Ich werde im Vergleich zu den anderen Antworten einen etwas anderen Ansatz verfolgen, obwohl wir im Wesentlichen alle dasselbe sagen. Das Problem ist, dass Sie den "nächsten Augenblick" als endlich behandeln. Daher wird sich im nächsten endlichen Moment die horizontale Geschwindigkeit überhaupt nicht ändern , und erst beim nächsten endlichen Schritt nach dem ersten ändert sich die horizontale Geschwindigkeit.

Genauer gesagt denken Sie im Wesentlichen an die Lösung Ihrer Differentialgleichungen

\frac{D R}{D T} = v

$\frac{\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf v$

M \frac{D v}{D T} = F

$m\frac{\text d\mathbf v}{\text dt}=\mathbf F$

durch Verwendung einer Annäherung

Δ R = v Δ T

$\Delta \mathbf r=\mathbf v\Delta t$

M Δ v = F Δ T

$m\Delta \mathbf v=\mathbf F\Delta t$

für endlich $\Delta t$ . Daher, wenn Ihre Anfangsbedingungen sind

R (0) = (0, R)

$\mathbf r(0)=(0,R)$

v (0) = (v, 0)

$\mathbf v(0)=(v,0)$ und wenn deine Kraft durch gegeben ist

F (T) = (- F Sünde (ω T), - F \cos (ω T))

$\mathbf F(t)=(-F\sin(\omega t),-F\cos(\omega t))$

dann wird dir dein erster Schritt geben

R (Δ T) = R (0) + Δ R = (0, R) + (v, 0) Δ T = (v Δ T, R)

$\mathbf r(\Delta t)=\mathbf r(0)+\Delta \mathbf r=(0,R)+(v,0)\Delta t=(v\Delta t,R)$

v (Δ T) = v (0) + Δ v = (v, 0) + (0, - F / M) Δ T = (v, - F / M \cdot Δ T)

$\mathbf v(\Delta t)=\mathbf v(0)+\Delta \mathbf v=(v,0)+(0,-F/m)\Delta t=(v,-F/m\cdot\Delta t)$

Das haben Sie sich gedacht ... Die horizontale Geschwindigkeit ändert sich nicht, und da sich das Objekt nur horizontal bewegt, bewegt es sich auch nicht nach unten. Sobald Sie diese Annäherung erneut anwenden, sehen Sie, wie sich das Objekt nach unten bewegt, und die horizontale Geschwindigkeit ändert sich. Dies wird in der Animation unten ziemlich groß dargestellt $\Delta t$ wo ich es nach dem ersten Schritt angehalten habe, um die rein horizontale Bewegung zu zeigen.

Sobald Sie machen $\Delta t$ kleiner und kleiner, werden Sie sehen, dass wir eine Flugbahn erhalten, die eher wie eine gleichmäßige kreisförmige Bewegung aussieht.

Aber man kann sich nie entziehen, dass der allernächste Moment für endlich keine Änderung der horizontalen Geschwindigkeit haben wird $\Delta t$ . Dies liegt daran, dass es in der kontinuierlichen Grenze wirklich keinen "nächsten Moment" gibt, dh Sie können nicht die "nächste reelle Zahl" danach auswählen $0$ .

Nicht_Einstein · Answer 3

Die Leute haben oben detaillierte Antworten gegeben. Ich werde nur eine intuitivere Denkweise anbieten. Sie haben Recht, dass im betrachteten Moment keine horizontale Kraft auf das Objekt wirkt. Das sagt uns also, dass seine horizontale Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt nicht unter dem Einfluss von Änderungen steht. Daher fährt das Objekt mit dieser Geschwindigkeit fort, aber sobald es den betrachteten Punkt verlässt, wirkt eine horizontale Kraftkomponente auf das Objekt, sodass sich seine Geschwindigkeit ändert.

Superschnelle Qualle · Answer 4

Es ist in der Tat eigenartig! Aber es gibt eine Auflösung. Es liegt im Verstehen von Grenzen.

Sprich bei $t=0$ Du bist am $\left(0,r\right)$ wo die Kraft mit rein ist $-\hat{y}$ . Dann zu jedem beliebigen Zeitpunkt $dt$ die kraft geht nicht mehr rein mit $-\hat{y}$ . Es ist wie zu sagen $t=0$ es gibt keine Kraft entlang $\hat{x}$ aber im nächsten Moment gibt es. Aber diese Aussage ist bedeutungslos. Es ist, als würde man fragen, was die reelle Zahl daneben ist $0$ .

Somit ist die Bewegung rein mit $x$ nur um genau $t=0$ und hat Komponenten dabei $y$ für $t\ne0$ .

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Riz222

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