Warum addiert sich Kraft wie ein Vektor?

Angenommen, wir haben einen Vorrat an Geräten, um eine Krafteinheit auszuüben, z. B. einen Satz identischer Federn, die auf eine bestimmte Länge gedehnt werden. Wir können zwei Krafteinheiten ausüben, indem wir zwei solche Federn parallel schalten. Auf diese Weise kann man jede gewünschte Kraft erzeugen, die ein Vielfaches der Einheitskraft ist, aber umgangen werden kann, indem man die Einheitskraft klein annimmt. Angenommen, wir haben eine Masse und wir üben mehrere Kräfte in verschiedenen Richtungen auf sie aus. Mir ist a priori nicht klar, warum es so sein soll, dass die Masse nicht beschleunigt wird, wenn die Vektorsumme der Kräfte Null ist. Es ist mir klar für 2 Kräfte, aber nicht für 3 Kräfte, obwohl ich sehen kann, warum es für mehr als 3 Kräfte gilt, wenn es für 3 Kräfte gilt. Ist dies eine rein experimentelle Tatsache oder lässt sich dies (teilweise) logisch erklären?

Ich vermute, Sie können ein überzeugendes Argument aus der Symmetrie vorbringen: Der Raum ist translationssymmetrisch, daher bleibt nach Noethers Theorem der Impuls erhalten. Kräfte stellen die Impulsübertragung zwischen Teilen eines Systems dar, und jetzt, murmel, sieht der Raum so aus R 3 also müssen sich die Dinge als Vektoren summieren R 3 . Ja, das ist nicht kohärent, deshalb ist es ein Kommentar, keine Antwort! Ich denke, es könnte kohärent gemacht werden. (Natürlich ist die wirkliche Antwort „weil es experimentell wahr ist“.)
Danke, das macht Sinn. Ich denke, das lässt die Frage offen, warum makroskopische Federn als (unabhängige) Impulsübertragungsgeräte fungieren, und die endgültige Antwort darauf wird etwas über das mikroskopische Verhalten von Partikeln in den Federn sein. In Bezug auf die Entdeckung stellt es den Karren vor das Pferd, da Newton das alles nicht wusste, also frage ich mich, wie er es herausgefunden hat ... vielleicht hat er tatsächlich mit Federn herumgespielt und es einfach beobachtet.

Antworten (2)

Ich habe mir Newtons Principia Mathematica angesehen , und es scheint, dass er die Frage des Hinzufügens von schiefen Kräften direkt nach seinen berühmten drei Gesetzen behandelt hat, und er hat es durch reine Argumentation getan. In Korollar I argumentiert er, dass zwei nacheinander aufgebrachte Kräfte das gleiche Ergebnis haben wie die Diagonale eines Parallelogramms, das durch diese beiden Kräfte gebildet wird. Dann leitet er in Korollar II ab, dass dieselbe Konstruktion verwendet werden kann, wenn die Kräfte gleichzeitig aufgebracht werden. Die Erweiterung auf mehr als drei Kräfte ist nur eine Frage des Hinzufügens einer Kraft nach der anderen. Wenn Sie am Ende all dieser Konstruktionen wieder dort sind, wo Sie angefangen haben, dann ist das Ergebnis dasselbe, als würden Sie keine Kraft anwenden. Und das wird von seinem ersten Gesetz abgedeckt.

Interessanterweise war das Konzept der Vektoren noch nicht erfunden, was einer von vielen Gründen ist, warum es wirklich schwierig ist, die Principia zu lesen . Aber die Idee von Parallelogrammen von Geschwindigkeiten gab es schon seit der griechischen Zeit. Siehe Michael J. Crowe, „A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of ​​a Vectorial System“, Courier Corporation, 1967.

Mir ist a priori nicht klar, warum es so sein soll, dass die Masse nicht beschleunigt wird, wenn die Vektorsumme der Kräfte Null ist.

Newtons 2. Gesetz:

∑ F → = M A →

Wenn die Vektorsumme Null ist, was ist dann A → ? Null ebenso.

Stellen Sie sich das so vor:

  • Wenn zwei Kräfte gleichermaßen in entgegengesetzte Richtungen an einem Objekt ziehen, heben sie sich auf und es bewegt sich nicht.
  • Wenn drei Kräfte ziehen, dann zieht vielleicht einer nach links und zwei nach rechts. Wenn der linke genauso viel zieht wie die Summe der beiden rechten, dann ist ihre Vektorsumme Null. Und da der Gesamtzug nach links und der Gesamtzug nach rechts gleich sind, bewegt sich das Objekt immer noch nicht.

Der Punkt ist, dass sich Kräfte addieren, also können wir alle Kräfte in einer bestimmten Richtung als eine betrachten, indem wir sie summieren. Es spielt keine Rolle, ob eine Kraft nach rechts zieht oder ob zwei Kräfte von halber Größe nach rechts ziehen - das Ergebnis ist das gleiche, und wenn das gleich der nach links ziehenden Kraft ist, heben sie sich auf.

Wenn nun eine Kraft schräg statt gerade nach rechts zeigt, dann erinnere dich an das Superpositionsprinzip : Du kannst sie in Komponenten zerlegen . Diese Kraft zieht nämlich ein bisschen nach oben und auch ein bisschen nach rechts, sodass Sie diese eine Kraft durch zwei Kräfte in jeder dieser Richtungen ersetzen können. Und dann können Sie wieder die Summe der nach links und rechts und auch nach oben und unten gerichteten Kräfte machen und sehen, ob sie sich aufheben.

Ja, das Newtonsche Gesetz ist ein empirisches, experimentelles Gesetz, das nie wirklich bewiesen ist, sondern sich einfach immer als richtig erwiesen hat (oder besser gesagt: es wurde nie durch ein Gegenbeispiel widerlegt ).

Ich verstehe die Situation, in der eine Kraft nach links und zwei nach rechts ziehen. Meine Frage bezieht sich auf den allgemeineren Fall, in dem alle 3 in eine andere Richtung zeigen. Wenn es rein empirisch ist, bedeutet das, dass Newton sein Gesetz durch Experimente entwickelt hat? Oder hatte er einen logischen Grund dafür?
Ja, das Gesetz besteht aus Experimenten. Wenn alle drei oder mehr in verschiedene Richtungen zeigen, denken Sie an das Überlagerungsprinzip . Sie können sie in Komponenten aufteilen . Wenn also eine Kraft schräg zeigt, dann bedeutet das, dass sie ein bisschen nach oben und ein bisschen zur Seite zieht. Sie können diese Kraft also als zwei andere solche Kräfte zeichnen (die ihre Komponenten sind). Und dann kann man immer noch schauen, wie stark nach links und rechts und auch nach oben und unten gezogen wird, und man kann sehen, ob sie sich aufheben.
Das Superpositionsprinzip ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass sich Kräfte wie ein Vektor addieren. Ich bin mit der Mathematik vertraut; Was mich interessiert, ist die Verbindung zur physischen Realität. Haben Sie eine Referenz für Newtons Experimente, mit denen er herausfand, dass sich Kräfte wie Vektoren addieren?
@Jules, du hast gesagt: " Ich verstehe die Situation, in der eine Kraft nach links und zwei nach rechts ziehen ". Dies ist auch eine Vektoraddition. Die beiden nach rechts ziehenden addieren sich zu einer größeren Kraft. Und diese größere Kraft gleicht dann die nach links gerichtete Kraft aus, sodass sie sich aufheben. Ist es das Superpositionsprinzip selbst, das Ihre Frage ist? Das heißt, ist es der Akt, eine Kraft in ihre Bestandteile zu zerlegen, das ist Ihre Frage?
Ich bin nicht gut darin, meine Frage zu erklären. Vielleicht kann es jemand, der es entziffern kann, besser erklären.
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