Wie replizieren sich Newtons Gesetze in größerem Maßstab?

Es ist eine Folge von Newtons zweitem und drittem Gesetz und der Überlagerung von Kräften. Newtons zweites Gesetz geht implizit von der Überlagerung von Kräften aus. Ansonsten ist Newtons Sekunde nur eine Definition der Nettokraft. Dass die auf ein Teilchen wirkende Nettokraft die Summe der auf dieses Teilchen wirkenden Einzelkräfte ist, ist eine logische Folge von Newtons Principia . Mehrere Physiklehrer behandeln es explizit als viertes Bewegungsgesetz; andere tun dies implizit, indem sie über Vektoren unterrichten, bevor sie Newtons Bewegungsgesetze diskutieren.

Was ist mit einem System von Teilchen? Der Massenmittelpunkt$X$eines Teilchensystems ist definiert als

$$M \boldsymbol X = \sum_i m_i \boldsymbol x_i$$ Wo $M = \sum_i m_i$, $m_i$Und $\boldsymbol x_i$sind die Masse und die Position des Teilchens $i$, und die Summationen erfolgen über alle einzelnen Teilchen, aus denen das System besteht.

Unter der Annahme, dass die Anzahl der Teilchen und die Masse jedes Teilchens über die Zeit konstant bleiben, lässt sich zweimal nach der Zeit differenzieren:

$$M \ddot{\boldsymbol X} = \sum_i m_i \ddot{\boldsymbol x}_i$$ Das zweite Newtonsche Gesetz ermöglicht es, die rechte Seite als die auf die wirkende Nettokraft umzuschreiben $i^{th}$Partikel: $$M \ddot{\boldsymbol X} = \sum_i \ddot{\boldsymbol F}_{\text{net},i}$$ Wo $F_{\text{net},i}$ist die auf die wirkende Nettokraft $i^{th}$Partikel. Durch die Überlagerung von Kräften kann diese Netto-Einzelkraft als Summe äußerer und innerer Kräfte aufgelöst werden: $$F_{\text{net},i} = F_{\text{ext},i} + \sum_{j\ne i} F_{j,i}$$ Wo $F_{\text{ext},i}$ist die Summe der auf das Teilchen einwirkenden äußeren Kräfte $i$(Kräfte, die der äußeren Umgebung zuzuschreiben sind, im Gegensatz zu Wechselwirkungen zwischen den Partikeln, aus denen das System besteht). Diese Wechselwirkungen zwischen den Partikeln werden von erfasst $F_{j,i}$interne Kräfte. Daher $$M \ddot{\boldsymbol X} = \sum_i \boldsymbol F_{\text{ext},i} + \sum_i \sum_{j\ne i} \boldsymbol F_{j,i}$$ Hier kommt das dritte Newtonsche Gesetz ins Spiel, das das besagt $\boldsymbol F_{i,j} = -\boldsymbol F_{j,i}$. Das bedeutet die zweite Summe rechts ( $\sum_i \sum_{j\ne i} F_{j,i}$) identisch null ist und nur übrig bleibt $$M \ddot{\boldsymbol X} = \sum_i \boldsymbol F_{\text{ext},i} \equiv \boldsymbol F_\text{ext,tot}$$

Ich weiß nicht, was Faynman gedacht hat, aber definitiv wird die Beziehung zwischen Teilen des Systems und dem Zentrum der Masse verursacht durch:

1. Additivität der Kräfte.
2. Linearer Zusammenhang zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung.

Linearität bedeutet, dass Masse und Kraft linear voneinander abhängen. Als solches ergibt die Summe der Massen die Gesamtmasse und die Summe der Kräfte die Gesamtkraft, und sie sind immer noch proportional (wenn der Körper starr ist).

Um das Beispiel des Baseballs weiter zu analysieren, was Sie während eines Spiels interessiert, ist die durchschnittliche Bewegung aller Partikel, aus denen es besteht. Jedes einzelne Partikel kann sich zufällig mit sehr hohen Geschwindigkeiten innerhalb des Balls bewegen, aber Sie können es weder direkt sehen noch ist es für die Gesamtbewegung des Balls auf menschlicher Ebene relevant.

Nehmen wir nun an, dass jedes einzelne Teilchen, aus dem der Baseball besteht, dem Newtonschen Gesetz gehorcht. Der Satz besagt dann, dass bei Betrachtung des ganzen Balls auch der Massenmittelpunkt dem Newtonschen Gesetz gehorcht, mit einer Masse, die die Masse des ganzen Balls ist, und einer Kraft, die die auf den Ball wirkende Gesamtkraft ist, also die Summe aller Kräfte wirkt auf jedes Teilchen.

Hier ist der entscheidende Punkt. Aus der Ferne können Sie den Ball nicht auflösen und alles, was Sie sehen, ist eine Kugel, die sich bewegt. Da sich praktisch alle Teilchen gleichmäßig in dieser Kugel aufhalten werden, ist ihr Mittelpunkt auch geometrisch der Massenmittelpunkt. Aber der Massenmittelpunkt bewegt sich nach dem Newtonschen Gesetz, und wenn sich die Kugel nicht verformt oder auseinanderreißt, wird sich auch ihr Mittelpunkt bewegen, da sie zusammenfallen! Der Baseball als Ganzes bewegt sich also aufgrund seiner Starrheit gemäß Newtons Gesetz .

Das Theorem ist natürlich immer wahr, aber es ist möglicherweise nicht immer interessant oder aufschlussreich. Nehmen Sie zum Beispiel zwei nicht interagierende Bälle in Ruhe und treten Sie einen so, dass er sich zu bewegen beginnt. Die Bewegung des Massenschwerpunkts ist vorhersagbar, aber sie beschreibt nicht wirklich etwas über das "System" als Ganzes und ist vor allem nicht direkt beobachtbar. Es ist nur eine Eigenschaft der beiden Bälle zusammen.

Als weniger banales Beispiel können Sie schlussfolgern, dass die Erde selbst ein starrer Körper ist, der dem zweiten Gesetz gehorcht, vorausgesetzt, dass alles, was die Erde ausmacht, dem zweiten Gesetz gehorcht. Und wenn jedes kleine Teilchen im Sonnensystem diesem Gesetz gehorcht, können Sie die Bewegung der Planeten studieren und vorhersagen, wenn Sie die Kraft kennen, die jeder auf den anderen ausübt.

Was Sie nicht folgern können, ist, da alle gewöhnliche Materie dem Newtonschen Gesetz zu gehorchen scheint, dann gehorchen auch Atome oder subatomare Teilchen demselben Gesetz. Der Satz gilt nur in einer Richtung.