Was ist die körperliche Bedeutung der Arbeit?

Ihre Gleichung ist nicht ganz korrekt - was Sie beschrieben haben, ergibt die Differentialarbeit$dW$. Die an einem Teilchen verrichtete Arbeit wird nach einem Linienintegral definiert:

Wo$C$ist der Weg, den das Teilchen nimmt,$\vec{F}$ist die auf das Teilchen wirkende Kraft (die eine Funktion der Position sein kann) und$d\vec{s}$ist das differentielle Linienelement entlang des Pfads.

Sie haben Recht damit, dass das Punktprodukt eine Projektion eines Vektors auf einen anderen darstellt. Intuitiv ist dieses Integral das mathematische Äquivalent zu der Aussage „Berechnen Sie an jedem Punkt entlang des Pfades, wie stark das Vektorfeld ist$\vec{F}$trägt zur Bewegung des Teilchens bei, indem er die Projektion der Kraft auf die tatsächliche Flugbahn findet und alles zusammenzählt.

Ja, das Skalarprodukt $\vec a\cdot \vec b$symbolisiert mathematisch die Projektion eines Vektors auf den anderen. Mit anderen Worten: Das Skalarprodukt multipliziert die parallelen Komponenten:

Ein Kreuzprodukt $\vec a\times \vec b$ist etwas das Gegenteil. Die (Länge) eines Kreuzprodukts ist die Multiplikation der senkrechten Komponenten.

Sie werden sie mathematisch oft in diesen Formen sehen:

Die letzte Version in jeder Zeile ist praktisch, da der Kosinus sich um parallele Komponenten kümmert und die senkrechten ignoriert, während der Sinus das Gegenteil tut.$\theta$ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren.

Das sind bloß mathematische Erfindungen, ja. Nichts mehr. Und sie sind sehr nützlich bei der Beschreibung vieler physikalischer Phänomene, weil viele Dinge in der Physik nur zwischen parallelen oder senkrechten Komponenten passieren.

Zum Beispiel:

• Um eine Schraube mit einem Schraubenschlüssel festzuziehen, ziehen Sie senkrecht - durch paralleles Ziehen am Schraubenschlüssel dreht sie sich nicht (sie löst sich nur). Daher wird das Moment mit einem Kreuzprodukt definiert:$\vec \tau = \vec F \times \vec r$.
• Arbeit ist Energie, die hinzugefügt wird, wenn etwas geschoben wird, dh wenn Sie von der Seite auf eine Spielzeugeisenbahn schieben, die sich auf ihrer Spur bewegt, dann fügen Sie ihrer Bewegung keine Energie hinzu. Es bewegt sich nicht seitwärts (die Schiene hält es an Ort und Stelle) und Ihre Mühe war wertlos. Nur wenn Sie die Bewegung mitschieben, fügen Sie Energie hinzu und beschleunigen sie. Daher wird Arbeit als Punktprodukt definiert$W=\vec F\cdot \vec s$.

Wenn Sie im Beispiel der Spielzeugeisenbahn gegen die Bewegung drücken, entziehen Sie dem Zug Energie und verlangsamen ihn. Sie tun Arbeit, aber diese Arbeit ist negativ.

Wie Sie sehen, wirken alle parallelen Kräfte (negativ, wenn antiparallel), während alle seitlichen Kräfte überhaupt nichts bewirken. Wenn Sie schräg drücken, wirkt sich nur die parallele Komponente Ihrer Kraft aus. All dies ist im mathematischen Kosinusausdruck des Skalarprodukts enthalten$W=Fs\;\cos(\theta)$, weil ein Kosinus Null ist, wenn der Winkel ist$90^\circ$.