Kräfte können konservativ oder nicht-konservativ sein. Aber konservative Kräfte arbeiten dort, wo diese Arbeit gleich der Änderung der potentiellen Energie ist. Konservative Kräfte sind auch dadurch gekennzeichnet, dass die Arbeit, die von der Kraft geleistet wird, die ein Objekt von einem Punkt zum anderen bewegt, unabhängig von dem Weg ist, der zwischen diesen Punkten zurückgelegt wird (und die geleistete Gesamtarbeit Null ist, wenn der Weg eine geschlossene Schleife bildet). .

Eine nicht-konservative Kraft ist jedoch eine, bei der die geleistete Arbeit tatsächlich vom Weg abhängt. Ein gutes Beispiel für eine nicht-konservative Kraft ist die Reibung. Die gegen eine Reibungskraft geleistete Arbeit hängt von der Länge des Weges zwischen den beiden Punkten ab, und aufgrund dieser Wegabhängigkeit gibt es keine potentielle Energie, die wir dieser Kraft zuordnen können , und tatsächlich gilt dasselbe für alle Nicht- konservative Kräfte.

Nicht-konservative Kräfte werden entweder mechanische Energie zu einem System hinzufügen oder daraus entfernen. Reibung, Energiedissipation in Form von Wärme, entzieht einem System Energie, die nicht vollständig wieder in Arbeit umgewandelt werden kann.

Für eine konservative Kraft gilt die folgende Eigenschaft

Für eine konservative Kraft ist ein solches Feld$-V$. Was bedeutet

Per Definition erhöht eine nichtkonservative Kraft nicht die potentielle Energie des Objekts, auf das sie wirkt.

Die potenzielle Energie eines anderen Systems kann zufällig oder absichtlich erhöht werden. Wenn wir beispielsweise elektrischen Strom durch eine wiederaufladbare Batterie leiten, wirkt der elektrische Widerstand der Batterie auf die Elektronen, ohne ihre potenzielle Energie zu erhöhen, aber die spezifischen Prozesse, die der Batterie Widerstand verleihen, verursachen Änderungen in der Chemie der Batterie, die die Chemikalie der Batterie erhöhen potenzielle Energie.

Allgemein erhöhen die meisten (möglicherweise alle) nichtkonservativen Kräfte die Wärme des Systems. Überall dort, wo heißes Material von kühlerem Material getrennt wird, existiert thermische potentielle Energie.

In jedem Fall wird bei einer nicht-konservativen Kraft die potentielle Energie des Objekts, an dem sie arbeitet, nicht erhöht, und die zufällig erzeugte potentielle Energie anderer Systeme ist immer geringer als die von der nicht-konservativen Kraft verrichtete Arbeit. konservative Kraft als Folge der Entropie.

Meine Meinung: Das Energiebild ist eine komplementäre Betrachtungsweise zu Newtons Kräften. Kräfte beschreiben auf sehr niedrigem Niveau, was vor sich geht, sie können beliebig komplex und detailliert sein. Energien sind gröber, weil sie Richtungsinformationen verwerfen.

Siege des Kraftbildes

Kräfte wurden irgendwie erfunden, weil sie Ihnen einen direkten Einblick in die Bewegungsgleichungen des Systems geben. Das erste, was ich über Kräfte sagen sollte, ist vielleicht, dass sie visualisierbar und für Computer nicht besonders schwer zu simulieren sind. Oft gibt es mehrere Tricks, um sie zu simulieren, um den Antworten mehr oder weniger numerische Stabilität zu verleihen ... Wenn Sie schreiben möchten Ein Spiel, bei dem die Leute eine Brücke aus Brettern und Verbindungen bauen müssen und diese Bretter einige elastische und biegsame Fähigkeiten haben, aber brechen, wenn sie sich zu stark biegen, würden Sie dieses Spiel wahrscheinlich mit Kräften bauen.

Zwangskräfte können auf diese Weise fast frei simuliert werden, das Kraftbild ist bei Zwangsbedingungen großartig. Wenn ich also gezwungen bin, die Treppe nicht zu zerbrechen, während ich sie hinunterfalle, sind die Kräfte im Spiel, „was auch immer sie sein müssen, um mich daran zu hindern, durch die Treppe zu fallen“. Sie können dies mit potenziellen Energien modellieren, Sie richten die Oberflächen der Treppen in Ihrem Modell als Orte ein, an denen sich die potenzielle Energie schnell von 0 bis unendlich ändert, aber weil diese Änderungen Energiegradienten sind und Sie versuchen, diese Gradienten scharf zu machen, Sie Sie könnten mit seltsamen numerischen Artefakten konfrontiert werden, wenn Sie die Simulation ausführen und anfangen, diese nahezu unendlichen Kräfte zu erzeugen.

Ein weiterer Ort, an dem Kräfte glänzen, ist in der Tat dort, wo Kräfte nicht konservativ sind. Dafür haben wir ein paar Tricks. Beispielsweise können Kräfte aufgrund dessen, was wir Hysterese nennen, nicht konservativ sein. Dies bedeutet, dass die Kraft keine Funktion der Position an sich ist, sondern auch, wie Sie zu dieser Position gekommen sind. Aber manchmal können wir mit Hysterese umgehen, indem wir einen größeren Konfigurationsraum definieren, und wir können Pfadunabhängigkeit in dem größeren Konfigurationsraum erreichen.

Ein schlechteres nicht-konservatives Beispiel für das Energiebild ist Reibung, das Energiebild modelliert Reibung, indem es eine sehr große Anzahl von Energiereservoirs erzeugt, zum Beispiel harmonische Oszillatoren, und ihre Bewegung mit der Bewegung Ihrer Teilchen koppelt, um einen Energiefluss zu erhalten, und dann Nehmen Sie einen Durchschnitt, so dass Sie diesen einseitigen Dissipationseffekt auf die Energie sehen. Dieser Ansatz funktioniert, ist aber mühsam.

Siege des Energiebildes

Irgendwann haben wir die Variationsrechnung erfunden, und das war das fehlende Bindeglied zur Ableitung von Bewegungsgleichungen aus der funktionalen Form eines Energieausdrucks. Diese werden Lagrange- und Hamiltonianer genannt, wenn Sie sie nachschlagen möchten. So haben wir grundlegende Feature-Parität mit dem Force-Bild erreicht!

Und natürlich scheint die Erfindung potentieller Energien anstelle von Kräften zur Beschreibung von Dingen mit diesem Gesetz der Energieerhaltung einherzugehen, das eine bestimmte Invariante beschreibt, etwas, das gilt, wenn die Bewegungsgleichungen ihr Ding machen.

Nun, nebenbei wurde einer der wichtigsten Sätze bewiesen, Emmy Noethers erstaunliches Ergebnis, dass, wenn Sie sagen, dass die Lagrange-Funktion die Gesetze der Physik für ein System sind, dann Erhaltungsgrößen Symmetrien der Gesetze der Physik sind (Aussagen, dass die Gesetze der Physik sind nach einiger Transformation die gleichen). So kommt zum Beispiel Newtons drittes Gesetz irgendwie aus dem Nichts, Newton sagt Ihnen nur, dass dies etwas ist, das für Kräfte Sinn macht, und Sie glauben ihm. Und Sie finden später heraus, dass es sich um etwas handelt, das Impulserhaltung genannt wird. Noethers Theorem wiederholt dies wie folgt: Die Gesetze der Physik sind gleich, wenn wir alles einen Zentimeter nach links oder rechts verschieben. Nun dasklingt plausibel! Die Energieerhaltung wird so formuliert, dass die Gesetze der Physik dieselben sind, wenn wir alles eine Millisekunde in die Vergangenheit oder Zukunft verschieben. Prächtig!

Dies gilt auch für die praktische Simulation. Ich habe oben gesagt, dass die Simulation der Bewegungsgleichungen direkt auf einem Computer oft dazu führt, dass das Rauschen in der Berechnung Ihre Erhaltungssätze verletzt; Das Energiebild ermöglicht es Ihnen manchmal, Ihren Konfigurationsraum einzuschränken, um die Erhaltungsgesetze direkt durchzusetzen.

Und erinnern Sie sich an die komplizierte Reibungssimulation? Es hat die sehr schöne Eigenschaft, dass Sie sogenannte Fluktuationsdissipationstheoreme beweisen können: Energie kann nicht nur in eine Richtung vom Teilchen zu den Federn fließen, aber wenn es zufällige Vibrationen und Jitter in den Federn gibt, trägt sie zu Rauschen bei Partikel. In einem von Einsteins Anuus mirabilis -Artikeln, in dem er von einem Niemand zu einem anerkannten Namen wurde, leitete Einstein einen davon ab und benutzte ihn, um zu argumentieren, dass Physiker Atome ernst nehmen müssen (das taten damals nicht alle!), weil eine Verbindung zwischen Widerstandskoeffizienten und der Brownschen Bewegung könnte tatsächlich indirekt die Größe von Atomen messen. Also diese Theoreme sind wirklich erstaunlich!

Existieren potentielle Energien nur für konservative Kräfte?

Wenn Sie mit potenzieller Energie einen Eimer meinen, in dem Energie gespeichert ist, die in unserem System nicht sichtbar ist, dann gilt die Energieerhaltung nach dem Satz von Noether, solange die physikalischen Gesetze über die Zeit konstant bleiben, und dies ermöglicht uns zu erfinden ein Eimer, in den die Energie fließt, plus ein plausibles Argument, warum sie nicht zurückkommt.

Wenn Sie etwas Spezielleres meinen, wie eine Positionsfunktion, deren Gradient einer Kraft auf ein Teilchen in Ihrem System entspricht, enthält der Eimer aus dem letzten Absatz wahrscheinlich viele potenzielle Energien und viele kinetische Energien für Teilchen, die dies nicht sind in Ihrem System. Und dann haben Sie völlig Recht, dass Sie, um eine solche potenzielle Energie überhaupt zu definieren, verlangen müssen, dass die Kraft konservativ ist.

Während ich schreibe, gibt es viele Antworten; Ich denke, dies ist ein Hinweis auf eine gewisse Verwirrung da draußen, weil niemand ausreichend auf die erfasste Zustimmung antwortet, um andere Leute daran zu hindern, ihre Antworten hinzuzufügen. Dies zeigt, dass potenzielle Energie ein etwas kniffliges Konzept ist, wie meine Antwort zeigen wird.

Was ist potentielle Energie?

Ich beginne hier, weil ich es für nützlich halte, den Standpunkt zu vertreten, dass eine Kraft zwar eine physikalische Größe ist, eine potenzielle Energie jedoch keine Energie ist, die einem Körper in irgendeiner Weise gehört (wie die Art und Weise, wie der Körper Masse, Position und Geschwindigkeit hat). . Vielmehr ist es ein bequemer Weg, bemerkenswerte Aspekte einer möglicherweise wirkenden Kraft mathematisch zu erfassen. (Ich werde gleich ein wenig mehr dazu sagen).

Definition des Begriffs „konservative Kraft“

Eine Kraft, die als Negativ des Gradienten einer einwertigen Skalarfunktion ausgedrückt werden kann, wird als "konservativ" bezeichnet, und die zugehörige Skalarfunktion wird als "potenzielle Energie" bezeichnet.

Der Grund dafür ist, dass, wenn die Kraft die einzige ist, die wirkt, Sie nur finden müssen, um die Änderung der kinetischen Energie eines Teilchens zu finden, wenn es sich unter der Wirkung der Kraft von einem Ort zum anderen bewegt die Änderung der potentiellen Energie und wenden ein Minuszeichen an. Dies ist oft bequem und einfach, daher ist es eine nützliche Idee.

Was ist mit nichtkonservativen Kräften?

Dies ist die Hauptsache, nach der in der Frage gefragt wird. Die Antwort ist, dass es für diese Kräfte per Definition des Begriffs "nicht-konservativ" keine Funktion gibt, die die Rolle der potentiellen Energie im Allgemeinen spielen könnte. Es kann jedoch Fälle geben, in denen die Kraft im Allgemeinen nicht konservativ ist, das untersuchte physikalische Verhalten jedoch eine gewisse Einschränkung aufweist, und bei Vorhandensein dieser Einschränkung können Sie eine Funktion einführen, die sich wie potenzielle Energie verhält. In der Thermodynamik gibt es dafür viele Beispiele.

Eines der Grundkonzepte der Thermodynamik ist „freie Energie“. Das Wort "kostenlos" bedeutet hier grob gesagt "verfügbar". Schreiben Sie zur Veranschaulichung die Energieerhaltung für ein einfaches mechanisches Drucksystem auf$p$und Volumen$V$:

Nun, warum habe ich hier die Thermodynamik eingebracht? Das liegt daran, dass es bei der ursprünglichen Frage nur darum ging, ob man potenzielle Energie für nicht-konservative Kräfte haben kann. Betrachten wir das Folgende.

Führen Sie zunächst die durch definierte Helmholtz-Funktion ein$F = U - TS$. Beachten Sie, dass dies keine Kraft ist, sondern eine Form von Energie. Wir haben

Abschließender Gedanke

Aber wie kann etwas, von dem wir sagen, dass es nicht möglich ist, sich dann als möglich erweisen? Das liegt daran, dass potentielle Energie im Wesentlichen eine mathematische Methode ist . Dies wird durch die Tatsache veranschaulicht, dass sich nichts ändert, wenn wir der potentiellen Energie überall eine Konstante hinzufügen: kein physikalischer Effekt wird dies bemerken. Sie denken vielleicht, dass dies nicht viel aussagt, aber es ist immer noch wahr, selbst wenn die hinzugefügte Konstante mit der Zeit schwankt, was etwas auffälliger ist (ich fand das ziemlich bemerkenswert, wenn ich zum Beispiel die Bedingungen in einer Ionenfalle betrachte). (Dies ist ein Beispiel für ein umfassenderes Konzept namens Eichinvarianz). Für eine weitere Veranschaulichung dessen, was es bedeutet zu sagen, dass potentielle Energie eher eine mathematische Methode als eine physikalische Größe ist, betrachten wir die Relativitätstheorie und denken über den Energieaustausch zwischen geladenen Teilchen und elektromagnetischen Feldern nach. In diesem Fall wird das Konzept der potentiellen Energie einfach nicht verwendet; es ist nicht nützlich, um Verständnis zu erlangen, also kümmern wir uns nicht darum. Es war nie eine physikalische Größe, die darauf wartete, gemessen zu werden; Es war immer ein mathematisches Werkzeug, das dort eingesetzt werden konnte, wo es nützlich war.

(Um klar zu sein, ich spreche hier über die Interpretation der Kombination$q \phi$als Energie, die einem Teilchen zugeordnet werden kann, wobei$\phi$elektrisches Potential ist. Dies bestreitet nicht die nützliche Rolle von$\phi$in anderen Berechnungen wie dem Ableiten der Felder aus einer bestimmten Quelle.)

Der Begriff konservative Kraft ist ein Begriff, der für Kräfte verwendet wird, die beim Loslassen Arbeit verrichten (wenn die Feder losgelassen wird, wenn ein Buch aus dem Regal geworfen wird, wenn Elektronen durch einen Stromkreis fließen dürfen usw.).

Bevor es diese Arbeit erledigt, denken wir an die Arbeit, die es als gespeichert erledigen wird . Gespeicherte Energie, die nur darauf wartet, freigesetzt zu werden. Diese gespeicherte Energie hat ein Potential, als Arbeit freigesetzt zu werden – wir nennen es potentielle Energie .

Also, ja, der Begriff potentielle Energie gehört nur zu konservativen Kräften, da der Begriff konservative Kraft für Kräfte verwendet wird, die darauf warten, freigesetzt zu werden und somit Energie gespeichert haben.

Beginnend mit dem zweiten Newtonschen Gesetz

und die Nebenbedingungsgleichungen

• $\mathbf F_a~$äußere Kräfte
• $\mathbf F_c~$Zwangskräfte
• $\mathbf M~$Diagonale Massenmatrix

multipliziere Gl. (1) mit$~\left(\frac{d\mathbf x}{dt}\right)^T$und Integration erhalten Sie

die LHS ist die kinetische Energie, die Arbeit, die durch die äußere Kraft geleistet wird$~\mathbf F_a~$ist die potentielle Energie, nur wenn die Kraft$~\mathbf F_a=\mathbf F_a(\mathbf x)$oder$~\mathbf F_a=~$Konstante. in diesem Fall ist die Kraft „konservative Kraft“

Potentielle Energie tritt nur bei einem konservativen Kraftfeld auf, sie tritt nicht bei nicht konservativen Kräften auf.