Aus welchem ​​Grund ist die Differenz der potentiellen Energie ΔU=−WΔU=−W\Delta U=-W gleich dem *Gegenteil* der verrichteten Arbeit?

Das Potential ist als Funktion definiert$U$so dass die konservative Kraft$\vec F$die wir studieren, ist durch den Gradienten gegeben$\vec F = -\nabla U.$Da Sie die Vektorrechnung wahrscheinlich noch nicht gesehen haben, lassen Sie mich sehr vorsichtig sein, dies als Komponenten zu schreiben,

Partielle Ableitungen sind der natürliche Weg, die Analysis auf einer Funktion vieler Variablen zu verstehen. In der Einzelvariablenrechnung haben Sie versucht, eine Kurve mit einer Tangentenlinie anzunähern; In diesem Kalkül mit mehreren Variablen versuchen wir, Oberflächen mit Ebenen anzunähern. Wenn Sie diese Annäherung vornehmen können , bedeutet dies insbesondere, dass eine Funktion um einen Punkt erweitert werden kann.

Die von einer Kraft auf ein Teilchen ausgeübte Kraft ist das Skalarprodukt der Geschwindigkeit dieses Teilchens mit der Kraft, und die über den Weg geleistete Arbeit ist das Zeitintegral der von dieser Kraft ausgeübten Kraft. Es ist üblich, die Position des Teilchens als Vektor zu bezeichnen$\vec r(t)$mit Komponenten$r_{x,y,z}(t)$und das ist dann:

Es gibt einen formelleren Weg, dies zu tun, und es besteht darin, die Kettenregel aufzurufen , die besagt, dass, wenn wir eine Funktion anwenden$U(x, y, z)$zu diesen zeitlich veränderlichen Komponenten$x = r_x(t)$und so weiter finden wir das:

Ich glaube, Sie kämpfen mit den Grenzen des Systems.

Wenn es gerade nach oben in die Luft geworfen wird, wirkt die Schwerkraft ab dem Moment der Freisetzung in die entgegengesetzte Richtung (oder, ich sollte sagen, normal zu) den Ebenen gleicher potentieller Energie, deren Wert mit der Höhe zunimmt. Wenn also KE unten 100 und an der Spitze des Bogens 0 ist, ist die Änderung von PE das Negative der Arbeit =$-(0-100) =100$. In dieses System tritt keine Energie ein oder aus.

Aber nehmen wir an, wir hätten dies erreicht, indem wir aus einer Kanone mit Druckluft geschossen hätten. Während des Starts scheint die Arbeit in die andere Richtung zu gehen: Da Arbeit = Kraft mal Entfernung ist, scheint es positiv zu sein, dass Arbeit geleistet wurde und der PE ebenfalls gestiegen ist. Die Gesamtenergie des „Systems“ scheint also gewachsen zu sein.

Was verloren geht, ist, dass diese Luft irgendwie, irgendwo komprimiert wurde. Vielleicht wurde zum Beispiel ein großer Stein über einer großen Luftsäule auf einen Kolben geschleudert. Jetzt begann der Rock mit einem höheren PE und endete mit einem niedrigeren; was bedeutet, dass positive Arbeit geleistet und Energie gespeichert wurde (was uns später unseren Spaß gab).

Diese Abstraktion mit Zeichen kann einen in den Wahnsinn treiben, ist aber am Ende hilfreich.

OP fragt

Was ist der Grund für das Minuszeichen in der Formel?

$$\Delta E_{\rm pot}~=~\color{red}{-}W_{\rm c} \tag{1}$$ für die Arbeit $W_{\rm c}$von konservativen Kräften getan ${\bf F}_{\rm c}$?

Antwort: Stellen Sie sich vor, wir hätten die Welt in 2 " Konten " gruppiert:

Ausführlicher: Erinnern Sie sich an das Arbeits-Energie-Theorem

Nach dem Arbeits-Energie-Theorem "ist die von allen Kräften an einem Teilchen geleistete Arbeit gleich der Änderung seiner kinetischen Energie". Angenommen, es gibt nur eine konservative Kraft, wie z. B. die Gravitation, die auf ein Teilchen wirkt. Nach Ablauf einiger Zeit gewinnt das Teilchen aus der Ruhe etwas an Geschwindigkeit und bewegt sich in eine gewisse Entfernung. Wenn wir eine potentielle Energie für dieselbe konservative Kraft definieren müssen, die sich letztendlich in kinetische Energie umwandelt, definieren wir sie so. Aus dem Arbeits-Energie-Theorem, W _f = KE ₂ - 0. Auch aus der Energieerhaltung, PE ₁ + KE ₁ = PE ₂ + KE ₂ ODER, PE ₂ - PE ₁ = - KE ₂ = - W _f. Denken Sie immer daran, dass Sie nur die Änderung der potentiellen Energie und nicht die absolute potentielle Energie berechnen können. Im Erde-Teilchen-System wird angenommen, dass die potentielle Energie in sehr großer Entfernung (unendlich) von der Erde Null ist, und somit ist die potentielle Energie auf der Erde definiert.

In Modellen der Physik können äquivalente Konzepte unterschiedlich beschrieben werden. Nehmen Sie es als ein Axiom der Terminologie der Physik, dass „Arbeit“ dasselbe ist wie „Energie“, unabhängig davon, ob Energie potentielle Energie (PE) oder kinetische Energie (KE) genannt wird. Energie ist ein skalares Konzept. Es hat keine Richtung. KE befindet sich in sich bewegenden Objekten und PE befindet sich an Orten entlang eines Kraftfelds. Wenn die Masse von KE entlang der Richtung des Kraftvektors abnimmt, nimmt PE zu und umgekehrt. Dies ist die Logik der Konzepte, die in den Modellen der Physik erscheinen. Wenn sich das Konzept der Arbeit (W) auf eine Bewegung gegen eine Kraft bezieht, wird KE abnehmen und in diesem Fall hat sich der Körper oder die Masse zu einer höheren PE-Position bewegt. Wenn sich W auf die Bewegung durch die Kraft über eine Entfernung bezieht, wird KE gewonnen. Die Position des Körpers oder der Masse hat sich dann zu einer niedrigeren PE-Position bewegt. Algebraisch gesehen ist, wo die als „dW“ bezeichnete Änderung der PE mit W gleichgesetzt wird, dies der erste Fall eines Umzugs zu einem höheren PE-Standort.; Wenn die Bezeichnung '-dW' ist, ist die Gleichung mit dem zweiten Fall der Bewegung zum niedrigeren PE-Standort. Mathematische Gleichungen sind Beschreibungen von Menschen in physikalischen Modellen und keine physikalischen Ereignisse, die mathematisch ablaufen. Man kann nicht zulassen, dass Mathematik im Dienste des Physikers sein Meister wird.

Nehmen wir den Fall einer Wassermühle. Wasser bewegt sich von einem Ort mit höherem PE zu einem Ort mit niedrigerem PE. Es hat gleichwertige KE erreicht. Der KE arbeitet in der Getreidemühle, um KE zum Verstecken in gemahlenem Weizen umzuwandeln. Wirtschaftlich wird die Arbeit in Form von Waren oder Dienstleistungen an den Müller bezahlt. Fallendes Wasser ist eine wirtschaftliche Ressource, weil KE zu Arbeit wird. So Gott will, was kann Wasser, das von den Niagarafällen herunterfällt, nicht erreichen? Aber dann Transfer von Ressourcen von Touristen nach ??? wird nicht da sein. Wo der Gewinn in KE zur Erzeugung von Spannungsantriebsstrom wird, Kilo-VA oder Kilo-Wattleistung, die für eine Stunde arbeitet, ist Arbeit, die als elektrische Energie bezeichnet wird und für 10 Cent verkaufbar ist.

Ich denke, Ihre Verwirrung bezieht sich darauf, was wir messen und wie wir es messen.

Arbeit ist also keine Eigenschaft eines bestimmten Systems (wie kinetische Energie, potentielle Energie, Temperatur, Druck, Masse, Volumen usw.). Stattdessen ist Arbeit ein Prozess , was bedeutet, dass eine einzelne Zahl nicht die ganze Geschichte erzählt.

Es gebe eine Kugel der Masse m , die aus einer Höhe h über dem Boden mit einer Gravitationsbeschleunigungskonstanten g fallen gelassen wird . Wir wissen, dass die potentielle Energie der Kugel auf der Höhe h gleich U1 = mgh ist . Wenn wir die Höhe des Balls am Boden gleich Null lassen, dann wissen wir, dass die potentielle Energie am Boden U2 = mg(0) = 0 ist . Daher ist die Änderung der potentiellen Energie des Balls gleich U2 - U1 = -mgh . Die resultierende Änderung der potentiellen Energie ist negativ, weil dem Ball potentielle Energie entzogen wurde.

Lassen Sie uns nun untersuchen, ob irgendwelche Arbeiten durchgeführt wurden. Der Ball übte keine Kräfte auf irgendetwas aus; daher ist seine Arbeit gleich Null. Die Schwerkraft übte jedoch eine konstante Kraft auf den Ball in einer Richtung aus. Diese Kraft war gleich F = mg , und die Distanz, über die die Kraft die Kugel bewegte, war d = h . Die dann von der Schwerkraft verrichtete Arbeit ist gleich W12 = F * d = mgh . Beachten Sie, dass in diesem Fall die von der Schwerkraft geleistete Arbeit gleich dem Negativwert der Änderung der potentiellen Energie der Kugel ist. Bedeutet dies, dass W12 = -(U2 - U1) , oder könnte dies nur ein Zufall sein ?

Betrachten Sie das umgekehrte Beispiel:

Eine Maschine befördert den gleichen Ball von der Höhe Null auf die Höhe h . Dazu muss die Maschine nun eine Kraft mg aufbringen. Und da er dies über eine Strecke h tut , ist die Arbeit hier wieder gleich mgh . Die Kugel übt noch keine praktischen Kräfte aus und verrichtet daher keine Arbeit. Seine potentielle Energie ist jedoch wieder von null auf mgh gestiegen. Was ist dann mit der Schwerkraft? Nun, wir sehen, dass die Schwerkraft immer noch eine Kraft mg ausübt und der Ball immer noch eine Strecke h zurücklegt . Bedeutet dies, dass die von der Schwerkraft geleistete Arbeit wieder gleich mgh ist? Nein. Denken Sie daran, dass Arbeit ein Prozess istund kein Eigentum . Daher können Sie keine Änderung der Arbeit haben - das hat nichts zu bedeuten und keinen Sinn zu machen. Ein negativer Wert für einen Prozess wie Work bedeutet also nicht, dass wir Work verloren haben , denn Work ist nichts, was wir haben, sondern etwas, das wir getan haben oder das Potenzial haben, es zu tun . Was bedeutet dann ein negatives Vorzeichen, wenn es um Arbeit geht ? Es impliziert einfach dasselbe, was es implizieren würde, wenn es um Zahlenstrahlen oder andere Koordinatensysteme von Raum/Zeit geht: Richtung .

Im ersten Beispiel wirkte die Schwerkraft nach unten und erreichte ihr Ziel, den Ball nach unten zu bewegen. Da sowohl die Kraft als auch die Bewegung des Objekts in die gleiche Richtung wirkten, geben wir daher der resultierenden Messung der verrichteten Arbeit ein positives Vorzeichen (dh + mgh oder nur mgh ). Ist die Kraftrichtung der Bewegungsrichtung entgegengesetzt, geben wir dem Wert ein negatives Vorzeichen ( -mgh ). Für unser zweites Beispiel ist die von der Schwerkraft geleistete Arbeit also gleich -mgh . Warten Sie, aber bedeutet dies, dass das Gesetz, dass die negative Änderung der potentiellen Energie der geleisteten Arbeit entspricht ??? Nicht ganz...

Dass die negative Änderung der potentiellen Energie der Kugel gleich der von der Schwerkraft geleisteten Arbeit war, war tatsächlich ein Zufall . Der Grund für dieses Zusammentreffen ist, dass die gesamte potentielle Energie, die der Ball hat, von der Schwerkraft kommt . Es macht also Sinn, dass die durch die Schwerkraft an der Kugel geleistete Arbeit gleich groß wäre. Der Grund, warum es gleich dem Negativen des Potentials ist, liegt darin, dass das Potential ein Maß dafür ist, wie viel Energie der Ball bereit ist zu verwenden, und Arbeit ein Maß dafür ist, wie viel verbraucht wird. Da der Ball Energie verloren hat, damit die Schwerkraft ihn nutzen kann, ist es sinnvoll, dass die geleistete Arbeit gleich mgh und die gewonnene potenzielle Energie gleich -mgh ist.

Folgendes berücksichtigen:

Derselbe Ball wird vor dem Fallenlassen in einer Höhe h gehalten , aber diesmal wird er von einer am Boden befestigten Feder gezogen. Die Feder habe ein konstantes k und eine ursprüngliche, ungedehnte Länge L . Nun ist die potentielle Energie der Kugel in der Höhe h gleich mgh + k(hL) , aber die von der Schwerkraft geleistete Arbeit nach dem Fall ist immer noch gleich mgh , da jetzt auch die Feder Arbeit gleich k(hL) leistet .

Dies wird deutlicher, wenn Sie einen Thermodynamik-Kurs belegen.

Diese Antwort wird etwas lang sein, aber ich denke, Sie werden es am Ende verstehen

Wenn du einen Ball in die Luft wirfst. Sie haben gleich zu Beginn anfängliche kinetische Energie (KE) vermittelt. Beobachten Sie, wie sich der Ball nach oben bewegt.

Wenn sich der Ball nach oben bewegt, sehen Sie, dass die Geschwindigkeit des Balls abnimmt, da die Schwerkraft ihm entgegenwirkt. In der Physik sagen wir, dass diese Schwerkraft negative Arbeit am Ball verrichtet.

Der Ball hat nun die Spitze erreicht, seine Geschwindigkeit ist Null. Grundsätzlich hat die Schwerkraft genug negative Arbeit geleistet, um die Geschwindigkeit auf Null zu reduzieren, und daher ist auch ihr KE zu Null geworden. Nehmen wir an, diese Gesamtarbeit, die die Schwerkraft bei der Aufwärtsbewegung verrichtet, ist W1 (es wäre ein negatives Vorzeichen, z. B. -4J oder -10J).

Aber was ist mit dem anfänglichen KE passiert. Der KE des Balls nimmt mit zunehmender Aufwärtsbewegung ab, aber eine andere Energieform nimmt weiter zu. Diese andere Energieform ist potentielle Energie (PE). Somit ist der PE beim Start null und steigt weiter an, bis sich alle KE zu dem Zeitpunkt, zu dem sie die Spitze des Flugs erreichen, in PE umgewandelt haben. Die Gravitationskraft, die auf den Ball negative Arbeit verrichtet und seinen KE verringert hat, hat dabei den PE des Balls erhöht. Somit hat negative Arbeit (W1) zu einer positiven Veränderung des PE geführt. Nach dem Arbeits-KE-Theorem gilt:

Delta KE = W1 ———- Gl. 1

aber da muss mechanische Energie eingespart werden

Delta PE + Delta KE = 0 ———- Gl. 2

Verwenden Sie Gl. 1, um Delta KE als W1 in Gleichung 2 zu ersetzen, erhalten wir

Delta PE + W1 = 0

oder

Delta-PE = - W1

Wenn die geleistete Arbeit beispielsweise -10 J beträgt und die Änderung des PE von beispielsweise PE (anfänglich) = 0 J zu PE (endgültig) = 10 J beträgt, dann -

Delta PE = -W

oder PE (endgültig) - PE (anfänglich) = -W

oder 10 J - 0 J = - (-10 J)

10J = 10J

Sehen Sie sich dieses Video an, das ich erstellt habe, um Ihr Verständnis konservativer (und nicht konservativer) Kräfte zu vervollständigen.

Warum ist Delta U = -W