Wenn wir schreiben, dass F=−∇VF=−∇VF = -\nabla V , was würde passieren, wenn wir das (-) Minuszeichen weglassen

Nehmen Sie ein einfaches 1D-Beispiel. Wir werden die potenzielle Gravitationsenergie als Funktion der horizontalen Position für die Seite eines Hügels darstellen:

Wir definieren normalerweise$F = -\nabla V$und das bedeutet, dass die Kraft bergab zeigt, dh wenn wir das Teilchen loslassen, wird es bergab rollen. Wenn wir stattdessen definiert haben$F = \nabla V$Die Kraft würde bergauf zeigen, dh wenn wir das Teilchen loslassen, rollt es bergauf.

Das Abwärtsrollen ist in Ordnung, da die Abnahme der potentiellen Energie von einer Zunahme der kinetischen Energie begleitet wird, sodass die Gesamtenergie erhalten bleibt. Wenn das Teilchen bergauf rollt, bedeutet dies, dass sowohl seine kinetische als auch seine potentielle Energie zunehmen, sodass die Energieerhaltung verletzt wird.

Eine Möglichkeit, die Veränderung zu betrachten, besteht darin, dass Sie die Definition von Potenzial von ändern

Das Potential an einem Punkt ist die Arbeit, die an einer Einheitsmasse geleistet wird, um von einem willkürlich gewählten Nullpunkt des Potentials zu dem Punkt zu gelangen

Zu

Das Potential an einem Punkt ist die Arbeit, die von einer Einheitsmasse geleistet wird, um von einem willkürlich gewählten Nullpunkt des Potentials zu dem Punkt zu gelangen

In der ersten Definition arbeiten Sie also an der Masse und in der zweiten Definition arbeitet die Masse an Ihnen.

Die Steigung einer Skalarfunktion zeigt immer in Richtung des größten Anstiegs. Das heißt, eine Skalarfunktion hat den schnellsten Anstieg in dieser Richtung. Wenn Sie sich vorstellen, um einen Berg herumzugehen, zeigt die Steigung der Höhenfunktion des Berges an jedem Punkt in die steilste Richtung.

Auf der anderen Seite versuchen Kräfte in einem konservativen Feld, die potentielle Energie zu minimieren. Sie bewegen sich also in die Richtung des größten Gefälles, also in die entgegengesetzte Richtung des Gradienten, daher das Minuszeichen.

Der Gradient einer Funktion$\nabla V$ist bekanntlich ein Vektor und dieser Vektor zeigt auf den (lokal) steilsten Anstieg. dh wenn Sie auf dem Hügel sind, der Vektor$\nabla V$zeigt auf die Spitze des Hügels und wenn Sie oben auf dem Hügel sind, verschwindet der Vektor, weil es an diesem Punkt keinen "steilsten Anstieg" gibt. Sie können diese Tatsache mathematisch beweisen, aber ich werde die Herleitung weglassen.

Wenn wir hätten$F = \nabla V$dann würden wir ein Minuszeichen in den Potentialterm einführen. zB anstelle des Columb-Potentials$V= a\, q Q /r$wir würden bekommen$V = - a\, q Q/r$, Wo$a$ist eine Konstante, um alles sinnvoll zu machen, und die Gleichung würde in beiden Fällen lauten$F = a \, q Q/r^2$. Rechnerisch gibt es in beiden Fällen keinen Unterschied. Es gibt jedoch eine intuitive. Betrachten Sie die Diagramme der Potentiale, für die beide Ladungen negativ oder positiv sind.

Im ersten Fall kann man sich vorstellen, dass eine Kugel in einem Gravitationsfeld die blaue Kurve anlegt und einfach den Abhang herunterrollt, was die tatsächliche Situation wirklich gut wiedergibt, aber im zweiten Fall hat man diese Intuition nicht mehr. Da geht der Ball eigentlich bergauf, denn das ist was$\nabla$nehme an zu tun. Es zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs.

Um es kurz zu machen, das Minuszeichen ist kaum eine Konvention, um unser Leben einfacher und die Physik intuitiver zu machen.

Es gibt keine Konsequenzen. Es ist eine Konvention, dass negativ für Anziehungskräfte und positiv für Abstoßung steht. Dies führt zu Kräften, die das Potential beim Anziehen tendenziell reduzieren. Entfernen Sie dieses Zeichen, dann wirken Anziehungskräfte positiv, und Kräfte werden dazu neigen, das Potenzial zu erhöhen. Das Schlimmste, was passieren würde, wären ein paar Inkonsistenzen innerhalb dessen, was Sie berechnen, denn wir akzeptieren diese Konvention in der gesamten Physik.

Sie müssen sich mit der Vorstellung befassen, dass wir die Natur modellieren, was bedeutet, dass wir diesen Gleichungen, Zeichen und Zahlen eine Bedeutung geben. Nichts wird passieren, wenn Sie das Zeichen wechseln, es sei denn, Sie geben ihm eine Bedeutung, die einen Unterschied macht.

Hinweis: Dies ist alles klassische Mechanik. Die moderne Physik ist innerhalb solcher Größen nicht 100% symmetrisch.

Dies ist dasselbe wie das Ändern$V$Zu$-V$. Zum Beispiel, wenn$V$beschrieb ein Potential gut und änderte es dann zu$-V$würde eine Beule beschreiben.