Konservative Kräfte verstehen

Ich versuche, konservative Kräfte besser zu verstehen. Ich habe eine anständige intuitive Vorstellung davon, was sie sind, aber ich habe kürzlich die mathematische Strenge dahinter gelernt, was mich zu einigen Fragen veranlasst hat. Hier ist meine Interpretation einer konservativen Kraft – bitte zögern Sie nicht, mich zu korrigieren, wenn und wo ich falsch liege:

• Eine konservative Kraft ist eine Kraft, die erzeugt$0$Netzarbeit, wenn es darum geht, eine Kraft von Punkt aus anzuwenden$A$darauf hinweisen$B$und dann ab Punkt$B$darauf hinweisen$A$. Ich mag diese Definition nicht, aber ich kann sie aufgrund meines neuen Verständnisses der Mathematik dahinter am ehesten beschreiben. Angenommen, Sie haben eine zentrale Kraft$F(r) \hat r$. Die Arbeit würde von zwei willkürlichen Positionen aus erfolgen $$W = \int_{r_1}^{r_2} F \cdot dr$$ Damit die Kraft konservativ ist, geht die von diesem Weg geleistete Arbeit integral aus$r_2$Zu$r_1$stattdessen muss genau das gleiche sein. Ich nehme an, Schwerkraft kann ein Beispiel sein, obwohl es etwas unklar ist, weshalb mir die Definition nicht genau gefällt. Da legt man den Boden auf$h = 0$, die erledigte Arbeit geht eine Treppe hinauf$h = h_1$würde genau die gleiche Menge an Arbeit verrichtet werden, als wenn man herunterfallen würde$h= h_1$Zu$h=0$. Die Federkraft ist auch ein weiteres Beispiel, und ich denke , das liegt daran, da die geleistete Arbeit gleich ist (da die Arbeit nur in eine Richtung geleistet wird): $$W = -k\int_{-x_{max}}^{x_{max}} x \ dx$$ $$-k\int_{-x_{max}}^{x_{max}} x \ dx + k\int_{x_{max}}^{-x_{max}}x = 0$$ Ich nehme an, es heißt, wenn Sie ein Teilchen aus oszillieren$x_{max}$es wird die gleiche Menge an Arbeit erledigen, als ob Sie es von gemacht hätten$-x_{max}$. Dies hat jedoch nicht die zentrale Kraftidee, die Schwerkraft und elektromagnetische Kräfte aufweisen.

Einige Fragen von mir:

• Wenn die Arbeit unabhängig vom Pfad gleich ist, bedeutet das, wenn die Feder beim Schwingen ein Zick-Zack-Muster erzeugt (es gibt also zusätzlich eine orthogonale Bewegungskomponente), wäre das Netz immer noch dasselbe wie nur es zu ziehen wieder wie gewohnt?

• ich fühle mich wie$\int_{r_1}^{r_2} F \cdot dr = - \int_{r_2}^{r_1} F \cdot dr$ist eine mathematische Tatsache, da (bitte entschuldigen Sie diesen schrecklichen Missbrauch von Symbolen)$\int_{r_1}^{r_2} = -\int_{r_2}^{r_1}$generell. Warum stimmt das nicht immer?

• Ich scheine zu bemerken, dass wir den Schluss ziehen können, dass eine konservative Kraft vorhanden ist, wenn die geleistete Arbeit eine Kraft beinhaltet, die parallel oder antiparallel dazu ist$dr$, wie bei der Schwerkraft und der Federkraft (swap$dr$mit$dx$). Wenn$F$und Verschiebung sind beide parallel, kann ich in den meisten Fällen auf eine parallele Kraft schließen?