Demonstration der Existenz eines skalaren Potentials für eine konservative Kraft

Mathematisch ein Vektorfeld, F → , ist konservativ, wenn:

∮ γ ( F → . D l → ) = 0

Physikalisch entspricht das Integral der von einer Kraft verrichteten Arbeit F → auf einem Körper in einem geschlossenen Pfad. Ich beabsichtige mathematisch zu demonstrieren, dass eine konservative Kraft ein skalares Potential annimmt, dh:

∮ γ ( F → . D l → ) = 0 ⇔ F → = − ∇ → U

Wo U ist das Skalarpotential.

ich weiß, dass

F → = − ∇ → U ⇒ ∮ γ ( F → . D l → ) = 0

(Unter Verwendung des Stokes-Theorems: ∮ γ ( F → . D l → ) = ∫ S ( [ ∇ → × F → ] . N → ) D S . Mit dem Lemma von Schwarz haben wir das [ ∇ → × ∇ → U ] = 0. So, ∮ γ ( F → . D l → ) = 0. )

Mein Problem ist, dass ich das Gegenteil nicht demonstrieren kann, dh:

∮ γ ( F → . D l → ) = 0 ⇒ F → = − ∇ → U

Ich habe eine allgemeinere Lösung, die sich von unterscheidet F → = − ∇ → U .

Wie könnte ich das tun?

könnte nützlich sein: Helmholtz-Zerlegung
Alle verbundenen Regionen sollten einfach verbunden werden, um zu zeigen, dass ein zirkulationsfreies Vektorfeld ein Gradientenfeld ist.
Könnte Mathematik für diese Matheaufgabe besser geeignet sein?

Antworten (1)

Ich zeige Ihnen zuerst, wie man das zeigt ∮ γ F = 0 impliziert F = − D U und dann werden wir diskutieren, dass das Problem mathematisch in der anderen Richtung liegt .

  1. Wenn wir das wissen ∮ γ F = 0 dann können wir das Potenzial definieren U durch Festlegen eines Punktes X 0 und dann einstellen

    U ( X ) := ∫ γ F
    für jeden Weg dazwischen X 0 Und X . Dies ist wohldefiniert, da für jeden anderen Pfad γ ' aus X 0 Zu X wir haben, dass wir eine Schleife bilden können ℓ indem du zuerst entlang gehst γ und dann entlang γ ' in umgekehrter Richtung, so dass
    ∫ γ F − ∫ γ ' F = ∮ ℓ F = 0
    Das Potenzial ist also gut definiert. Es ist nicht schwer zu überprüfen, ob der Gradient von U Ist F .

  2. Die umgekehrte Richtung hat eine Subtilität: Sie haben angenommen, dass es eine Oberfläche gibt S so dass seine Grenze ist ∂ S = γ für jeden Weg γ . Dies gilt nur in einfach zusammenhängenden Räumen , aber nicht im Allgemeinen. Dass jedoch ein Gradient bedeutet, dass alle Schleifenintegrale Null sind, ist in allen Räumen wahr, wir müssen einfach den Satz von Stokes in seiner grundlegendsten Form anwenden, dem Fundamentalsatz der Analysis. Das sagt es für γ beginnt um X 1 und endet bei X 2 , wir haben

    ∫ γ D U = ∫ ∂ γ U = U ( X 2 ) − U ( X 1 )
    und für Schleifen X 1 = X 2 , So ∮ ℓ F = ∮ ℓ D U = 0 .

Nun ist es tatsächlich wichtig zu erkennen, dass es in nicht einfach zusammenhängenden Räumen kräuselfreie Vektorfelder gibt, die nicht der Gradient einer Skalarfunktion sind. Zum Beispiel auf R 2 − { ( 0 , 0 ) } wir haben

v ( X , j ) = X R ∂ X + j R ∂ j
mit R = X 2 + j 2 als kräuselfreies Vektorfeld, das kein Gradient ist und auch ein Schleifenintegral ungleich Null hat: Wenn Sie es entlang einer beliebigen Schleife integrieren, die einmal um den Ursprung geht, erhalten Sie 2 π .

Dies ist auch physikalisch von Bedeutung, beispielsweise ist es die Beobachtung, die dem Aharonov-Bohm-Effekt zugrunde liegt . Während das Magnetfeld außerhalb des Solenoids überall Null ist, ist das magnetische Vektorpotential nicht global der Gradient eines einzelnen Skalarpotentials, obwohl seine Kräuselung verschwindet, und folglich ist sein Integral um eine Schleife um das Solenoid ungleich Null.

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