Lokal gibt jede Kraft ein Potential zu?

Ich habe ein wenig Zweifel, ob eine Kraft konservativ ist oder nicht. Nun, wie ich verstanden habe, können einige Kräfte nicht als äußere Ableitung eines Skalarpotentials ausgedrückt werden, da die von der Kraft geleistete Arbeit pfadabhängig ist, mit anderen Worten, es ist nicht möglich, die Arbeit nur auf der Grundlage eines Werts an den Endpunkten zu bestimmen.

Aber meine Frage ist: Lokal lässt jede Kraft ein gewisses Potenzial zu? Mit anderen Worten, wenn F ist ein Kraftfeld, das auf einer Teilmenge definiert ist U ⊂ R N , und wenn A ∈ U , gibt es immer welche ϵ -Nachbarschaft von A , B ϵ ( A ) so dass die Einschränkung von F dazu B ϵ ( A ) lässt Potenzial zu? Denn für mich scheint es möglich zu sein, für jede Kraft einen kleinen Bereich zu finden, in dem die "Pfadabhängigkeit" nicht so stark eingreift. Ist das richtig?

Und in diesem Fall gehe ich davon aus, dass der Raum flach ist. Wenn wir mit einem gekrümmten Verteiler arbeiten M , trifft diese Idee doch zu?

Tut mir leid, wenn das albern ist, es ist nur ein Gedanke, den ich bestätigen wollte.

OP könnte es interessant finden, dass es in 1D (mit einem physikalischen dof und beispielsweise mit Kräften ohne explizite Zeitabhängigkeit) immer möglich ist, lokal eine Hamiltonsche Formulierung zu finden, vgl. diese Phys.SE-Antwort.

Antworten (1)

Nein, die meisten Kraftfelder weigern sich, konservativ zu sein. Die Pfadunabhängigkeit ist eine nichttriviale Einschränkung in einem beliebig kleinen Raumbereich, einer beliebigen Nachbarschaft.

Wenn das Kraftfeld konservativ ist, muss es das sein

∇ × F → = 0
Weil F = − ∇ Φ . Es ist klar, dass die Locke von F → kann ungleich Null sein, selbst wenn Sie sich eine kleine Nachbarschaft ansehen. Nehmen Sie zum Beispiel an, dass F → = ( 0 , X , 0 ) . Die Locke dieses Feldes ist ( 0 , 0 , 1 ) . Es ist einfach ungleich Null, sogar genau an diesem Punkt ( X , j , z ) = ( 0 , 0 , 0 ) oder irgendein anderer Punkt, für diese Angelegenheit. Wenn Sie eine beliebig kleine Fläche zeichnen D S im X j -Ebene, zB ein kleines Quadrat in der z = 0 Ebene, das Integral von F → über der Grenze des Bereichs wird ungleich Null sein, so dass die Arbeit äquivalent wegabhängig sein wird. Die Arbeit wird proportional sein D S , nämlich 1 ⋅ D S in meinem Fall, aber das ist die normale Skalierung.

Um das Kraftfeld "übersehen" zu lassen, dass es nicht konservativ ist, müssen Sie "so kleine Regionen" betrachten, dass die Ableitungen von F → sind völlig unsichtbar. Man kann zum Beispiel streng sein und das merken, wenn man es nur weiß F → nur an einem Punkt gibt es kein nachweisbares Hindernis, das dies verhindern würde F → davon, konservativ zu sein. Eine gerechtere Beschreibung der Situation ist jedoch, wenn Sie es nur wissen F → An einem Punkt kann man nicht sagen, ob das Feld konservativ ist – anstatt zu sagen, dass es das ist. Wenn das Kraftfeld konstant wäre, wäre es konservativ. Aber um aussagekräftig sagen zu können, ob das Kraftfeld konstant ist, müssen Sie auch nahe gelegene verschiedene Punkte betrachten. Und sobald Sie einige Ableitungen von messen können F → , die Locke von F → kann ebenfalls gemessen werden und kann ungleich Null sein.

Sie könnten Kräfte diskutieren, die "innerhalb einer gewissen Fehlerspanne konservativ" sind. Zum Beispiel, wenn F → in Ihrer kleinen Nachbarschaft fast konstant wären, würde es einen Sinn geben, in dem | Δ F | ≪ | F | , und solange Sie mit der Annäherung zufrieden wären F → + Δ F → ≈ F → , könnte man sagen, dass das Kraftfeld in diesem Bereich bei gleicher Genauigkeit konservativ ist. Aber diese ganze Schlussfolgerung ergibt sich nur, weil wir das Baby mit dem Bade ausgeschüttet haben. Ob ein Feld konservativ ist, kann typischerweise durch Betrachten kleiner Raumregionen herausgefunden werden. Ein Feld ist "lokal" konservativ, wenn ∇ × F → = 0 an den nahe gelegenen Punkten. Man muss das Verhalten des Kraftfeldes nicht überall kennen.

Gibt es wirklich nichtkonservative Kräfte? Ist Reibung nicht das makroskopische Ergebnis von elektrischen und Gravitationskräften (die beide konservativ sind)? Würde das Energieerhaltungsgesetz nicht verletzt werden, falls es nichtkonservative Kräfte gäbe? Vielen Dank im Voraus
Ja, in der tatsächlichen Natur kann Reibung (in führender Annäherung) auf eine Statistik vieler Wechselwirkungen reduziert werden, die letztendlich elektrostatisch, dh konservativ, sind. Aber die allgemeinere Behauptung ist nicht richtig. Der Ausdruck für die Gesamtenergie ist vielleicht ziemlich kompliziert und nicht gerecht P 2 / 2 M + v Wo v ist eine potentielle Energie. Es kann (und im Allgemeinen gibt es sogar in der Natur) verschiedene kompliziertere Funktionen und Produkte von Koordinaten und Impulsen (oder Ableitungen von Koordinaten, Geschwindigkeiten usw.) geben, und jede hinreichend allgemeine Form der Energie bedeutet, dass die Kräfte nicht konservativ.
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