Gibt es ein Potenzial, das mit Magnetismus verbunden ist?

Die Kraft$q\vec v\times \vec B$Einwirken auf ein geladenes Teilchen ist eindeutig nicht konservativ, da es von der Geschwindigkeit abhängt. Konservative Kräfte sind solche, die zu einer festen Arbeit – Energiedifferenz, die unabhängig vom Weg ist – zwischen zwei Punkten integrieren, so dass sie nur vom Ort abhängen können. Wir können ein Potential nicht mit einer geschwindigkeitsabhängigen Kraft in Verbindung bringen.

Andererseits verdient die magnetische Kraft, die zB auf ein kleines Stück Ferromagnet wirkt, eine besondere Diskussion. Wenn der Magnet ein magnetisches Moment hat$\vec m$, die Energie dieses Magneten in einem äußeren Magnetfeld ist einfach

$$U = -\vec m\cdot \vec B.$$ Man kann diesen Term in der Energie als potentielle Energie betrachten, die von der Ausrichtung des Magneten abhängt. Diese Kraft versucht sich zu orientieren$\vec m$in die gleiche Richtung wie das Äußere$\vec B$. Beachten Sie, dass das Feld$\vec B$oben kann auch von der Position abhängen, weshalb ein Magnet, der bereits so ausgerichtet ist, dass er die Energie minimiert, möglicherweise in den Bereich gezogen wird, in dem das Magnetfeld stärker wird.

Im Allgemeinen, ob oder nicht$\vec B$ist von der Steigung etwas abhängig${\rm curl}\, \vec B$und dies wird durch eine von Maxwells Gleichungen geregelt, nämlich

$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right) .$$ Es heißt Ampèresches Kreisgesetz (mit Maxwell-Korrektur: der letzte Term mit der zeitlichen Ableitung – auch Verschiebungsstrom genannt). Sie sehen, dass die Wellung in Gegenwart von Strömen und/oder zeitabhängigen elektrischen Feldern nicht verschwindet. In Abwesenheit von Strömen und zeitlich veränderlichen elektrischen Feldern ist die Kräuselung jedoch gleich Null, und Sie können schreiben$\vec B$als Gradient eines Potentials in diesen Regionen.

Dies bedeutet jedoch nicht sofort den konservativen Charakter einer Magnetkraft, da die von uns gemessenen Magnetkräfte nicht proportional dazu sind$\vec B$als Vektoren. Wir würden haben$\vec F = c\vec B$was der auf Ladungen wirkenden elektrischen Kraft entsprechen würde, aber eine solche Form der Kraft gilt nur für magnetische Monopole, etwas, das in der Natur möglicherweise existiert, aber nur in Form von extrem schweren Elementarteilchen, die wir noch nicht beobachtet haben.

Weil$\vec F$ist nicht$c\vec B$für jede bekannte Kraft die Frage, ob$\vec B$ist ein Gradient von etwas hat keinen Einfluss auf die Frage, ob eine bekannte Kraft in Bezug auf Magnetismus konservativ ist oder nicht. Aus diesem Grund ist es nicht einmal allzu sinnvoll, Potenziale zu betrachten$\Phi_B$so dass$\vec B = -\nabla \Phi_B$obwohl wir in einigen Fällen und Regionen ein solches Potenzial finden könnten (wenn die Locke verschwindet).

Stattdessen ist es sinnvoll zu schreiben$\vec B = {\rm curl}\,\vec A$Wo$\vec A$heißt Vektorpotential. Solange es keine magnetischen Monopole gibt,$\vec B$kann immer so geschrieben werden, weil dies das einzige Hindernis ist, das uns am Umschreiben hindern könnte$\vec B$auf diese Weise wäre eine Nicht-Null${\rm div}\,\vec B$aber diese Divergenz verschwindet aufgrund einer einfachen Maxwell-Gleichung.

Allerdings ist das Vektorpotential$\vec A$kann nicht "unmittelbar" als potentielle Energie einer Einheitsladung etc. interpretiert werden, sondern erscheint im Lagrange- und im Hamilton-Operator (mit verschiedenen Vorzeichen) in der Kombination$\vec j\cdot \vec A$Wo$\vec j$ist der elektrische Strom. In diesem Sinne ist das Vektorpotential die potentielle Energie pro Stromeinheit (beide sind Vektoren).

Dies ist eine etwas formale Beschreibung. Um die tatsächliche Energie zu erhalten, müsste man über die gesamten Strompfade integrieren. Und es kann getan werden. Wenn Sie beispielsweise eine kleine elektrische Stromschleife haben, verhält sie sich wie ein Magnet (Elektromagnet) und das Konturintegral$\oint \vec{d\ell}\cdot \vec A$von$\vec A$über diese Schleife ist nichts anderes als$\vec B\cdot \vec{dS}$– nach dem Gesetz von Stokes – wo$\vec{dS}$ist die infinitesimale Fläche der Schleife mit der hinzugefügten normalen Richtung, um sie in einen Vektor umzuwandeln (eine Rechtshandregel ist hier implizit). Das sagt Ihnen also, dass die potenzielle Energie der Stromschleife, dh eines kleinen Elektromagneten, nichts anderes ist als die$-\vec m\cdot \vec B$potenzielle Energie, die ich eingangs erwähnt habe.