Ist es gültig, einen Arbeitstensor aus Kraft und Weg zu konstruieren?

Wie in den Kommentaren erwähnt, muss die Arbeit ein Skalar sein, der unter der Änderung des Koordinatensystems invariant ist. Ein 2-Form-Tensor ist dies jedoch nicht, daher macht diese Tensorformulierung der Arbeit die Dinge unnötig kompliziert.

Trotzdem denke ich, dass die diagonalen Elemente auf einer gewissen Ebene Sinn machen; Wenn Sie diese Matrix verfolgen, werden Sie feststellen, dass sie die auf dem Block geleistete Arbeit wiedergibt. Auf einer intuitiven Ebene können Sie also an die denken$F_xS_x$Begriff als Beitrag der Kraft entlang der$x$Komponente, und ähnlich für$F_yS_y$Und$F_zS_z$, also ist die Gesamtarbeit nur die Addition der drei.

Die Elemente außerhalb der Diagonale sind nicht sehr physikalisch, und ich kann mir kein physikalisches Maß dafür vorstellen, was sie darstellen würden.

In der Physik werden Objekte fast immer dadurch definiert, wie sie sich unter einer bestimmten Regel verändern. Persönlich stelle ich mir Tensoren gerne als Objekte vor, die auf bequeme Weise definiert sind, um anzugeben, wie sie sich unter einer bestimmten Transformation transformieren. Die Details, wie sich das Objekt transformiert, sind sozusagen im Tensor „kodiert“. So wie Transformationen in Varietäten vorkommen, gibt es Tensoren in Varietäten.

Nehmen Sie zum Beispiel einen Skalar. Skalar ist nur eine Zahl. Egal wie Sie Ihr Setup verändern, der Skalar ändert sich nicht. (Die Temperatur ist ein gutes Beispiel. Wenn Sie Ihren Kopf neigen und den Raum sehen, bleibt die Temperatur an jedem Punkt im Raum dieselbe wie vor dem Neigen des Kopfes.) Diese Objekte sind unter einer vorgeschriebenen Transformation unveränderlich (muss nicht immer einfache Rotation sein, es können Lorentz-Boosts und alle möglichen anderen Transformationen sein). Diese Art von Objekt ist ein Objekt mit einem Element. Wir sagen, dass der Skalar ein Tensor vom Rang Null ist.

Vektoren sind Objekte, die sich ändern , wenn Sie den Raum (oder das Koordinatensystem) ändern, in dem sie leben. Vektoren sind Objekte, die von Natur aus empfindlich auf Richtungssinn im Raum reagieren (im Gegensatz zu Skalaren). Mathematisch ausgedrückt sind Vektoren Objekte, die sich linear transformieren , wenn Sie das Koordinatensystem drehen. Wenn Sie einen Vektor haben$\vec{A} = x_0\hat{x}$das ist rein entlang der$\hat{x}$-Richtung, und Sie drehen Ihr Koordinatensystem um 45$^0$über die$z$-Achse in der$xy$-Ebene, das Objekt ist jetzt nicht genau entlang$\hat{x}$-Richtung mehr! Es ist einiges geworden$A\hat{x}+B\hat{y}$. Das heißt, die Rotationstransformation hat nun eine Linearkombination daraus gemacht$x_1\hat{x}$Und$y_1 \hat{y}$. Diese Objekte werden zweckmäßigerweise in Form einer Spaltenmatrix geschrieben. Die Anzahl der Elemente in der Spaltenmatrix würde die Dimension des Raums bezeichnen, in dem sich der Vektor befindet. Im euklidischen Raum hätten Sie drei Elemente für einen Vektor. Da zur Beschreibung eines Vektors eine Spalte benötigt wird , handelt es sich um einen Tensor vom Rang eins .

Um das Spiel ein wenig aufzupeppen, können Sie Objekte definieren, die nicht nur aus einer Spaltenmatrix wie im Fall von Vektoren bestehen, sondern aus einer$N \times N$Matrix! Diese Art von Objekt kann etwas seltsame Konnotationen haben, aber es ist ein Objekt, das nicht seltsamer ist als beispielsweise ein Vektor. Da dieses Objekt Spalten und Zeilen benötigt , ist dies ein Tensor vom Rang zwei .

In ähnlicher Weise können Sie einen Tensor mit Rang drei erstellen , aber es wäre schwierig, ihn auf Papier zu schreiben, da das dritte Array aus der Seite herauskommen würde , dh an$N \times N \times N$Matrix.

Nun, es macht keinen Sinn, diese Objekte zu definieren, es sei denn, wir haben eine Art Kompositionsregel, die sie dazu bringt, miteinander zu interagieren. An dieser Stelle führen wir das Konzept eines Duals ein . Jedes dieser Objekte, sei es ein Skalar, ein Vektor oder ein Tensor, lebt in seinem eigenen Raum. Aber es gibt auch ein Dual (oder einen Zwilling, wenn Sie so wollen) für jedes dieser Elemente, die in einem anderen Raum leben, den wir den „Dualraum“ nennen. Warum brauchen wir diesen dualen Raum? Weil wir darauf bestehen, dass jede Kompositionsregel nur zwischen Objekten und ihrem Gegenstück im dualen Raum aufgestellt werden kann. Keine zwei Objekte aus demselben Raum können „komponieren“!

Beispielsweise wäre das Dual eines Spaltenvektors ein Zeilenvektor! Und wenn Sie darauf bestehen, dass die Kompositionsregel die Matrixmultiplikation ist (Zeilenvektor multipliziert mit Spaltenvektor), erhalten wir auf magische Weise einen Skalar! Wir nennen dies das „Punktprodukt“. Natürlich können Sie einen Vektor auch erhalten, indem Sie zwei Vektoren zusammensetzen, wie Sie es im Fall von Kreuzprodukten tun würden.

In Ihrer Frage haben Sie jedoch „Arbeit“ als Tensor definiert, aber Arbeit ist kein solches Objekt. Arbeit ist per Definition ein Skalar und kann daher nicht mit an bezeichnet werden$N \times N$Matrix. Per Definition ist es das Skalarprodukt zweier Vektoren,$\vec{F}$Und$\vec{s}$, wobei erstere die Kraft und letztere der Weg ist, den das Objekt anstelle der Kraft nimmt. Da Arbeit ein Skalar ist, muss es nur eine Zahl sein. So$\vec{F}.\vec{s}$wäre:

$$\begin{align} \begin{bmatrix} F_x F_y F_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_x \\ s_y \\ s_z \end{bmatrix} = F_x s_x + F_ys_y + F_zs_z = W \end{align}$$

Die Matrix jedes Mal neu zu schreiben kann etwas mühsam sein, deshalb haben wir die wunderbare Indexnotation, bei der wiederholte Indizes summiert werden. Beispielsweise kann die obige Matrixmultiplikation kurz und bündig geschrieben werden als$F_\mu s^\mu$, Wo$\mu$in unserem obigen Fall läuft jeweils von 1 bis 3$x$,$y$, Und$z$. Auf diese Weise stellen Sie sicher, dass ein niedriger indiziertes Objekt immer mit dem oberen indizierten Objekt zusammengeschlagen wird. Das ist, weil$a_\mu$ist aus einem Raum und$a^\mu$ist sein Zwilling aus dem dualen Raum! Sie können Objekte nur mit ihren Dualen multiplizieren. (Es kommt vor, dass Euklidisch selbstdual ist, sodass normale kartesische Vektoren keine so große Unterscheidung benötigen.)

Sie können auch Matrizen durch diese Indexnotation definieren lassen, und diese Menge würde von zwei Indizes überlagert werden, einem Index zur Bezeichnung der Zeile und einem anderen zur Bezeichnung der Spalte ($M^{21}$würde das Element in bezeichnen$2^{nd}$Reihe und$1^{st}$Spalte in der Matrix$M$). Wenn ich einen Vektor habe$\vec{A}$(bezeichnet durch Spaltenmatrix) und ich agiere als Rotationsmatrix$M$An$A$um es auf einen anderen Vektor zu drehen$B$, matrixweise würde ich schreiben als

$$\begin{align} \begin{bmatrix} M^{11} M^{12} M^{13} \\ M^{21} M^{22} M^{23} \\ M^{31} M^{32} M^{33} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \\ B_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A_1 M^{11} + M^{12}A_2 + M^{13}A_3 \\ A_1 M^{21} + M^{22}A_2 + M^{23}A_3 \\ A_1 M^{31} + M^{32}A_2 + M^{33}A_3 \end{bmatrix} \end{align}$$

Anstatt es so zu schreiben, kann ich einfach die gleiche Transformation wie schreiben$M^{\mu\nu}A_\nu = B_\mu$, Wo$\mu$läuft von 1 bis 3, und die sich wiederholenden Indizes werden summiert. Sie können vergleichen und sich selbst überzeugen, es klappt ordentlich! Es ist besonders praktisch, wenn Sie Transformationen mit sehr hohen Dimensionen aufschreiben und der Rang der Tensoren ebenfalls hoch wird. (Sie können keine 3D-Matrix auf Papier schreiben, aber bei der Indexnotation ist der Himmel die Grenze!) Ich hoffe, die Antwort war für Sie von Nutzen. Beifall!

Die von einer Kraft geleistete Arbeit wird als Skalar definiert , daher ist es kein guter Anfang, Tensoren zu lernen. Arbeit ist nur eine skalare Abbildung zweier Vektoren. Tatsächlich wird ein Tensor auf Rang 2 verwendet , da er eine Metrik impliziert , die trivialerweise die Identitätsmatrix der Elemente ist$\delta_{ij}$in kartesischen Koordinaten: das Skalarprodukt im 3D-euklidischen Raum. Für eine infinitesimale Verschiebung (von kartesischen Komponenten$ds_i$), könnten Sie schreiben

$$\begin{equation}\tag{1} dW_F = \vec{\boldsymbol{\mathrm{F}}} \cdot d\vec{\boldsymbol{\mathrm{s}}} \equiv \sum_{i, j} \delta_{ij} \, F_i \, ds_j. \end{equation}$$

Betrachten Sie nun den elektrischen Strom$\vec{\boldsymbol{\mathrm{J}}}$und das angelegte externe elektrische Feld$\vec{\boldsymbol{\mathrm{E}}}$. In einem linearen , homogenen und isotropen Material ist die Beziehung sehr einfach (es ist das mikroskopische Leitungsgesetz):

$$\begin{equation}\tag{2} \vec{\boldsymbol{\mathrm{J}}} = \sigma \, \vec{\boldsymbol{\mathrm{E}}}. \end{equation}$$ In kartesischer Komponentenform: $$\begin{equation}\tag{3} J_i = \sigma \, E_i. \end{equation}$$ Hier,$\sigma$ist eine einfache Konstante (das Material ist homogen ), interpretiert als Materialleitfähigkeit . Wenn das Material nun homogen, aber nicht isotrop ist (wie in einem Kristall), müssen Sie die vorherige Beziehung wie folgt ändern: $$\begin{equation}\tag{4} J_i = \sum_{j = 1, 2, 3}\sigma_{ij} \, E_j. \end{equation}$$ Hier die kartesischen Komponenten$\sigma_{ij}$definiert die Elemente der Leitfähigkeitsmatrix. Die Leitfähigkeit wird zu einem Tensor 2. Grades , der das elektrische Feld linear auf die Stromdichte anwendet. Sie können dann diesen Tensorausdruck schreiben (das Tensorprodukt$\otimes$ist ein Buchhaltungsgerät, das Sie an die Reihenfolge der Indizes erinnert): $$\begin{equation}\tag{5} \boldsymbol{\sigma} = \sum_{i, j} \sigma_{ij} \, \boldsymbol{\mathrm{e}}_i \otimes \boldsymbol{\mathrm{e}}_j, \end{equation}$$ Wo$\boldsymbol{\mathrm{e}}_i$sind die drei ($i = 1, 2, 3$) kartesische Einheitsvektoren, die Ihren kartesischen Achsen zugeordnet sind.

Sie könnten auch den Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls betrachten$\vec{\boldsymbol{\mathrm{L}}}$einer festen Form und seiner Winkelgeschwindigkeit$\vec{\boldsymbol{\mathrm{\omega}}}$als weiteres Beispiel. Allgemein$L_i \ne I \, \omega_i$, Wo$I$ist das Trägheitsmoment um eine Achse. Du könntest das schreiben:

$$\begin{equation}\tag{6} L_i = \sum_{j = 1, 2, 3}I_{ij} \, \omega_j, \end{equation}$$ Wo$I_{ij}$sind die kartesischen Komponenten des Trägheitstensors (eine symmetrische 3-mal-3-Matrix). Dies ist ein weiteres Beispiel für einen Rang-2-Tensor. Es bildet die Winkelgeschwindigkeit der Rotation (um eine Achse) linear auf den Drehimpuls des rotierenden Objekts ab.

Ein bisschen verwandt mit Ihrem Problem könnten Sie den Druck (oder die Spannung oder allgemeiner die Spannung ) betrachten, die in einer Flüssigkeit oder einem elastischen Festkörper ausgeübt wird. Es ist eine lineare Abbildung aus dem infinitesimalen Flächenvektor (von kartesischen Komponenten$dA_i$) auf den infinitesimalen Kraftvektor, der auf diese Fläche angewendet wird:

$$\begin{equation}\tag{7} dF_i = \sum_{i, j} p_{ij} \, dA_j. \end{equation}$$