Ignorieren wir bei der Berechnung der Zentripetalkraft nicht radiale oder tangentiale Kräfte?

Angenommen, ein Objekt bewegt sich kreisförmig in der vertikalen Ebene (dh so, dass die Schwerkraft direkt nach unten zeigt) um einen zentralen Punkt, der durch eine Schnur befestigt ist; Das Objekt wird ständig beschleunigt, da sich seine Richtung ständig ändert, daher wirkt eine resultierende Kraft auf es. Diese Zentripetalkraft wirkt radial nach innen und ist die resultierende Kraft von Kräften, die auf das Objekt einwirken.

Wenn ich jedoch versuche, ein solches Szenario zu berechnen, lande ich bei einer Kraft, die nicht berücksichtigt wird. Nehmen Sie das folgende Diagramm

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Meine Frage ist, was mit dieser Gewichtskomponente passiert, die parallel zur Tangentialgeschwindigkeit des Objekts ist (dh mgsinθ). Dies sollte sicherlich bei der Berechnung der resultierenden Kraft und damit der Zentripetalkraft berücksichtigt werden. Es sei denn, mein Verständnis der Zentripetalkraft ist falsch und die resultierende Kraft ist ihr nicht immer gleich.

Dies kann erweitert werden, wenn die Geschwindigkeit des Objekts senkrecht zum Boden und die Spannung in der Schnur / dem Seil parallel zum Boden ist. Wir berechnen diese Zentripetalkraft = Spannung in der Saite, warum ignorieren wir das Gewicht des Objekts in unseren Berechnungen vollständig. Ich weiß, dass die Spannung radial und das Gewicht tangential und damit senkrecht ist, aber warum führen wir keine Vektorsumme durch, um die Zentripetalkraft zu berechnen?

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Antworten (2)

Für eine planare Bewegung in Polarkoordinaten wird Newtons zweites Gesetz zu:

F = M ( R ¨ − R θ ˙ 2 ) R ^ + M ( R θ ¨ + 2 R ˙ θ ˙ ) θ ^
wobei jeder Punkt eine Zeitableitung darstellt (oder eine Zeitänderungsrate, wenn Sie mit der Analysis nicht vertraut sind). Auf das Objekt wirken zwei Kräfte: die Zugkraft und das Gewicht. Nun wissen wir, dass die Spannkraft immer radial nach innen wirkt, dh T = − T R ^ . Und wir können das Gewicht in zwei Komponenten aufteilen: w = w cos ⁡ θ   R ^ − w Sünde ⁡ θ   θ ^ . Deshalb haben wir
( w cos ⁡ θ − T )   R ^ + ( − w Sünde ⁡ θ )   θ ^ = M ( R ¨ − R θ ˙ 2 )   R ^ + M ( R θ ¨ + 2 R ˙ θ ˙ )   θ ^

Die radiale Komponente ist im Wesentlichen das, was Sie haben, wenn Sie sie ersetzen θ ˙ mit v / R und das erkennen R ¨ muss sein 0 da das Objekt auf einem konstanten Radius bleibt R :

w cos ⁡ θ − T = − M v 2 R

Was Sie fragen, was übrig bleibt, ist die tangentiale Komponente:

− w Sünde ⁡ θ = M ( R θ ¨ + 2 R ˙ θ ˙ )
oder seit R ˙ = 0
θ ¨ = − w M R Sünde ⁡ θ = − G R Sünde ⁡ θ

was Sie vielleicht erkennen, ist die Differentialgleichung für die Winkelbewegung eines einfachen Pendels.

Danke für die Antwort, also ist die Zentripetalkraft im Wesentlichen nur die Resultierende radial wirkender Kräfte, während Tangentialkräfte die Tangentialbeschleunigung des Objekts bewirken? Ähnlich wie ein Objekt in Projektilbewegung eine unabhängige horizontale und vertikale Bewegung hat, bei der die Schwerkraft nur die vertikale Bewegung bewirkt. Drehen wir im Fall einer kreisförmigen Bewegung lediglich unsere Achse von vertikal und horizontal zu radial und tangential?
@Patrick Irgendwie. Die Zentripetalkraft ist nur die radiale Komponente, und die tangentiale Komponente ist, nun ja, Tangente. Aber ich zögere zu sagen, dass sie unabhängig sind. Sie können sehen, wie diese Gleichungen ziemlich gekoppelt sind. Eine andere Analogie, die fehlschlägt, ist, dass es eine radiale Nettokraft gibt, aber die radiale Koordinate R ändert sich nicht. Eigentlich betrachten wir orthogonale Komponenten der Kraft, aber diese Komponenten ändern ihre Richtung abhängig von Ihrer Position.
Danke für die Klarstellung, ich werde mich weiter mit dem Thema befassen.

Die Komponente der Kraft, die den Kreis tangiert, ist letztendlich die Netto-Tangentialkraft auf das Objekt, die Kraft, die die Tangentialbeschleunigung antreibt. Die radiale Komponente der Gravitationskraft addiert sich zur Zugkraft, um die Zentripetalkraft zu bilden, die die Zentripetalbeschleunigung antreibt.

Es ist wichtig zu beachten, dass das Objekt in diesem Fall keine gleichmäßige Kreisbewegung ausführt. Die Analyse erfolgt an einem beliebigen Punkt T − M G cos ⁡ θ = M v 2 / R , aber im Gegensatz zur gleichförmigen Kreisbewegung gibt es eine tangentiale Beschleunigung. Also im Laufe der Zeit, T , θ , Und v alle ändern sich, aber die Beziehung zwischen ihnen bleibt unverändert.

Ich bin mir nicht sicher, was du in deinem letzten Absatz meinst. Wenn das Pendel waagerecht steht, dann T = v = 0 Und θ = π / 2 . Die Zentripetalkraft ist zwar gleich der Zugkraft, aber beide sind Null.

Danke für die schnelle Antwort, ich war mir vorher der Tangentialbeschleunigung nicht bewusst, aber das scheint dies zu erklären, danke. Im letzten Absatz über den Punkt, an dem das Objekt / Pendel horizontal ist, habe ich meinem Beitrag ein Diagramm hinzugefügt, um es zu veranschaulichen. Ich habe mich über Ihren letzten Punkt gewundert, wo T = v = 0, wenn v = 0 und die einzige Kraft, die darauf wirkt, das nach unten gerichtete Gewicht des Objekts ist, wird das Objekt nicht nach unten beschleunigen und den Kreis nicht schließen? (Beachten Sie, dass ich mich in dieser Frage nicht mit einfachen harmonischen Bewegungen befasse).
In der horizontalen Position ist die Nettokraft gerade nach unten gerichtet. Aber einen Moment später fügt die Beschränkung der Spannvorrichtung eine kleine horizontale Kraft hinzu. Bei der Analyse von Kreispendelproblemen (und ähnlichen) ist es ratsam, die Aufmerksamkeit auf einen bestimmten Zeitpunkt zu richten und dabei die Momentanwerte von zu berücksichtigen T , θ Und v . Sie werden sich im nächsten Moment ändern, aber die Beziehung zwischen ihnen wird die gleiche bleiben.
Ignorieren wir bei der Berechnung der Zentripetalkraft nicht radiale oder tangentiale Kräfte?
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