Richtungsmehrdeutigkeit von Winkelgeschwindigkeit und Winkelabstand aus der Beziehung ω=dϕdtω=dϕdt\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}

Question

Richtungsmehrdeutigkeit von Winkelgeschwindigkeit und Winkelabstand aus der Beziehung ω=dϕdtω=dϕdt\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}

Benutzer133658

Der Winkelgeschwindigkeitsvektor $\boldsymbol{\omega}$ ist definiert als:

ω = \frac{D ϕ}{D T} .

$\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}.$ Für die Kreisbewegung auf der

x y -

$xy-$ Ebene,

ω

$\boldsymbol{\omega}$ steht senkrecht auf der

x y

$xy$ -Flugzeug dh,

ω = ω \hat{z}

$\boldsymbol{\omega}=\omega\hat{\textbf{z}}$ und dem infinitesimalen Winkelverschiebungsvektor

δ ϕ = δ ϕ \hat{ϕ}

$\delta{\boldsymbol{\phi}}=\delta{\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}}$ tangential (oder doch?) zur Kreisbahn gerichtet ist.

Diese Beziehung $\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}$ kann nicht (als Vektorgleichung) gerechtfertigt werden, wenn LHS und RHS unterschiedliche Richtungen haben. Aber wie kann ein Skalaroperator ( $\frac{d}{dt}$ ), ändern Sie die Richtung von $\delta{\boldsymbol{\phi}}$ mit dem von zusammenfallen $\boldsymbol{\omega}$ ?

BEARBEITEN : Betrachten Sie den Positionsvektor eines Partikels in 2-D (in ebenen Polarkoordinaten $(r,\phi)$ ) sich auf einem beliebigen Pfad bewegen:

R = R \hat{R}

$\textbf{r}=r\hat{\textbf{r}}$ Mit der zeitlichen Ableitung erhält man

v = \frac{D}{D T} R = \dot{R} \hat{R} + R \dot{ϕ} \hat{ϕ}

$\textbf{v}=\frac{d}{dt}\textbf{r}=\dot{r}\hat{\textbf{r}}+r\dot{\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}}$ Wir haben gehandelt

d / d t

$d/dt$ An

r

$\textbf{r}$ (die entlang geleitet wurde

\hat{r}

$\hat{r}$ ), aber die Geschwindigkeit hat beides

\hat{r}

$\hat{r}$ Und

\hat{ϕ}

$\hat{\phi}$ Komponenten. Wie ist das wann möglich

d / d t

$d/dt$ ist ein Skalaroperator?

Prasad Mani

Es liegt daran, dass

\hat{r}

$\hat r$ Und

\hat{ϕ}

$\hat {\phi}$ sind nicht terminiert (

\hat{i}

$\hat i$ ,

\hat{j}

$\hat j$ ,

\hat{k}

$\hat k$ Sind !). Ihre zeitliche Entwicklung ist miteinander verflochten.

SRS

Ein Chan zeigt das unter willkürlicher Rotation

d r = r^{'} - r = r \times d ϕ

$d\textbf{r}=\textbf{r}^\prime-\textbf{r}=\textbf{r}\times d\boldsymbol{\phi}$ . Spezialisiert auf Kreisbewegungen in

x y

$xy$ -Ebene erhält man

d r = d s \hat{ϕ} = r (\hat{r} \times d ϕ)

$d\textbf{r}=ds\hat{\phi}=r(\hat{r}\times d\boldsymbol{\phi})$ welche Kräfte

d ϕ

$d\boldsymbol{\phi}$ zum entlang

\hat{z}

$\hat{z}$ . Daher beides

d ϕ

$d\boldsymbol{\phi}$ Und

ω

$\boldsymbol{\omega}$ Punkt entlang

\hat{z}

$\hat{z}$ .

John Alexiou

Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist nicht definiert als

ω = \frac{d ϕ}{d t}

$\omega = \frac{{\rm d} \phi}{{\rm d}t}$ es ist definiert als

\frac{D \vec{S}}{D T} = \vec{ω} \times \vec{S}

$\frac{{\rm d}\vec{s}}{{\rm d}t} = \vec{\omega} \times \vec{s}$

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Richtungsmehrdeutigkeit von Winkelgeschwindigkeit und Winkelabstand aus der Beziehung ω=dϕdtω=dϕdt\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}

Es liegt daran, dass $\hat r$ Und $\hat {\phi}$ sind nicht terminiert ( $\hat i$ , $\hat j$ , $\hat k$ Sind !). Ihre zeitliche Entwicklung ist miteinander verflochten.
Ein Chan zeigt das unter willkürlicher Rotation $d\textbf{r}=\textbf{r}^\prime-\textbf{r}=\textbf{r}\times d\boldsymbol{\phi}$ . Spezialisiert auf Kreisbewegungen in $xy$ -Ebene erhält man $d\textbf{r}=ds\hat{\phi}=r(\hat{r}\times d\boldsymbol{\phi})$ welche Kräfte $d\boldsymbol{\phi}$ zum entlang $\hat{z}$ . Daher beides $d\boldsymbol{\phi}$ Und $\boldsymbol{\omega}$ Punkt entlang $\hat{z}$ .
Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist nicht definiert als $\omega = \frac{{\rm d} \phi}{{\rm d}t}$ es ist definiert als $\frac{D \vec{S}}{D T} = \vec{ω} \times \vec{S}$ $\frac{{\rm d}\vec{s}}{{\rm d}t} = \vec{\omega} \times \vec{s}$

John Rennie · Answer 1

Wenn Sie eine Vektorgröße differenzieren $\mathbf x$ in Bezug auf die Zeit wird die Richtung des Differentials die Richtung des Infinitesimalen sein $\mathrm d\mathbf x$ . Das ist die Richtung des Vektors:

D X = X (T + D T) - X (T)

$\mathrm d\mathbf x= \mathbf x(t+\mathrm dt) - \mathbf x(t)$

Die Richtung einer Winkelverschiebung ist nicht tangential. Den Rotationsvektor (eigentlich ein Pseudovektor) erhält man durch Multiplikation des Winkels mit einem Einheitsvektor, der entlang der Achse zeigt. Der Rotationsvektor zeigt also in die gleiche Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit. Das bedeutet $\mathrm d\phi$ zeigt auch entlang dieser Achse. Also der Betreiber $\mathrm d/\mathrm dt$ ändert die Richtung des Vektors nicht.

Dies ist jedoch ein Sonderfall, da bei der Rotation alle Vektoren in die gleiche Richtung zeigen. Sie geben das Beispiel der Differenzierung eines Positionsvektors, wobei das Differential nicht in die gleiche Richtung wie der Positionsvektor zeigt. Aber das liegt an der Richtung des Positionsvektors $\mathbf r$ ändert sich mit der Zeit. Wenn Sie einen Sonderfall wie das Teilchen nehmen, das sich dann radial nach außen bewegt $\mathbf r$ Und $\mathrm d\mathbf r/\mathrm dt$ würden in die gleiche Richtung weisen.

Als Antwort auf Ihre Antwort habe ich meine Frage bearbeitet und ein Gegenbeispiel für den Skalaroperator hinzugefügt $d/dt$ ändert eindeutig die Richtung des Vektors, auf dem es arbeitet. Aber ich verstehe physikalisch nicht, wie das passiert.
Letzte Zeile Ihrer Antwort (stimme meiner Idee zu, dass $d/dt$ , ein Skalaroperator, kann die Richtung nicht ändern) widerspricht meinem Beispiel, wie in EDIT erklärt.
Lieber John, ich würde mich freuen, wenn Sie sich das ansehen (und wenn möglich beantworten): physical.stackexchange.com/questions/287730/…

Färcher · Answer 2

Das erste ist das $\hat r$ Und $\hat \phi$ sind keine festen Vektoren wie sie sind $\hat i, \hat j$ Und $\hat k$ und sie sind echte Vektoren.

Zur Beantwortung Ihrer Frage.
Alle im Diagramm gezeichneten Vektoren sind koplanar.

Also deine Winkelgeschwindigkeit $\frac{d \phi}{dt}$ Vektor muss im rechten Winkel zu dieser Ebene zeigen $\hat z$ Richtung.

Obwohl es schwierig zu zeichnen ist, habe ich festgestellt, dass das Zeichnen des Diagramms die Interpretation der Mathematik erleichtert.

Auf dem Weg von $A$ , Positionsvektor $\vec r$ , Zu $B$ , Positionsvektor $\vec r + d\vec r$ , gibt es eine Rotation von $d \phi \;\hat z$ und ein Positionswechsel von $d\vec r$ .

Der Einheitsvektor $\hat r$ ändert sich mit der Zeit.
$|d \vec r| = |\vec r| d \phi = d \phi$ in der Richtung von $\hat \phi$ .

$\Rightarrow \dfrac{d \hat r}{dt} = \dfrac{d \phi}{dt} \hat \phi$

Analog lässt sich das zeigen $d \vec \phi = - d \phi \;\hat r$ .
Das negative Vorzeichen ist da, weil die Drehung dieses Einheitsvektors radial nach innen, also gegensinnig zum Einheitsvektor ist $\hat r$ .
Beachten Sie, dass Sie geschrieben haben $\delta{\boldsymbol{\phi}}=\delta{\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}}$ allerdings mit Fragezeichen.

$\vec v = \dfrac {d \vec r}{dt} = \dfrac {d(r \hat r)}{dt} = \dfrac{dr}{dt} \hat r + r\dfrac {d \hat r}{dt} = \dot r \hat r + r \dot \phi \hat \phi$ wie du gezeigt hast.

Richtungsmehrdeutigkeit von Winkelgeschwindigkeit und Winkelabstand aus der Beziehung ω=dϕdtω=dϕdt\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}

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