Physikalische Bedeutung der Beschleunigungsterme in Polarkoordinaten

$\ddot{r} \hat e_r$: übliche Radialbeschleunigung

$-r\dot{θ}^2 \hat e_r$: Zentripetalbeschleunigung

$r\ddot{θ}\hat e_θ$: Dies ist die Euler-Beschleunigung . Es ist eine Beschleunigung aufgrund einer Änderung der Winkelgeschwindigkeit (bei festem$r$). Beispiel aus dem verlinkten Wikipedia-Artikel: Bei einem Karussell ist dies die Kraft, die Sie zu Beginn des Ritts nach hinten (Winkelgeschwindigkeit steigt) und nach vorne drückt, wenn der Ritt aufhört (Winkel abnehmende Geschwindigkeit).

$2\dot{r}\dot{θ} \hat e_θ$: Coriolis-Beschleunigung

Ich kann Ihre Frage nur teilweise beantworten: Die Coriolis-Kraft spielt dabei keine Rolle. Die Form, die Sie haben, kommt direkt vom Ausdrücken$\ddot{x}$Und$\ddot{y}$in Bezug auf Derivate aof$r$Und$\theta$durch die geometrische Veränderung

$$\begin{align} x(t)&=r(t)\cos(\theta(t))\, ,\qquad y(t)=r(t)\sin(\theta(t)) \end{align}$$ gefolgt von der Konvertierung $$\hat x=\cos(\theta(t))\hat r- \sin(\theta(t))\hat \theta\, ,\quad \hat y=\sin(\theta(t))\hat r+ \cos(\theta(t))\hat \theta\, .$$ Daher stammen die verschiedenen Bits und Teile in Polarkoordinaten ausschließlich aus der Änderung des Koordinatensystems , nicht aus der trägen oder nicht trägen Natur des Referenzrahmens , in dem Sie beliebige Koordinatensysteme festlegen können.

Denn die Ausrichtung von$\hat r$Und$\hat \theta$von der Position im Raum abhängen, ist es nicht einfach, Intuition in ihre Bestandteile zu bekommen.

Hier ist eine vollständige Erklärung. Ich ändere die Schreibweise$\hat{e_r} \to \hat{r}$,$\hat{e_\theta} \to \hat{\theta}$.

Wir wissen das$\textbf{R} = r \hat{r}$. Somit,$\textbf{V} = \dot{r} \hat{r} + r \dot{\theta} \hat{\theta}$. Lassen Sie uns auch mit bezeichnen$\textbf{V}_r = \dot{r} \hat{r} (= \textbf{V} \cdot \hat{r} \hat{r})$, Und$\textbf{V}_\theta = r\dot{\theta} \hat{\theta} (= \textbf{V} \cdot \hat{\theta} \hat{\theta})$. Es ist klar (ich hoffe es), warum das so ist – die Änderung von$\textbf{R}$wird der Veränderung entlang zugeschrieben$\hat{r}$(das ist \dot{r}) und durch die Änderung der Richtung von$\hat{r}$, welches ist$r\dot{\theta}$.

Wenn wir dies ableiten, sehen wir das$\textbf{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta}^2) \hat{\theta}$.

Jetzt für die Beschleunigung, lassen Sie uns es in die Änderung von aufteilen$\textbf{V}_r$und von$\textbf{V}_\theta$(und dann der Wechsel von$\textbf{V}$wird ihre Summe sein, und es ist die Beschleunigung).

Schauen wir uns zunächst an$\textbf{V}_r$:

Wir können das sehen$\Delta \textbf{V}_r$ist die Vektorsumme der Änderung entlang$\hat{r}$Richtung, die ist$\Delta \dot{r}$, und die Änderung, die durch die Richtungsänderung von verursacht wird$\hat{r}$, das geht in Richtung$\hat{\theta}$, mit einer Länge, die ungefähr der Länge entspricht$|\textbf{V}_r| \cdot \Delta \theta = \dot{r} \Delta \theta$des Bogens hinein$\hat{\theta}$Richtung. Insgesamt bekommen wir$\Delta \textbf{V}_r = \Delta \dot{r} \hat{r} + \dot{r} \Delta \theta \hat{\theta}$mit$\Delta t$,$\Delta \theta$unendlich klein, also mit dividieren durch$\Delta t$, in der Grenze, die wir bekommen$\dot{\textbf{V}_r} = \ddot{r} \hat{r} + \dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta}$.

Nun zum interessanteren$\Delta \textbf{V}_\theta$:

Wir können das sehen$\Delta \textbf{V}_\theta$ist die Vektorsumme der Änderung, die durch die Richtungsänderung verursacht wird$\hat{\theta}$, und die Änderung zusammen$\hat{\theta}$. Die Änderung verursacht durch die Richtungsänderung von$\hat{\theta}$ist das etwa ein Bogen in Richtung$-\hat{r}$mit Länge rein$|\textbf{V}_\theta| \cdot \Delta \theta = r \cdot{\theta} \Delta \theta \cdot (- \hat{r})$.

Die Veränderung mit$\hat{\theta}$ist von Länge$\Delta (r \dot{\theta}) = \Delta r \dot{\theta} + r \Delta \dot{\theta}$, was als die Änderung erklärt werden kann, die durch die Zunahme / Abnahme der Winkelgeschwindigkeit verursacht wird, summiert mit der Änderung, die verursacht wird, wenn wir die Länge erhöhen / verringern$r$, was die Geschwindigkeit entlang des Bogens (der eine Länge hat$r \dot{\theta}$zu erhöhen/zu verringern sein$(r + \Delta r) \dot{\theta}$. Mit Division durch$\Delta t$und wenn wir uns die Grenze ansehen, erhalten wir$\dot{\textbf{V}_\theta} = - r \dot{\theta}^2 \hat{r} + \dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta} + r \ddot{\theta} \hat{\theta}$.

Insgesamt erhalten wir die Gleichung, die wir brauchten. Interessant ist der Begriff$2 \dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta}$ist in zwei Hälften geteilt, eine kommt aus dem Wechsel rein$\textbf{V}_r$und die andere von der Änderung in$\textbf{V}_\theta$.

Ich hoffe, dass es jetzt klarer ist.

Als allgemeiner Ratschlag leiten Sie die Gleichungen selbst ab und multiplizieren mit$dt$und versucht den Blick auf die$d(\text{stuff})$geometrisch ist manchmal hilfreich.