Verwenden der Zentripetalbeschleunigung, um die Geschwindigkeitsgröße bei t + dtt + dtt + dt zu ermitteln

Question

Verwenden der Zentripetalbeschleunigung, um die Geschwindigkeitsgröße bei t + dtt + dtt + dt zu ermitteln

Malcolm

Betrachten Sie eine kreisförmige Bewegung ohne Winkelbeschleunigung. Wie können Sie mit der Formel die gleiche Größe für den Geschwindigkeitsvektor zu unterschiedlichen Zeiten finden? $v_{t} = v_0 + a.t$ mit Vektoren?

Der Beschleunigungsvektor $\vec{a} = \vec{a_c} + \vec{a_t}$ Wo $\vec{a_c}$ ist die Zentripetalbeschleunigung $a_c$ = $\dfrac{-v^2}{r}$ Und $\vec{a_t}$ ist die Tangentialbeschleunigung, wenn sich die Tangentialgeschwindigkeit ändert.

Auf jedem Diagramm, das ich bisher gesehen habe, der radiale Beschleunigungsvektor $\vec{a_r}$ und die Tangentialgeschwindigkeit $\vec{v_t}$ senkrecht sind und ihre Vektorschwänze denselben Punkt teilen, wie könnte es dann sein $\vec{v_{(t_0+dt)}}$ gleich groß sein wie $\vec{v_{(t_0)}}$ ? Wie kann ich beweisen, dass eine Hypothenuse die gleiche Länge wie eine ihrer Komponenten hat? In meinem Buch sprechen sie von Radialbeschleunigung anstelle von Zentripetal, aber wenn ich recht habe, habe ich Folgendes versucht:

\vec{v_{(T_{0} + D T)}} = v_{R_{(T_{0})}} \vec{R} + v_{T_{(T_{0})}} \vec{θ} + (A_{R} . D T) \vec{R} + (A_{T} . D T) \vec{θ}

$\vec{v_{(t_0+dt)}} = v_{r_{(t_0)}}\vec{r} + v_{t_{(t_0)}}\vec{\theta} + (a_r.dt)\vec{r} + (a_t.dt)\vec{\theta}$

$\vec{r}$ ist der Einheitsvektor in Richtung des Radiusvektors, der zum Punkt p geht $t_0$

Und $\vec{\theta}$ ist der Einheitsvektor der Tangente im Punkt p und in positiver Richtung gegen den Uhrzeigersinn und senkrecht zu $\vec{r}$

der Skalar $v_r$ ist Null und ohne Winkelbeschleunigung $a_t$ ist Null. Ist diese Gleichung richtig?

∣ ∣ \vec{v_{(T_{0} + D T)}} ∣∣= (v_{T_{(T_{0})}}^{2} + (A_{R} . D T)^{2})^{\frac{1}{2}}

$\mid\mid\vec{v_{(t_0+dt)}}\mid\mid = (v_{t_{(t_0)}}^2 + (a_r.dt)^2)^{\frac{1}{2}}$ Ich habe gerade die Ableitung gesehen, die zu führt

a_{c}

$a_c$ =

\frac{- v^{2}}{r}

$\dfrac{-v^2}{r}$ aber in der obigen Gleichung jede Größenordnung für

a_{r}

$a_r$ Würde geben

v_{(t_{0} + d t)} = v_{t_{(t_{0})}}

$v_{(t_0+dt)} = v_{t_{(t_0)}}$ seit

d t

$dt$ ist klein genug.

Antworten (2)

Verwenden der Zentripetalbeschleunigung, um die Geschwindigkeitsgröße bei t + dtt + dtt + dt zu ermitteln

Philipp · Answer 1

Es ist sehr einfach zu tun:

\begin{aligned} | v (T + D T) |^{2} & = {| v (T) + \frac{D v}{D T} D T |}^{2} \\ = {| v (T) \hat{θ} + A (T) D T |}^{2} \\ = {| v (T) \hat{θ} + A (T) D T \hat{R} |}^{2} \\ = v^{2} (T) + 2 v (T) A (T) D T \hat{θ} \cdot \hat{R} + A^{2} (T) (D T)^{2} \end{aligned}

$\begin{align} |\mathbf{v}(t+dt)|^2&= \left|\mathbf{v}(t)+\frac{d\mathbf{v}}{dt}dt\right|^2\\ &=\left|v(t)\boldsymbol{\hat\theta}+\mathbf{a}(t)dt\right|^2\\ &=\left|v(t)\boldsymbol{\hat\theta}+a(t)dt\mathbf{\hat r}\right|^2\\ &=v^2(t)+2v(t)a(t)dt \boldsymbol{\hat\theta}\cdot\mathbf{\hat r}+a^2(t)(dt)^2 \end{align}$ Seit

\hat{θ} \cdot \hat{r} = 0

$\boldsymbol{\hat\theta}\cdot\mathbf{\hat r}=0$ Und

(d t)^{2}

$(dt)^2$ Ist vernachlässigbar,

| v (T + D T) |^{2} = v^{2} (T)

$|\mathbf{v}(t+dt)|^2=v^2(t)$ Es funktioniert für jede Beschleunigung, solange sie senkrecht zur Geschwindigkeit ist.

youpilat13 · Answer 2

Es gibt ein allgemeines Argument, das wunderbar einfach ist. Die (quadratische) Geschwindigkeit ist gegeben durch $\vec{v}\cdot\vec{v}$ . Betrachten wir nun die Änderungsrate der (quadratischen) Geschwindigkeit:

\begin{aligned} \frac{D}{D T} (\vec{v} \cdot \vec{v}) & = \frac{D \vec{v}}{D T} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \frac{D \vec{v}}{D T} \\ = 2 \frac{D \vec{v}}{D T} \cdot \vec{v} \\ = 2 \vec{A} \cdot \vec{v} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt} (\vec{v}\cdot\vec{v})&= \frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}+ \vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt} \\ &= 2 \frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}\\ &= 2 \vec{a}\cdot\vec{v} \end{align}$

Wenn also die Beschleunigung senkrecht zur Geschwindigkeit ist, würde die Änderung der (quadratischen) Geschwindigkeit verschwinden, weil das Skalarprodukt senkrechter Vektoren verschwindet. Mit anderen Worten, eine Beschleunigung senkrecht zur Geschwindigkeit trägt nur zur Richtungsänderung der Geschwindigkeit bei.

Verwenden der Zentripetalbeschleunigung, um die Geschwindigkeitsgröße bei t + dtt + dtt + dt zu ermitteln

Malcolm

Antworten (2)

Philipp

youpilat13

Ich habe Probleme mit der Beschleunigung in Polarkoordinaten

Wann werden Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren senkrecht stehen? [geschlossen]

Was ist die korrekte Definition der Tangentialbeschleunigung?

Physikalische Bedeutung der Beschleunigungsterme in Polarkoordinaten

Terminologie für Zeitableitung der Geschwindigkeit (nicht Geschwindigkeit)

Was bedeutet die Größe der Beschleunigung?

Die Richtung der Geschwindigkeit eines Körpers kann sich ändern, wenn seine Beschleunigung konstant ist. Wie ist das möglich, da die Beschleunigung eine Vektorgröße ist?

Zeichen der Beschleunigung

Ausnutzung der maximalen Beschleunigung aaa für Verschiebung ddd mit Anfangsgeschwindigkeit v0v0v_0 und Endgeschwindigkeit v1v1v_1

Warum ist die Beschleunigung bei einer gleichförmigen Kreisbewegung variabel?