Warum ist die Beschleunigung bei einer gleichförmigen Kreisbewegung variabel?

Die Beschleunigung ist eine vektorielle Größe. Es hat sowohl eine Größe als auch eine Richtung. Wie Sie in der Frage sagten, ändert sich die Beschleunigungsrichtung in einer gleichmäßigen Kreisbewegung. Daher ist die Beschleunigung variabel, da eine Vektorgröße als variabel bezeichnet wird, wenn sich entweder ihre Größe oder ihre Richtung ändert.

Die Beschleunigung eines Körpers, der sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit fortbewegt,$v$(konstante Geschwindigkeit wäre klarer) in einem Radiuskreis$r$wird von gegeben

Dies ist ein häufiger Punkt der Verwirrung bei Studenten. Wie andere Antworten angegeben haben, hat die Geschwindigkeit als Vektorgröße Größe und Richtung. Wir wissen, dass die Geschwindigkeit eines Objekts normalerweise eine gerade Linie ist, und die einzige Möglichkeit, die Geschwindigkeit zu ändern, darin besteht, das Objekt zu beschleunigen oder zu verlangsamen (dh wir müssen Kraft anwenden). Um etwas im Kreis laufen zu lassen, müssen wir ständig die Richtung der Kraft ändern, also müssen wir ständig die Richtung der Beschleunigung ändern. Daher ändert sich die Beschleunigung ständig.

Nur weil wir wissen , wie sich etwas verändert, und dass es sich kontinuierlich und gleichmäßig verändert , ändert sich nichts an der Tatsache, dass es sich verändert. Ebenso ist eine Größe, die sich kontinuierlich ändert, per Definition variabel. Somit ändert sich die Beschleunigung eines Teilchens im 2D-Raum kontinuierlich und ist auch variabel, da der Wert der Beschleunigung nicht zu allen Zeitpunkten gleich ist.

Um es aus mathematischer Perspektive zu betrachten, betrachten Sie ein Teilchen mit Position$\mathbf{s}$. Die Geschwindigkeit ist$\mathbf{v} = \dot{\mathbf{s}}$, und die Beschleunigung ist$\mathbf{a} = \dot {\mathbf{v}} = \ddot{\mathbf{s}}$. Bewegt sich das Teilchen im Kreis, dann$\mathbf{s} = (\cos \omega t, \sin \omega t)$, Wo$\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit (Winkeländerungsrate pro Zeiteinheit). Lassen Sie der Einfachheit halber$\omega=1$, So$\mathbf{s} = (\cos t, \sin t)$.

Wenn wir dies komponentenweise nehmen, haben wir$s_x = \cos t$für die$x$Koordinate. Das$\cos$Term kann aus dem Einheitskreis gesehen werden. Also für die$x$-Komponente, die Geschwindigkeit ist$v_x = \frac{d}{dt} s_x = -\sin t$, und die Beschleunigung ist$a_x = \frac{d}{dt} v_x = -\cos t$. Ganz klar, die Beschleunigung in der$x$-Komponente ist nicht konstant, sondern ändert sich mit der Zeit. Ebenso für die$y$-Komponente haben wir$a_y = \frac{d^2}{dt^2} \sin t = -\sin t$, die auch nicht konstant ist.

Also die Beschleunigung für ein Teilchen, das sich mit Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt$\omega = 1$Ist$\mathbf{a} = (-\cos t, -\sin t)$, die wir direkt sehen, ist im Laufe der Zeit nicht konstant, sondern ändert sich kontinuierlich (es ist variabel).

Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit und Geschwindigkeit ist eine Vektorgröße, was bedeutet, dass sie sowohl eine Größe als auch eine Richtung hat.

Es liegt also eine Beschleunigung vor, wenn:

• Die Größe der Geschwindigkeit ändert sich, aber nicht ihre Richtung
• Die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich, aber nicht ihre Größe
• sowohl die Größe als auch die Richtung der Geschwindigkeit werden sich ändern

Im Zusammenhang mit einer gleichförmigen kreisförmigen Bewegung, die bedeutet, dass sich die Größe der Geschwindigkeit (Geschwindigkeit) des Objekts nicht ändert, während sich seine Richtung ändert, wenn es sich entlang einer kreisförmigen Bahn bewegt, beschleunigt das Objekt und die Größe dieser Beschleunigung konstant ist, aber die Richtung der Beschleunigung ändert sich mit einer Rate, die gleich der Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Objekts ist.

Ich denke, Sie verwechseln eine gleichmäßige Kreisbewegung mit einer gleichmäßigen Beschleunigung . Das Buch, von dem Sie sprechen, sagt zu Recht, dass die Beschleunigung variabel ist. Denn obwohl sich die Magnitude nicht ändert, ändert sich die Richtung ständig. Darüber hinaus ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Richtung ändert, konstant (daher die Verwendung des Wortes "einheitlich").

Eine gleichmäßige Kreisbewegung lässt sich gut veranschaulichen, indem man einen Tennisball an einer Schnur mit konstanter Geschwindigkeit im Kreis über den Kopf schwingt. Die Spannung an der Saite beschleunigt den Ball, sodass der Beschleunigungsvektor immer vom Ball zum Mittelpunkt des Kreises zeigt. Die Spannung in der Saite bleibt konstant, sodass die Beschleunigung eine konstante Größe hat, aber wenn sich der Ball und die Saite bewegen, ändert der Beschleunigungsvektor die Richtung. Der Beschleunigungsvektor wird als variabel angesehen, da sich seine Richtung ändert, obwohl seine Größe konstant ist.

Es ist nur variabel, wenn Sie ein festes orthogonales Koordinatensystem verwenden, das am Boden befestigt ist. (Wie andere Antworten erklärt haben). Wenn Sie jedoch ein bewegliches Koordinatensystem wählen, das auf dem beweglichen Objekt fixiert ist, ist die Beschleunigung fixiert. Das heißt, wählen Sie die Achsen Tangential und Radial, und die Beschleunigung ist in radialer Richtung konstant.

Stellen Sie sich ein Objekt vor, das sich um ein Zifferblatt bewegt. Wenn es sich in der 3-Uhr-Position befindet, bewegt es sich nach unten, und wenn es sich in der 9-Uhr-Position befindet, bewegt es sich nach oben.

Wenn diese Bewegung nun eine gleichförmige kreisförmige Bewegung ist, dann ist die Geschwindigkeit (Betrag der Geschwindigkeit) konstant, aber die Geschwindigkeit ändert sich ständig, weil sie, wie Sie sagen, ständig die Richtung ändert.

Betrachten Sie nun die 3-Uhr-Position, wenn sie sich wieder nach unten bewegt. An dieser Stelle wird nach links beschleunigt. Dies führt zu einer Geschwindigkeitsänderung, so dass es sich weniger schnell nach unten und leicht nach links bewegt. Ebenso wird es an der 9-Uhr-Position nach rechts beschleunigt, was dazu führt, dass es sich weniger schnell nach oben bewegt und sich schneller nach rechts bewegt (was es überhaupt nicht tat bis zu diesem Punkt, tatsächlich kurz bevor es die 9-Uhr-Position erreichte, hatte es eine leichte Bewegung nach links).

So wie also die Geschwindigkeit von konstanter Größe (die Geschwindigkeit) aber ständig veränderlicher Richtung ist, so ist auch die Beschleunigung von konstanter Größe aber ständig veränderlicher Richtung (immer im 90°-Winkel zur Bewegung). Da die Beschleunigung ein Vektor ist, genau wie die Geschwindigkeit, wenn Sie die Richtung ändern, haben Sie sie geändert.