Wie hat die Zentripetalbeschleunigung Richtung/Vektor und Größe, während in der Formel v2=v⋅vv2=v⋅vv^2=v\cdot v ein Skalar ist?

Question

Wie hat die Zentripetalbeschleunigung Richtung/Vektor und Größe, während in der Formel v2=v⋅vv2=v⋅vv^2=v\cdot v ein Skalar ist?

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A_{C} = v^{2} / R

$a_c=v^2/r$ 1. Wie hat die Zentripetalbeschleunigung eine Richtung oder einen Vektor, während in der Formel das Punktprodukt zwischen dem Geschwindigkeitsvektor ein Skalar ist (wie in der kinetischen Energie)? Radius ist eine skalare Größe. Was ist die Richtung in der Formel, die die Richtung zum Mittelpunkt des Kreises zeigt?

v^{2} = v \cdot v = S C A l A R

$v^2=v\cdot v=\mathrm{scalar}$

R A D ich u S = R = S C A l A R

$\mathrm{radius}=r=\mathrm{scalar}$ 2. Wenn die Geschwindigkeitsgröße konstant ist und sich nur die Richtung ändert, warum hat die Zentripetalbeschleunigung eine Größe durch Richtungsänderung? Wie verstehen und lesen wir die Formel physikalisch?

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Wie hat die Zentripetalbeschleunigung Richtung/Vektor und Größe, während in der Formel v2=v⋅vv2=v⋅vv^2=v\cdot v ein Skalar ist?

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John Rennie · Answer 1

Zeichnen wir die beteiligten Vektoren:

Wenn wir die Vektoren als ihre ausschreiben $(x,y)$ Komponenten bekommen wir:

\begin{matrix} (1) & R = (R \cos ω T, R Sünde ω T) \end{matrix}

$\mathbf r = (r\cos\omega t, r\sin\omega t) \tag{1}$

Wo $r$ ist der Modul oder $\mathbf r$ Und $\omega$ ist der Modul der Winkelgeschwindigkeit. Die Differenzierung ergibt die Geschwindigkeit:

\begin{matrix} (2) & v = \frac{D R}{D T} = (- R ω Sünde ω T, R ω \cos ω T) \end{matrix}

$\mathbf v = \frac{d\mathbf r}{dt} = (-r\omega\sin\omega t, r\omega\cos\omega t ) \tag{2}$

und erneutes Differenzieren ergibt die Beschleunigung:

\begin{matrix} (3) & A = \frac{D v}{D T} = (- R ω^{2} \cos ω T, - R ω^{2} Sünde ω T) \end{matrix}

$\mathbf a = \frac{d\mathbf v}{dt} = (-r\omega^2\cos\omega t, -r\omega^2\sin\omega t ) \tag{3}$

Und wenn wir die Gleichungen (1) und (3) vergleichen, sehen wir, dass Gleichung (3) vereinfacht werden kann zu:

\begin{matrix} (4) & A = - ω^{2} R \end{matrix}

$\mathbf a = -\omega^2 \mathbf r \tag{4}$

Und da ist Ihre Vektorgleichung für $\mathbf a$ .

Danke @jhon Rennie 1. Ich weiß, dass der Ausdruck, den du erwähnt hast, bedeutet, dass in $a_c=v^2/r$ Wir sagen, die Beschleunigung ist eine skalare Größe. 2. Wie verstehen wir den Wert von $a_c=2m/s^2$ was mit diesem Wert gemeint ist, die Beschleunigungsrichtung ändert sich um diesen Betrag. was mit dieser Richtung der Beschleunigungsänderungen gemeint ist.
@123 die Menge $v^2/r$ ist der Modul von $\mathbf a$ . Die Richtung ist $-\hat{\mathbf r}$ . Der Positionsvektor $\mathbf r$ ist also eine Funktion der Zeit $\mathbf a$ ist auch eine Funktion der Zeit.

Färcher · Answer 2

In Ihrem Ausdruck haben Sie die Beträge der Vektoren verwendet und daher gehen alle Richtungseigenschaften verloren.

In der Tat für eine gleichmäßige Kreisbewegung $\vec a = - \omega ^2 \, \vec r$ Wo $\omega$ ist die Winkelgeschwindigkeit, die eine Größe hat $\omega \,r$ Und $\vec r$ ist der radiale Betragsvektor $r$ .

Aktualisierung als Ergebnis eines Kommentars.

Vielleicht hilft ein visuellerer Ansatz?

Stellen Sie sich ein Objekt vor, das sich in einem Kreis mit Radius bewegt $r$ mit konstanter Geschwindigkeit $v$ .

Das Objekt bewegt sich zwischen zwei Positionen in einer Zeit $\Delta t$ wie im Diagramm unten gezeigt.

In dieser Zeit hat es sich weit bewegt $\Delta s$ entlang des Kreisbogens.

Δ S = R Δ θ \Rightarrow \frac{Δ S}{Δ T} = R \frac{Δ θ}{Δ T} \Rightarrow v = R ω

$\Delta s = r\, \Delta \theta \Rightarrow \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = r\, \dfrac{\Delta \theta} {\Delta t} \Rightarrow v = r\, \omega$ Wo

ω = \frac{Δ θ}{Δ t}

$\omega = \dfrac {\Delta \theta}{\Delta t}$ ist die Winkelgeschwindigkeit.

Betrachten Sie nun das Vektordreieck rechts wo $\vec v_{\rm old} +\vec v_{\rm change}= \vec v_{\rm new}$ mit den Größenordnungen von $\vec v_{\rm old}$ Und $\vec v_{\rm new}$ gleich und gleich der Geschwindigkeit des Objekts ist $v$ .

Die Größe der Geschwindigkeitsänderung

| {\vec{v}}_{C H A N G e} | \approx v Δ θ \Rightarrow \frac{| {\vec{v}}_{C H A N G e} |}{Δ T} \approx v \frac{Δ θ}{Δ T} \Rightarrow A = v ω

$|\vec v_{\rm change}| \approx v\, \Delta \theta \Rightarrow \dfrac{|\vec v_{\rm change}|}{\Delta t} \approx v\, \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t} \Rightarrow a = v \, \omega$ als

Δ t

$\Delta t$ und so

Δ θ

$\Delta \theta$ gegen Null tendieren.

$a$ ist die Größe der Zentripetalbeschleunigung, und obwohl sich die Geschwindigkeit nicht ändert, hat die Beschleunigung (Geschwindigkeitsänderung) eine Größe.

Und schließlich als $\Delta t$ gegen Null tendiert, $\Delta \theta$ gegen Null tendiert, und $\alpha$ neigt dazu $90^\circ$ Die Richtung der Geschwindigkeitsänderung (Beschleunigung) steht also im rechten Winkel zur Anfangsgeschwindigkeit, die entlang einer Tangente zum Mittelpunkt verläuft, zum Mittelpunkt des Kreises.

$\Rightarrow \vec a = - \omega^2 \,\vec r$

Danke für die Antwort @farcher 1. Ich weiß, der von dir erwähnte Ausdruck bedeutet das in $a_c= v^2/r$ Wir sagen, die Beschleunigung ist eine skalare Größe. 2. Wie verstehen wir den Wert von $a_c=2m/s^2$ was mit diesem Wert gemeint ist, die Beschleunigungsrichtung ändert sich um diesen Betrag. was mit dieser Richtung der Beschleunigungsänderungen gemeint ist.
Bitte korrigieren, wenn ich falsch liege. Ich kann sagen, ob das Objekt mitziehen möchte $v=2m/s$ und Radius $r=1m$ dann können wir sagen $a_c=v^2/r=4m/s^2$ erforderlich, um ein Objekt im Kreis mit Richtung zur Mitte zu bewegen. Oder in Bezug auf Kraft mit $m=1kg$ , $\vec F_c=4N$ von der Mitte benötigt, um das Objekt im Kreis zu halten. Was ist, wenn das Objekt auch eine Tangentialbeschleunigung hat? $a_t$ Dann $a_c$ ständig erforderlich, um das Objekt im Kreis zu halten oder zu ändern $a_t$ Und $a_c$ sind unabhängig.

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