Ist die Zentripetalbeschleunigung fast senkrecht zur Geschwindigkeit oder genau senkrecht zur Geschwindigkeit?

Fehlt etwas in meiner Argumentation?

Ja. Sie behandeln die Geschwindigkeit, als ob sie über eine endliche Zeit konstant wäre, und das ist sie nicht. Die Geschwindigkeit variiert über die Zeit und kann nur über eine infinitesimale Zeit als konstant behandelt werden. Aber Infinitesimals funktionieren nicht so, wie Sie geschrieben haben.

Seit$|\vec v|=\sqrt{\vec v^2}=\sqrt{\vec v \cdot \vec v}$wir können schreiben:

$$d|\vec v|=|\vec v + d\vec v|-|\vec v|$$ $$= \sqrt{\left(\vec v + d \vec v \right)^2} - \sqrt{ \vec v^2}$$ die Produkte von Infinitesimalen fallen aus und wir haben $$= \sqrt{\vec v^2 + 2 \vec v \cdot d\vec v} - \sqrt{\vec v^2}$$ Wir können die erste Radikalreihe erweitern, um zu bekommen $$= \sqrt{\vec v^2} + \frac{\vec v \cdot d\vec v}{\sqrt{\vec v^2}} - \sqrt{\vec v^2}$$ $$d|\vec v|=\hat v \cdot d\vec v$$ So,$d|\vec v|$kann Null sein, wenn$d\vec v$steht senkrecht dazu$\vec v$.

Beachten Sie, dass in allen obigen Ableitungen der Vektor$\vec v+ d\vec v$wird aus der standardmäßigen euklidischen Vektoraddition erhalten.$\vec v$ist unendlich verschieden von$\vec v + d\vec v$auf die übliche Weise.

Bearbeiten: Weitere Informationen zur Funktionsweise von Infinitesimals, Differentialen usw. finden Sie unter: https://people.math.wisc.edu/~keisler/foundations.pdf , insbesondere p. 34.

Oben habe ich die Schreibweise leicht missbraucht

$$dy=y(x+dx)-y(x)$$ statt der vollständigeren und korrekteren $$dy=\text{st}\left( \frac{y(x+dx)-y(x)}{dx} \right) dx$$ Teilen durch$dx$, nimmt den Standardteil,$\text{st}$, und multipliziert mit$dx$entfernt die Produkte von Infinitesimalen.

Ich dachte, dass es kein großer Notationsmissbrauch war, da in anderen Kontexten$dx\ne 0$Und$dx^2=0$ist eine definierende Eigenschaft von Infinitesimalen, aber diese grundlegenden Eigenschaften von Infinitesimalen und Differentialen werden möglicherweise nicht von allen Lesern verstanden.

In einem haben Sie Recht: wenn eine konstante Kraft$\vec F$wird mit Geschwindigkeit auf ein Objekt ausgeübt$\vec v$über eine gewisse Zeitspanne$\Delta t$, dann wenn diese Kraft senkrecht zu ist$\vec v$, die Geschwindigkeit$\vert \vec v \vert$nach der Zeit$\Delta t$wird nicht mehr so ​​sein wie vorher.

Da Sie wissen, dass sich bei einer gleichmäßigen Kreisbewegung die Geschwindigkeit nicht ändert, schlagen Sie vor, dass die Kraft zur Rettung der Situation leicht schräg nach hinten gerichtet sein muss. Das kommt der Realität sehr nahe , ist aber auch falsch. Beachten Sie, dass die Zentripetalkraft keine konstante Kraft ist, sondern von der Position des Objekts auf dem Kreis abhängt. Das passiert also:

Zu jedem Zeitpunkt$t$mit der Zeit die Zentripetalkraft$\vec F(t)$steht senkrecht auf der Geschwindigkeit$\vec v(t)$. Zu jedem späteren Zeitpunkt$t+\Delta t$, die Zentripetalkraft$\vec F(t+\Delta t)$immer noch senkrecht zur Geschwindigkeit$\vec v(t+\Delta t)$. Aber$\vec F(t+\Delta t)$steht nicht senkrecht dazu$\vec v(t)$mehr. Stattdessen, wenn$\Delta t$ist dann ausreichend klein$\vec F(t+\Delta t)$zeigt fast senkrecht, aber leicht nach hinten geneigt in Bezug auf$\vec v(t)$, ähnlich wie du vorschlägst.

Die Lösung für Ihr Dilemma besteht also nicht darin, dass die Zentripetalkraft zu einem bestimmten Zeitpunkt in Bezug auf die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt nach hinten geneigt zeigt. Es ist so, dass die Zentripetalkraft in späteren Momenten in Bezug auf Geschwindigkeiten in früheren Momenten nach hinten geneigt zeigt. Aber wenn wir Kraft und Geschwindigkeit im selben Moment vergleichen, stehen sie senkrecht zueinander.

Oder anders gesehen: der Gesamtimpuls oder die durchschnittliche Kraft über die Zeit$\Delta t$zeigen leicht schräg nach hinten. Die Kraft am genauen Beginn des Zeitintervalls$\Delta t$nicht.

Wenn wir schreiben

$$\mathbf v(t+\delta t)=\mathbf v(t)+\mathbf a_c(t)\cdot\delta t$$ Die$\mathbf a_c(t)$steht senkrecht dazu$\mathbf v(t)$, Und$\mathbf a_c(t+\delta t)$steht senkrecht dazu$\mathbf v(t+\delta t)$(usw). Für endlich$\delta t$,$\mathbf a_c(t)$steht nicht senkrecht dazu$\mathbf v(t+\delta t)$, aber das ist kein Problem, da diese zu unterschiedlichen Zeiten existieren.

Um das Problem weiter voranzutreiben, nehmen wir dann die Grenze als$\delta t\to0$, also wird es wirklich keinen Unterschied zwischen diesen verschiedenen Zeitpunkten für infinitesimale Zeitunterschiede geben. Geschwindigkeit und Beschleunigung ändern sich gemeinsam.