Die Änderung der Größe der Zentripetalbeschleunigung

Wie Sie gesagt haben, ist die Zentripetalbeschleunigung gegeben durch:

$$a_c=\frac{v^2}{r}$$ Wo$v$ist die Größe der Geschwindigkeit (technisch gesehen ist es die Größe der Tangentialgeschwindigkeit, aber ich gehe davon aus, dass wir auf einem Radiuskreis bleiben$r$).

Also, wenn die Geschwindigkeit eine Funktion der Zeit ist$v=v(t)$, dann wird die Zentripetalbeschleunigung sein

$$a_c(t)=\frac{v(t)^2}{r}$$

Was bestimmt$v(t)$ist die Tangentialbeschleunigung$a_T$entsprechend

$$v(t)=v(0)+\int_0^t a_T(t')\ \text d t'$$ (Beachten Sie, dass dies daran liegt, dass$a_T=\frac{\text d v}{\text d t}$. Es wird nicht aus den obigen Gleichungen abgeleitet).

Was diese Beschleunigungskomponenten bestimmt, sind natürlich die zentripetalen und tangentialen Komponenten der Nettokraft, aber wenn Sie wissen, was die tangentiale Kraft ist, dann könnten Sie bestimmen, welche zentripetale Kraft erforderlich ist, um das Objekt in einem Radiuskreis zu bewegen$r$unter Verwendung der obigen Gleichungen.

Die Änderungsrate der Beschleunigung wird "Ruck" genannt:

$$\vec j = \frac{d\vec a}{dt} = \frac{d^3\vec x}{dt^3}$$

Ich nehme an, es kann auch in "zentripetaler Ruck" und "tangentialer Ruck" unterteilt werden, obwohl ich diese Begriffe noch nie gehört habe.

Ruck wird sicherlich von Offroad-Rennfahrern erlebt, da sie als Reaktion auf sich ändernde G-Kräfte um ihre 5-Punkt-Rückhaltesysteme herumhüpfen.

Die Ableitung des Rucks heißt jounce.

In Polarkoordinaten ist der Ortsvektor vom Kreismittelpunkt zum Partikel angegeben

$$\mathbf{r}=r\mathbf{i_{r}}(\theta)$$ wobei r der Radius der Kreisbahn ist und$\mathbf{i_{r}}(\theta)$der Einheitsvektor in radialer Richtung im Polarwinkel ist$\theta$.

Die Geschwindigkeit des Teilchens ist die zeitliche Ableitung des Ortsvektors und somit gegeben durch:

$$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=r\frac{d\mathbf{i_{r}}(\theta)}{dt}=r\frac{d\mathbf{i_{r}}(\theta)}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=r\frac{d\theta}{dt}\mathbf{i_{\theta}}(\theta)$$ Wo$\mathbf{i_{\theta}}(\theta)$ist der Einheitsvektor in der$\theta$Richtung im Polarwinkel$\theta$.

Die Beschleunigung des Teilchens ist die zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsvektors und somit gegeben durch:

$$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=r\frac{d^2\theta}{dt^2}\mathbf{i_{\theta}}(\theta)+r\frac{d\theta}{dt}\frac{d\mathbf{i_{\theta}}(\theta)}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=r\frac{d^2\theta}{dt^2}\mathbf{i_{\theta}}(\theta)-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\mathbf{i_{r}}(\theta)$$ Die Tangentialkomponente der Beschleunigung ist also$r\frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac{dv}{dt}$und die zentripetale Beschleunigungskomponente ist$r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=r\omega^2=\frac{v^2}{r}$, Wo$\omega$die momentane Winkelgeschwindigkeit und v die Größe der momentanen Tangentialgeschwindigkeit ist.

Die Änderung der Größe der Zentripetalbeschleunigung

Ihre Frage lautet: Ich möchte herausfinden, wie sich die Zentripetalbeschleunigung im Laufe der Zeit ändert, wenn sich die Tangentialgeschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert

Zuerst werde ich die Bewegungsgleichungen für diesen Fall berechnen

$$\begin{align*} &\text{The components of the position vector in polar coordinate are:}\\\\ &\vec{R}= \begin{bmatrix} r(t)\cos(\varphi(t)) \\ r(t)\sin(\varphi(t)) \\ \end{bmatrix}&(1)\\ &\text{because the velocity changes over time, the kreis radius $r$ change over time}\\\\ & \Rightarrow\\ &\vec{\dot{R}}= \begin{bmatrix} \dot{r}\cos(\varphi)-r\sin(\varphi)\dot{\varphi}) \\ \dot{r}\sin(\varphi)+r\cos(\varphi)\dot{\varphi}) \\ \end{bmatrix}&(2)\\\\ &\text{so the kinetic $T$ energy is:}\\ &T=\frac{1}{2}\,m\,\dot{R}^2=\frac{1}{2}\,m\left(\dot{r}^2+r^2\,\dot{\varphi}^2\right)\\ &\text{with euler lagrange approach we get the equations of motion :} \\\\ &\ddot{r}=\dot{\varphi}^2\,r&(3)\\ &\ddot{\varphi}=-2\,\frac{\dot{\varphi}\,\dot{r}}{r}&(4) \end{align*}$$

Die Lösungen der EoM's mit den Anfangsbedingungen

$\varphi(t=0)=0\,,\dot{\varphi}(t=0)=\omega$Und

$r(t=0)=r_0\,,\dot{r}(t=0)=0$Sind:

Die Lösungen der EoM's mit den Anfangsbedingungen \$\varphi(t=0)=0\,,\dot{\varphi}(t=0)=\omega$Und$r(t=0)=r_0\,,\dot{r}(t=0)=0$Sind:

$$\begin{align*} &r(t)=r_{{0}}\sqrt {\omega}{\frac {1}{\sqrt {{\frac {\omega}{1+{\omega}^{2}{ t}^{2}}}}}} \\ &\varphi(t)=\arctan \left( \omega\,t \right) \\\\ &\Rightarrow\\ &\text{The centrifugal force:}\\ &F_z(t)=r\,\dot{\varphi}^2={\omega}^{5/2}r_{{0}} \left( 1+{\omega}^{2}{t}^{2} \right) ^{-2}{ \frac {1}{\sqrt {{\frac {\omega}{1+{\omega}^{2}{t}^{2}}}}}}\\ &\text{for $t=0$ we get $F_{z0}=r_0\,\omega^2$}\\ &\Rightarrow\\ &\text{Change of the Zentrifugal force over time:}\\\\ &\boxed{\Delta F_z=F_z(t)-F_{z0}} \end{align*}$$