Summe der Beschleunigungsvektoren

Es macht keinen Sinn, dass ein Massenpunkt 2 Beschleunigungen hat. Was Sie möglicherweise getan haben, ist, Beschleunigungen aufgrund von 2 Kräften separat zu finden. Sie können sie als wann hinzufügen$m= \text{constant}$,

$\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=m(\vec{a_1}+\vec{a_2})$

Wenn Sie Vektorsymbole verwenden, kümmert es sich automatisch um deren Richtungen.

Das liegt am Superpositionsprinzip: Wirken mehrere Kräfte auf einen Körper, so ist die Nettokraft die Summe der Einzelkräfte:

$$\vec F_{net} = \sum \vec F_i$$ Dies gilt jedoch nur, wenn der Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung linear ist .

Nehmen wir als Beispiel die Gravitationskraft: Angenommen, Sie haben drei Körper und Sie haben bereits gerechnet$\vec a_1$Und$\vec a_2$- die vom dritten Körper gefühlten Beschleunigungen aufgrund der anderen beiden. Dann wäre die Kraft auf der dritten

$$m \vec a =\vec F_1 + \vec F_2= m \vec a_1 + m \vec a_2 = m(\vec a_1 + \vec a_2)=m\vec a_{1+2} = \vec F_{net}$$ da die Kraft linear ist $\vec a$. Hier $\vec a_{1+2}$- die Gesamtbeschleunigung - ist wirklich $\vec a_1 + \vec a_2$.

Gegenbeispiel: Wenn Sie eine Umgebung hätten, in der die Beschleunigung proportional zum Quadrat der Kraft ist , dann wäre das Superpositionsprinzip nicht wahr. Nehmen wir an, dass dieser quadratische Zusammenhang für die Gravitationskraft der Fall wäre, dann wäre die Kraft auf den dritten Körper (ich betrachte hier nur die x-Komponente):

$$\begin{align} m a_x & = (F_{net})^2\\ &=( F_{1x} + F_{2x})^2\\ &=(m a_{1x} + m a_{2x})^2\\ & = (m a_{1x})^2+2m^2 a_{1x} a_{2x}+(m a_{2x} )^2\\ &=( F_{1x})^2+ (F_{2x})^2 + 2m^2 a_{1x} a_{2x}\\ \end{align}$$

Die Linearität ist nicht gegeben ($(a+b)^2\neq (a^2+b^2)$) und damit das Superpositionsprinzip nicht gültig. Sie können dies sehen, indem Sie sich die ansehen$2m^2 a_{1x}...$Begriff: Das Überlagerungsprinzip besagt im Prinzip nur, dass die Summe der Kräfte die gleiche Wirkung hat wie die Kombination der Einzelkräfte. Obwohl hier die quadrierte Summe den Effekt der kombinierten quadrierten Kräfte plus einem weiteren Term hat.

Das wiederum bedeutet, dass in diesem Fall die Gesamtbeschleunigung, die Sie auf der rechten Seite erhalten, nicht gerecht ist$\vec a_1 + \vec a_2$.

Während die anderen Antworten alle völlig richtig sind, möchte ich nur eine vereinfachte Antwort schreiben.

Es ist ähnlich wie bei Entfernungen. Wenn Sie 1 Meter nach Norden und 1 Meter nach Osten gehen, können Sie die beiden Entfernungsvektoren addieren und erhalten$\sqrt2$m Nord-Ost:

$$\vec{d}_1=1m[N]=(1,0),~~\vec d_2=1m[E]=(0,1)$$ $$\vec d=\vec d_1+\vec d_2=(1,1)=1m[N]+1m[E]=\sqrt2m[NE]$$

Das Hinzufügen von Beschleunigungsvektoren funktioniert genauso wie das Hinzufügen von Abstandsvektoren. Sie addieren die entsprechenden Komponenten (x mit x, y mit y usw., welche Koordinaten Sie auch immer verwenden) und die Größe und Richtung errechnen sich von selbst.

Der Ausdruck „Gesamtbeschleunigung“ passt nicht, wenn die Beschleunigungen unterschiedliche Richtungen haben. Die Vektorresultierende ist tatsächlich die "Nettobeschleunigung" oder die kombinierte Wirkung dieser beiden Beschleunigungen oder äquivalent Kräfte. Die Vektorresultierende sorgt dafür, dass nur die effektiven Komponenten addiert werden und sich die gegensätzlichen Effekte aufheben.

Vielleicht hilft ein Beispiel. Betrachten Sie das folgende System, bei dem auf eine Masse m zwei Beschleunigungen einwirken.

Die Vektorresultierende sorgt dafür, dass die$a\sin \theta$Komponenten werden abgebrochen und die$a\cos \theta$Komponenten werden addiert. Die Resultierende gibt die physikalisch wahrgenommene Ansicht der Bewegung des Objekts wieder. Eine einfachere Antwort wäre, dass die Beschleunigung eine physikalische Größe mit einer Richtung (dh einem Vektor) ist, und wenn Sie zwei Beschleunigungen kombinieren möchten, berechnen Sie ihre Vektorresultierende.