Zweifel an der Nettobeschleunigung während einer ungleichförmigen Kreisbewegung

Stellen Sie sich ein Auto vor, das auf einer Kreisbahn fährt. In einem Moment, in dem es Geschwindigkeit hat$v$es hat eine Beschleunigung von Größenordnung$\frac{v^2}{r}$in Richtung Kreismittelpunkt. Das Auto gewinnt an Geschwindigkeit in Richtung Kreismittelpunkt. Aber nehmen Sie an, dass der Fahrer in diesem Moment das Auto schneller fahren lässt. Das Auto wird auch in einer Richtung tangential zum Kreis an Geschwindigkeit gewinnen. Das beeinträchtigt seine Geschwindigkeitszunahme zum Kreismittelpunkt hin nicht.

Kräftemäßig betrachtet, übt die Straße eine Reibungskraft auf die angetriebenen Räder des Autos aus, die sowohl eine Vorwärtskomponente hat, die dem Auto seine Geschwindigkeit erhöht, als auch eine Seitwärtskomponente in Richtung der Kreismitte, die es dem Auto ermöglicht mit Tempo gehen$v$in einem Radiuskreis$r$.

Betrachten wir einen Positionsvektor in allgemeinen Polarkoordinaten

$$\vec r(t)=r(t)\pmatrix{\cos\theta(t)\\\sin\theta(t)}$$ Jetzt definieren $$\begin{align} \hat r&=\pmatrix{\cos\theta\\\sin\theta}\\ \hat \theta&=\pmatrix{-\sin\theta\\\cos\theta} \end{align}$$ um unser Leben einfacher zu machen. Ich habe die Zeitabhängigkeit fallen gelassen, aber erinnere mich, dass sie immer noch da ist. Sie können das überprüfen $$\begin{align}\dot{\hat r}&=\hat\theta \dot\theta\\\dot{\hat \theta}&=-\hat r \dot\theta\end{align}$$ wobei ein Punkt eine Zeitableitung anzeigt. Eine allgemeine Beschleunigung wird dann $$\begin{align}\ddot{\vec r}(t)=&\hat r(\ddot r-r\dot\theta^2)+\\&\hat\theta(r\ddot\theta+2\dot r\dot \theta).\end{align}$$ Auch dies ist eine schöne Übung zum Beweis. Bei Kreisbewegungen ist der Radius also konstant$\dot r=0$. Was von der allgemeinen Beschleunigung übrig bleibt, ist $$\begin{align}\ddot{\vec r}(t)=&\hat r(-r\dot\theta^2)+\\&\hat\theta(r\ddot\theta).\end{align}$$ Der$-r\dot\theta^2$Term ist die übliche Zentripetalbeschleunigung, die zum Zentrum zeigt. Sie könnten es erkennen, wenn Sie es anschließen$\dot\theta=\frac v r$.

Der$r\ddot\theta$Begriff ist neu. Es zeigt entlang der Bahn des Teilchens und zusammen mit der$-r\dot\theta^2$Laufzeit sorgt es dafür, dass der Radius konstant bleibt. Beachten Sie, dass wenn$\dot\theta$=konstant fällt dieser Term weg und wir haben eine regelmäßige alte gleichförmige Kreisbewegung.

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BEARBEITEN Ich werde eine etwas leichter lesbare Erklärung geben.

Bei einer Kreisbewegung ist die Geschwindigkeit eines Teilchens mit seinem Radius immer 90 Grad. Wie auf diesem Bild

Wenn die Geschwindigkeit dasselbe sagt, haben wir eine gleichmäßige kreisförmige Bewegung. In diesem Fall liegt der Beschleunigungspunkt direkt in der Mitte. Wir können die Beschleunigung in zwei Komponenten zerlegen: eine, die zum Zentrum zeigt, die als "Zentripetalbeschleunigung" bezeichnet wird, oder$a_c$und eine, die entlang der Geschwindigkeit des Teilchens zeigt, die als "Tangentialbeschleunigung" oder "Tangentialbeschleunigung" bezeichnet wird$a_t$.

In gleichmäßiger Kreisbewegung haben wir$a_t=0$da die Beschleunigung nur zur Mitte hin erfolgt. Auch die Hundertstelbeschleunigung ist gegeben durch$a_c=\frac{v^2}r$.

Wenn wir in tangentialer Richtung beschleunigen, erhöht sich die Geschwindigkeit des Teilchens. In diesem Fall muss die Zentripetalbeschleunigung zum Ausgleich ansteigen, weil$a_c=\frac{v^2}r$Und$r$ist konstant. Es ist einfacher zu sehen, wenn Sie es als schreiben$r=\frac{v^2}{a_c}$. Wenn wir die Geschwindigkeit dann doppelt so groß machen$a_c$muss 4 mal so groß werden.

Um es kurz zu machen, es ist möglich, in tangentialer Richtung zu beschleunigen, aber dazu müssen Sie die Zentripetalbeschleunigung präzise erhöhen, um den gleichen Radius beizubehalten. Ebenso müssen wir abnehmen$a_c$wenn wir in tangentialer Richtung abbremsen.

Während einer ungleichförmigen Kreisbewegung ist die Richtung der Nettobeschleunigung nicht in Richtung der Zentripetalbeschleunigung. Warum bewegt sich ein Teilchen dann immer noch auf einer Kreisbahn, bitte erklären Sie es.

Angenommen, Sie meinen mit "nicht gleichmäßiger Kreisbewegung" eine Geschwindigkeitsänderung des sich im Kreis bewegenden Teilchens, dann liegt dies daran, dass die Zentripetalbeschleunigung nur von der Größe der Tangentialgeschwindigkeit (der Geschwindigkeit des Teilchens) abhängt, nicht von der Geschwindigkeit der Änderung der Geschwindigkeit des Teilchens oder der Änderung der Tangentialgeschwindigkeit (Tangentialbeschleunigung). Folgende Erklärung wird angeboten:

Bei Kreisbewegungen gibt es zwei mögliche Beschleunigungen: zentripetal und tangential.

Zentripetalbeschleunigung,$a_c$, ist die Beschleunigung zum Mittelpunkt der Kreisbahn. Es ist immer vorhanden und hält das Teilchen in Kreisbewegung. Es ist auf eine Zentripetalkraft zurückzuführen. Beim Auto ist die Zentripetalkraft die Haftreibungskraft zwischen Reifen und Fahrbahn und auf die Mitte der Kreisbahn gerichtet. Die Zentripetalbeschleunigung hängt von der Größe der Tangentialgeschwindigkeit ab$v_t$(die Geschwindigkeit des Autos oder seine Winkelgeschwindigkeit, ω, in rad/s) und der Radius$r$der Kreisbewegung gem.

$$a_{c}=\frac{v^{2}_t}{r}=rω^2$$

Die Tangentialbeschleunigung$a_t$ergibt sich aus der Änderung der Größe der Tangentialgeschwindigkeit. Ein Objekt kann sich auf einem Kreis bewegen und keine Tangentialbeschleunigung haben, nur weil die Winkelbeschleunigung$α$(rad/sek$^2$) ist Null, weil sich das Objekt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω ($\Delta ω =0$). Bei einem Auto in Kreisfahrt ist dies die Beschleunigung durch Bremsen oder Erhöhen der Geschwindigkeit des Autos aufgrund der Haftreibungskraft zwischen den Reifen und der Straße in tangentialer Richtung.

$$a_{t}=rα=\frac{\Delta ω}{\Delta t}$$

Hoffe das hilft.