Ist die Zentripetalbeschleunigung für Kreisbewegungen zwingend erforderlich?

Teilchen A unterliegt der Zentripetalkraft$F=m\omega r^2$genauso wie Partikel B. In beiden Fällen liefert die Wand die Reaktionskraft, um beide Partikel in einer gleichmäßigen Kreisbewegung zu halten.

Ohne Zentripetalkraft gibt es keine Kreisbewegung.

Lassen Sie mich versuchen, ein fehlendes intuitives Stück in der Erklärung zur Diskussion zu @Gerts Antwort hinzuzufügen, warum es für jede Kreisbewegung immer eine Radialbeschleunigung geben muss.

Denken Sie daran, was Beschleunigung ist: Geschwindigkeitsänderung .$\vec a=d\vec v/dt$. Mathematischer ist es eine Änderung des Geschwindigkeitsvektors .

Wenn die Geschwindigkeit geändert wird – entweder Magnet oder Richtung – dann definieren wir diese Änderungsrate als Beschleunigung .

• Wenn die Geschwindigkeitsmagnetisierung geändert wird, zeigt die Beschleunigung in die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit (und sie wird schneller oder langsamer). Wir nennen dies Tangentialbeschleunigung .
• Wenn die Geschwindigkeitsrichtung geändert wird, dann zeigt die Beschleunigung zur Seite und nicht parallel zur Geschwindigkeitsrichtung. Wenn sie genau senkrecht zur Richtung steht, nennen wir sie Radialbeschleunigung .

Stellen Sie sich nun vor, was passiert, wenn ein Objekt keine tangentiale und nur radiale Beschleunigung hat. Dann behält es seine Größe bei (damit sich die Geschwindigkeit nicht ändert) und ändert nur die Richtung. Wenn man genauer darüber nachdenkt, sollte klar sein, dass eine solche Situation eine kreisförmige Bewegung ist . Wenn es sowohl tangentiale als auch radiale Beschleunigung gibt, dann haben wir eine elliptische Bewegung .

Natürlich muss für jeden nicht geraden Pfad eine Änderung der Geschwindigkeitsrichtung erfolgen. Und wir nennen eine solche Änderung Beschleunigung - für eine kreisförmige Bewegung ist diese Beschleunigung senkrecht und zum Mittelpunkt der Kreisbahn gerichtet.

Alle Kräfte, die auf ein Teilchen in einer kreisförmigen Bewegung wirken, müssen daher zu einer solchen Seitwärtsbeschleunigung führen. Wenn dies nicht der Fall ist, kann die Bewegung aufgrund der obigen Erklärung nicht kreisförmig sein.

Gegeben sei ein Teilchen, das sich gleichmäßig auf einer Kreisbahn bewegt$\vec r(t)$, ohne Beschränkung der Allgemeinheit, können wir die Bewegung parametrisieren als:

$$r(t) = R \big( \vec e_x \cos(\omega t) + \vec e_y \sin(\omega t) \big),$$ Wo $\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit der Bewegung.

Unter Verwendung des Newtonschen Axioms$\vec F = m \vec a$Wir können die Kraft berechnen, die erforderlich ist, damit sich das Teilchen auf diesem Weg bewegt (ohne auch nur zu berücksichtigen, was diese Kraft verursachen könnte):

$$\vec F(t) = m \partial_t^2 r(t) = - mR\omega^2 \big(\vec e_x \cos(\omega t) + \vec e_y \sin(\omega t) \big).$$ Wie man leicht erkennen kann, ist diese Kraft auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet und hat eine Größe $m R \omega^2 = \frac{mv^2}{R}$. Dies beweist, dass ganz allgemein, damit sich ein Objekt gleichmäßig auf einer Kreisbahn bewegt, eine Zentripetalkraft vorhanden sein muss.

Wir können dieses Argument sogar weiter auf einen allgemeinen Pfad verallgemeinern$\vec r(t)$. Die Kraft wird weiterhin gegeben$\vec F(t) = m \ddot{\vec r}(t)$. Verwendung einer zeitabhängigen Basis des Formulars$\vec e_t = \frac{\dot{\vec r}}{\left|\dot{\vec r}\right|}$,$\vec e_n = \frac{\ddot{\vec r} - (\ddot{\vec r} \cdot \vec e_t) \vec e_t}{\left|\ddot{\vec r} - (\ddot{\vec r} \cdot \vec e_t) \vec e_t\right|}$Und$\vec e_b = \vec e_t \times \vec e_n$(die tangentialen, normalen und binormalen Vektoren) können wir schreiben:

$$\vec F = \vec e_t F_t + \vec e_n F_n.$$ (Kein Begriff mit $\vec e_b$erscheint als $\vec F \propto \ddot{\vec r}$Und $\ddot{\vec r} \in \text{span}\{\vec e_t, \vec e_n \}$Durch den Bau).

Vorschlag $m\partial_t v = F_t$Und$F_n = \frac{mv^2}{R}$(Notation:$\vec v = \dot{\vec r}$Und$v = \left| \vec v \right|$wie gewöhnlich,$R$ist der Krümmungsradius, der unabhängig von ist$v$).

Beweis: Durch direkte Rechnung und Verwendung der obigen Definitionen erhält man leicht:

$$m\partial_t \left| \dot{\vec r} \right| = m\partial_t \sqrt{\dot{\vec r} \cdot \dot{\vec r}} = m\frac{\ddot{\vec r} \cdot \dot{\vec r}}{\sqrt{\dot{\vec r} \cdot \dot{\vec r}}} = \vec F \cdot \vec e_t = F_t.$$ Zuerst vereinfachen wir den Begriff für $\vec e_n$Verwendung der Identität $\vec a \times (\vec b \times \vec c) = \vec b (\vec a \cdot \vec c) - \vec c (\vec a \cdot \vec b)$: $$\vec e_n = \frac{\ddot{\vec r} - (\ddot{\vec r} \cdot \vec e_t) \vec e_t}{\left|\ddot{\vec r} - (\ddot{\vec r} \cdot \vec e_t) \vec e_t\right|} = \frac{\ddot{\vec r} - \ddot{\vec r} (\vec e_t \cdot \vec e_t) + \vec e_t \times (\ddot{\vec r} \times \vec e_t)}{\left| \cdots \right|} = \frac{\vec e_t \times (\ddot{\vec r} \times \vec e_t)}{\left|\ddot{\vec r} \times \vec e_t\right|}$$ (Notiz: $\left|\vec e_t \times (\vec e_t \times \ddot{\vec r})\right| = \left|\vec e_t \times \ddot{\vec r}\right|$Weil $\vec e_t \perp \vec e_t \times \ddot{\vec r}$Und $\left|\vec e_t\right| = 1$). Damit kommen wir zu (mit $\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)$im zweiten Schritt): $$\begin{align*} F_n &= m \ddot{\vec r} \cdot \frac{\vec e_t \times (\ddot{\vec r} \times \vec e_t)}{\left|\ddot{\vec r} \times \vec e_t\right|} = m \frac{(\ddot{\vec r} \times \vec e_t)^2}{\left|\ddot{\vec r} \times \vec e_t\right|} = mv^2 \left|\frac{\ddot{\vec r} \times \vec e_t}{v^2}\right| = mv^2 \left|\frac{\ddot{\vec r} \times \dot{\vec r}}{v^3}\right|. \end{align*}$$ Aus diesen Begriffen identifizieren wir den Krümmungsradius $R$als: $$R = \frac{v^3}{\left|\dot{\vec r} \times \ddot{\vec r}\right|}.$$ Der Beweis dafür $R$ist bei Parameteränderungen konstant $\vec r'(t) = (\vec r \circ f)(t)$(mit einer beliebigen Funktion $f$, also unabhängig von der Geschwindigkeit und nur abhängig von der Kurve, die der Weg beschreibt, formal bedeutet diese Unabhängigkeit $R'(t) = R\big(f(t)\big)$) bleibt dem Leser als Übung überlassen. qed

Zusammenfassend bedeutet dies, dass wir für jede Bewegung entlang einer Bahn zu jedem Zeitpunkt die Bewegung als beschleunigte Kreisbewegung entlang des Schmiegkreises der Bahn betrachten können und nur die Tangentialkräfte die Geschwindigkeit ändern, während Normalkräfte nur als Zentripetalkraft wirken die Richtung der Geschwindigkeit ändern. Für die Bewegung entlang eines beliebigen Pfades erhalten wir also, dass wir, wenn die Bewegung nicht linear ist, eine Zentripetalkraft haben, deren Parameter sich auf den Schmiegkreis beziehen.

Randbemerkung: Die Analyse der Geometrie des Pfades ist eng mit den ersten Schritten in die Frenet-Theorie der Differentialgeometrie von Kurven verbunden.