Ist die Flugbahn bei einer Kreisbewegung ein resultierender Pfad aus der gegebenen Geschwindigkeit und der Geschwindigkeit aufgrund der Zentripetalbeschleunigung?

Zunächst scheint es, als ob Sie an eine gleichmäßige Kreisbewegung denken, da Sie auf die Zentripetalbeschleunigung fixiert sind und nichts über die Tangentialbeschleunigung erwähnen. Nehmen wir daher vorerst an, wir sprechen nur von einer gleichförmigen Kreisbewegung.

Damit eine kreisförmige Bewegung stattfinden kann, benötigen wir eine Zentripetalkraft oder Beschleunigung, dh eine Kraft, die zu jedem Zeitpunkt senkrecht zur Bewegungsrichtung steht. Ohne eine senkrechte Kraftkomponente tritt also keine Kreisbewegung auf.

Bedeutet die obige Aussage, dass die Kreisbahn eine resultierende Bahn aus der gegebenen Geschwindigkeit und der Geschwindigkeit aufgrund der Zentripetalbeschleunigung ist?

Wenn Sie mit "Geschwindigkeit aufgrund der Zentripetalbeschleunigung" meinen$\text d\mathbf v=\mathbf a\,\text dt$, dann ja; Dies wendet nur die Definition der Beschleunigung an$\mathbf a=\text d\mathbf v/\text dt$zur Geschwindigkeit:

$$\mathbf v(t+\text dt)=\mathbf v(t)+\mathbf a\,\text dt$$

Dies gilt für alle Bewegungen, nicht nur für Kreisbewegungen.

Warum gewinnt das Teilchen in zentripetaler Richtung keine Geschwindigkeit, obwohl es in dieser Richtung eine gewisse Beschleunigung hat? Ein horizontal projizierter Körper gewinnt in Richtung von mg an Geschwindigkeit, also sollte ein Körper in einer kreisförmigen Bewegung auch in zentripetaler Richtung an Geschwindigkeit gewinnen.

Etwas, an das man sich erinnern sollte, ist, dass sich die zentripetale Richtung ändert, wenn sich das Teilchen um den Kreis bewegt. Das Teilchen gewinnt zwar an Geschwindigkeit in zentripetaler Richtung, aber da die Geschwindigkeit im Moment zuvor entlang einer kreisförmigen Bahn war, ist diese Komponente, sobald das Objekt diese Geschwindigkeitskomponente aufnimmt, nicht mehr vollständig zentripetal. Die Geschwindigkeit ändert sich, um stärker auf den Beschleunigungsvektor "ausgerichtet" zu sein, aber da der Beschleunigungsvektor immer die Richtung ändert, versucht der Geschwindigkeitsvektor ständig, sich an verschiedenen Richtungen auszurichten, und so erhalten wir die von Ihnen beschriebene kreisförmige Bewegung.

Dies unterscheidet sich von dem von Ihnen angegebenen Projektilfall, bei dem die vertikale Richtung eine konstante Richtung ist.

Ich füge ein Bild hinzu, um zu zeigen, was ich über Kreisbewegungen denke. Stellen Sie sich das Bild als vergrößertes Bild aus sehr geringem Abstand vor.

Hier$v′$zeigt die Geschwindigkeit aufgrund der Zentripetalbeschleunigung und der Punkt in der Mitte zeigt die Ursache der Zentripetalbeschleunigung und gepunktete Linien stellen den Weg dar, den sie ohne Kraft genommen hätte.

Es gibt zwei Probleme mit Ihrem Diagramm:

1) Es sieht so aus, als wäre Ihre Zentripetalbeschleunigung zu groß

2) Es sieht aus wie deins$\Delta t$ist zu groß

Damit eine Kreisbewegung zustande kommt, muss die Zentripetalbeschleunigung genau gleich sein$v^2/r$. Es reicht nicht aus, dass die Beschleunigung zu allen Zeitpunkten nur eine Komponente senkrecht zur Geschwindigkeit hat. Aus deinem Diagramm geht das hervor$v'=a\text dt$es ist zu groß.

Um dies näher zu untersuchen, lösen wir die Differentialgleichungen numerisch mit einer Zentripetalbeschleunigung, die größer als erforderlich ist. Für ebene Bewegung in Polarkoordinaten haben wir normalerweise die Differentialgleichungen

$$a_r=\ddot r-r\dot\theta^2$$ $$a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta$$

Da wir keine Tangentialkräfte annehmen, legen wir fest$a_\theta=0$. Nun, wenn wir richtig gemacht haben$a_r=-r\dot\theta^2$, dann würden wir mit übrig bleiben$\ddot r=0$, was uns unsere gleichmäßige kreisförmige Bewegung für geben würde$\dot r(t=0)=0$. Lassen Sie uns jedoch eine Zentripetalbeschleunigung auferlegen, die nur ein wenig größer ist (immer noch abhängig von der Geschwindigkeit).$a_c=-1.1r\dot\theta^2$, also haben wir die Differentialgleichung$\ddot r+0.1\cdot r\dot\theta^2=0$.

Lösen des Differentialgleichungssystems

$$\ddot r+0.1\,r\dot\theta^2=0$$ $$r\ddot\theta+2\,\dot r\dot\theta=0$$ mit Anfangsbedingungen (fallende Einheiten)$r(0)=1$,$\dot r(0)=0$,$\theta(0)=0$,$\dot\theta(0)=1$, erhalten wir die Flugbahn

Und wir sehen, dass wir eine Spirale nach innen bekommen

Ebenso z$a_c=-.9\,r\dot\theta^2$, erhalten wir eine Trajektorie, die vom Ursprung wegführt

Das ist natürlich nicht genau wie in Ihrem Diagramm, da jetzt die Beschleunigung nicht genau senkrecht zur Geschwindigkeit steht, aber wenn wir eine spiralförmige Bahn hätten, bei der die Beschleunigung immer senkrecht zur Geschwindigkeit wäre, müssten wir die Annahme einer Nicht- tangentiale Beschleunigung.

Dies bezieht sich jedoch auf das zweite Problem in Ihrem Diagramm. Sie wenden nur zu bestimmten Zeiten eine senkrechte Beschleunigung an, sondern über die gesamte Trajektorie. Jetzt weiß ich, dass wir die Geschwindigkeitsänderung immer annähern können als$\mathbf v(t+\Delta t)\approx\mathbf v(t)+a\Delta t$, aber falls$\Delta t$zu groß ist, erhalten Sie nicht die richtige Flugbahn.

Ihre Aussage: "Ein horizontal projizierter Körper gewinnt an Geschwindigkeit in Richtung von$mg$" ist richtig. Und die Richtung der gewonnenen Geschwindigkeit ist immer nach unten, da wir angenommen haben, dass die Schwerkraft für Geschosse mit kurzer Reichweite in eine Richtung wirkt (normalerweise$-\hat j$). Bei Kreisbewegungen ist dies nun nicht der Fall, da hier die Richtung der Zentripetalbeschleunigung nicht festgelegt ist.

Beschleunigung ist auch etwas, das die Geschwindigkeit ändert. Es bedeutet nicht nur die Größe, sondern auch die Richtung, da die Geschwindigkeit eine Vektorgröße ist. Bei einer Kreisbewegung ist die Zentripetalbeschleunigung immer senkrecht zur Geschwindigkeit des Teilchens, dh keine Komponente der Zentripetalbeschleunigung verläuft entlang der Geschwindigkeit. Die Zentripetalbeschleunigung ist also nur dafür verantwortlich, dass sich die Bewegungsrichtung (Geschwindigkeit) des Körpers in Richtung der Zentripetalbeschleunigung ändert.

Da aber die Richtung der Zentripetalbeschleunigung nicht festgelegt ist, ist auch die Geschwindigkeitsrichtung des Teilchens nicht festgelegt.

Bedeutet die obige Aussage, dass die Kreisbahn eine resultierende Bahn aus der gegebenen Geschwindigkeit und der Geschwindigkeit aufgrund der Zentripetalbeschleunigung ist?

Ja.

1: Wenn ja, warum ist dieser resultierende Pfad dann immer näher an der Richtung der gegebenen Geschwindigkeit und nicht an der zentripetalen Beschleunigung, die dem Körper Geschwindigkeit in zentripetaler Richtung verleiht?

Denn die durch die Zentripetalbeschleunigung verursachte senkrechte Geschwindigkeitskomponente ist winzig, winzig, winzig. Tatsächlich ist es vernachlässigbar klein und vernachlässigbar kurzlebig. Es hat die Größe des mathematischen Ideals, das sich nur dreht, ohne dass es zu einer Größenänderung kommt.

2 : Wenn nicht, warum gewinnt das Teilchen dann in zentripetaler Richtung keine Geschwindigkeit, obwohl es in dieser Richtung eine gewisse Beschleunigung hat? Ein horizontal projizierter Körper gewinnt in Richtung von mg an Geschwindigkeit, also sollte ein Körper in Kreisbewegung auch in zentripetaler Richtung an Geschwindigkeit gewinnen.

Die Antwort ist wieder: weil diese neue Geschwindigkeitskomponente winzig, winzig, winzig ist. So winzig und kurzlebig, dass sich diese Komponente bei der geringsten Änderung, die eine Drehung verursacht, wegdreht, um die Größe nicht zu ändern.

Diese Antwort besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil erledigt die Beinarbeit der Einführung der komplexen Zahlenmethode zur Analyse planarer Kreisbewegungen und der zweite zeigt, wie sie verwendet werden kann, um einfache Antworten auf alle Ihre Fragen zu geben.

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Die Einrichtung:

Die transparenteste und einfachste Erklärung kann mit komplexen Zahlen erfolgen. Betrachten Sie die folgende Funktion:

$$z(t) = r(t) e^{ i \theta(t)}$$

Dies sollte eine selbsterklärende Formel sein, wenn Sie die Polarform komplexer Zahlen gemacht haben. Betrachten Sie einfach die Polarform, wobei sich Größe und Winkel als einige Funktionen der Zeit ändern. Um die Beschleunigung des Körpers zu finden, müssen wir diese Positionsfunktion zweimal differenzieren.

$$v(t) = \frac{d}{dt} \big( r e^{ i \theta } \big) = \bigg[ \dot{r} e^{i \theta} +i r \dot{\theta} e^{i \theta } \bigg]$$

Und noch einmal differenzieren,

$$a(t) = \ddot{r}e^{i \theta } + i \dot{r} \dot{\theta} e^{ i \theta } + i [\dot{r} \dot{\theta}e^{i \theta } + r \ddot{\theta} e^{i \theta} +i r \dot{\theta}^2e^{ i \theta} ]= \ddot{r}e^{i \theta} - r \dot{\theta}^2e^{i \theta} +i [2 \dot{r} \dot{\theta}e^{i \theta } + r \ddot{\theta} e^{i \theta} ]$$

Oder,

$$a(t)= \ddot{r}e^{i \theta} - r \dot{\theta}^2e^{i \theta} +i [2 \dot{r} \dot{\theta}e^{i \theta } + r \ddot{\theta} e^{i \theta} ]$$

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Jetzt, mit der allgemeinsten Gleichung in der Hand, können wir Ihre Fragen beantworten:

1. Bedeuten obige Aussagen, dass die Kreisbahn eine resultierende Bahn aus der gegebenen Geschwindigkeit und der Geschwindigkeit aufgrund der Zentripetalbeschleunigung ist?

Für eine kreisförmige Bahn ist dies die einzige Bedingung$\dot{r} = 0$. Wenden wir diese Überlegung auf unsere Beschleunigungsformel an:

$$a(t) = -r \dot{\theta}^2 e^{i \theta} + i[ r \ddot{\theta} e^{i \theta} ]$$

Es ist ersichtlich, dass der erste Term in die gleiche Richtung weist wie$r(t)$und der zweite Term steht senkrecht auf$r(t)$[ Multiplikation mit i]. Der erste Term bezeichnet den zentripetalen „Zug“ und der zweite Term bezeichnet die tangentiale Beschleunigung.

Beachten Sie auch, dass, da der Pfad konstant ist, die$r(t)$ändert sich nicht und daher ist die Geschwindigkeit gegeben durch:

$$v(t) = [ i r \dot{\theta} e^{i \theta}] = i \dot{\theta} z(t)$$

Auch bei ungleichförmiger Kreisbewegung findet man leicht heraus, dass die Geschwindigkeit immer senkrecht zur Position steht! Das liegt daran, dass wir wollen, dass sich das Partikel in der Kurve bewegt. Sie können sich leicht davon überzeugen, dass das Teilchen von der Kurve fällt, wenn seine Geschwindigkeit die Kurve nicht an allen Punkten tangiert.

Eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, dass eine Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt ihre Wirkung erst im nächsten Augenblick entfalten wird. Wenn das Teilchen an einem Punkt einen tangentialen Geschwindigkeitsvektor hat, wird die Zentripetalbeschleunigung an diesem Punkt die Geschwindigkeit "drehen", wenn es sich um eine kleine Bogenlänge der Kurve bewegt. Aber jetzt an diesem neuen Punkt ändert sich die Richtung der Zentripetalbeschleunigung für Unterbringung der nächsten Kurve!

Um den Fall der von Ihnen beschriebenen Spiralbewegung zu erhalten, weichen Sie einfach davon ab, die Bedingung zu stellen, dass der Abstand vom Ursprung konstant ist! (dh$\frac{dr}{dt} \neq 0$)

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Notiz:$r(t)$Und$\theta(t)$sind rein real!!

Weitere dieser komplexen Zahlentechniken finden Sie in Tristan Needham: Visual Complex Analysis

Hoffe das hilft!

Warum gewinnt das Teilchen in zentripetaler Richtung keine Geschwindigkeit, obwohl es in dieser Richtung eine gewisse Beschleunigung hat?

Denn jede Zentripetalbeschleunigung geht mit einer zentrifugalen Widerstandsbeschleunigung einher:

$${\vec a_{~\text{centrifugal}}}=\omega ^{2}{\vec {r}}$$

Ein horizontal projizierter Körper gewinnt in Richtung von etwas an Geschwindigkeit$mg$

Ja, weil die Winkelgeschwindigkeitskomponente vernachlässigbar ist, also keine Zentrifugalkraft = auf die Erde zurückfallen, es sei denn, Sie setzen so viel kinetische Energie ein, die der potenziellen Gravitationsenergie entspricht, damit sie dem Einfluss des Gravitationsfelds entgehen und zu einem Erdsatelliten oder einem freilaufenden Objekt werden kann ein Universum, das von einem anderen Gravitationsfeld des Körpers eingefangen werden soll.

BEARBEITEN

Übrigens sind Ihre Bilder zur Darstellung der Geschwindigkeit aufgrund der Zentripetalbeschleunigung falsch. Wenn sich der Körper, wie Sie es sich vorgestellt haben, auf einer spiralförmigen Bahn bewegt, bedeutet dies, dass die Zentripetalkraft und -beschleunigung variieren, dh nicht konstant sind. Versuchen Sie einfach, die Mitte des relativen Kurvensegments zu zeichnen, und Sie werden sehen, dass es anders sein wird, je nachdem, welches Segment Sie wählen:

Das bedeutet also, dass Partikel mit der Zeit von verschiedenen "vorübergehenden Orten" angezogen werden, bis sie irgendwo zusammenlaufen (oder nicht).