Es sind zwei Beschleunigungen beteiligt: ​​Die Gravitationsbeschleunigung$g$die nach unten zeigt, und die Zentripetalbeschleunigung$a_r = \frac{v^2}{r}$die entlang des Radiusvektors der Kurve zeigt. Die zur Kurve tangentiale Komponente der Erdbeschleunigung trägt nicht zur g-Kraft bei, da sie den Wagen und uns in diese Richtung beschleunigt. Wir spüren die Komponente der Gravitationsbeschleunigung, die entlang des durch gegebenen Radiusvektors zeigt$a_g = g \text{sin}\phi$Wo$\phi \in [0,\frac{\pi}{2}]$ist der Winkel, der beim Einfahren in die Kurve mit Null beginnt und mit endet$\frac{\pi}{2}$wenn Sie den horizontalen Teil eingeben. Wir können die beiden Beschleunigungen addieren, da sie parallel sind:

$$a_{tot} = a_g +a_r$$

Wir beobachten jetzt:$v = \sqrt{2g(h+r\text{sin}\phi)}$und so

$$a_r = \frac{v^2}{r} = \frac{2g(h+r\text{sin}\phi)}{r}$$

daher:

$$a_{tot} = g \text{sin}\phi + \frac{2g(h+r\text{sin}\phi)}{r} = 3g \text{sin}\phi + \frac{2gh}{r}$$

Die g-Kraft ist$a = \frac{a_{tot}}{g}$daher

$$a = 3 \text{sin}\phi + \frac{2h}{r}$$

Die g-Zahl ist also keine Konstante, sondern hängt davon ab, wo man sich in der Kurve befindet (on$\phi$). Und wie die Sünde eintönig zunimmt$[0,\frac{\pi}{2}]$ebenso die G-Kraft. es erreicht sein Maximum, wenn es in den horizontalen Teil eintritt.

Was Sie vielleicht auch beachten möchten, ist, dass wenn Sie eine Achterbahn wie diese bauen, die Leute schreiend davonlaufen würden, da die G-Kraft nicht anhält. Es gibt einen Sprung, wenn Sie in die Kurve einfahren, und einen großen Sprung, wenn Sie auf die Horizontale gehen. Und im Grunde ist an diesen Diskontinuitäten die g-Kraft unendlich :)

Die Achterbahn fällt eine Höhe$h$bevor Sie in die Schleife eintreten (der Pfad des RC sieht aus wie ein J. Das gerade Stück des J ist lang$h$), und ich nehme an, es begann mit der Geschwindigkeit Null. Innerhalb der Schleife entspricht die gesamte kinetische Energie der gesamten verlorenen potentiellen Energie, was bedeutet

$$E_\text{kin}=mg(h+r\sin\theta).$$ Hier $\theta$ist so definiert, dass es am Ende des geraden Bits des J Null ist, dh es ist bezüglich einer horizontalen Achse definiert. Beachte das auch $h+r\sin\theta$ist nur die Gesamthöhe, die der RC verloren hat. Daher ist an jedem Punkt des Kreises die Geschwindigkeit des RC $$v=\sqrt{2g(h+r\cos\theta)}.$$ Die Gesamtkraft auf den RC hat zwei Komponenten. Einer ist, wie Sie sagten, direkt auf die Mitte der Kurve gerichtet, und der andere ist die Schwerkraft. In Abwesenheit der letzteren ist die Zentripetalbeschleunigung (Ihre zweite Formel) $$a=\frac{2g(h+r\sin\theta)}{r}$$ ausreichen würde, um den RC auf eine Kreisbahn zu zwingen. Die Schwerkraft versucht jedoch auch, den RC vom Kreis wegzudrücken, was einen Beitrag hinzufügt $$a_\bot=g\sin\theta.$$ (Dies ist einfach die Komponente von $g$die radial nach außen zeigt.) Daher die Summe $g$-Kraft (=Gesamtbeschleunigung dividiert durch $g$) Ist $$\frac{2(h+r\sin\theta)}{r}+\sin\theta = \frac{2h}{r}+3\sin\theta.$$ Die Kraft zeigt tatsächlich radial nach innen (denken Sie daran, dass Sie die Schwerkraft nicht "fühlen" können - die einzige Kraft ist die von den Schienen, die nur "nach oben" und weder nach vorne noch nach hinten drücken können (wobei natürlich die Reibung vernachlässigt wird). ).

ABSCHNITT A: Freier Fall der Achterbahn in Kreisbewegung (Kinetik)

Angenommen, die Achterbahn, von nun an "Teilchen" genannt, ruht am Punkt A ($\:\upsilon_{A}=0\:$) und beginnt frei zu fallen bis Punkt B, wo es seine kreisförmige Bewegung beginnt. Bekanntlich ist bei B die Geschwindigkeit$\:\upsilon_{B}=\sqrt{2gh}\:$unter der Annahme, dass keine Energie verloren geht (kein Luftwiderstand usw.).

Nun, wenn die Bedeutung von$\:g$-Kraft ist im vorliegenden Fall die Beschleunigung, die durch die "hochdrückende" Kraft verursacht wird$\:\mathbf{T}\:$In$\:g \:$Einheiten, dann müssen wir die Größe bestimmen$\:T=\Vert\mathbf{T}\Vert \:$und dadurch:$\:g$-Kraft =$\: T/mg\:$.

Wie in der obigen Abbildung gezeigt, die Kraft$\:\mathbf{T}\:$ist normal zur Kreisbahn unter der Annahme, dass keine Reibung vorliegt. Wenn$\:\mathbf{W}\:$ist das Gewicht des Partikels und$\:\mathbf{a}\:$seine Beschleunigung dann:

$$\begin{equation} \mathbf{T} + \mathbf{W}= m\mathbf{a} \tag{A-01} \end{equation}$$ Es ist bequem, die zu verwenden $\:\left(r,\theta \right)\:$Koordinaten. Der Ausdruck von $\:\mathbf{a}\:$wie in ABSCHNITT B bewiesen , ist Gleichung (B-13).

$$\begin{equation} \mathbf{a}=\underbrace{\left(-r\dot{\theta}^2\right)\mathbf{e}_{r}}_{centripetal}+\underbrace{\left(r\ddot{\theta}\right)\mathbf{e}_{\theta}}_{orbital} =\mathbf{a}_{r}+\mathbf{a}_{\theta} \tag{A-02} \end{equation}$$ Also die Analyse von (A-01) in $\:\mathbf{e}_{r}\:$Und $\:\mathbf{e}_{\theta}\:$Komponenten ist bzw $$\begin{align} \left( \mathbf{T} + \mathbf{W}\right)\circ\mathbf{e}_{r} &= m\mathbf{a}_{r}\: \Longrightarrow \: -T + mg\sin\theta =- mr\dot{\theta}^2 \tag{A-03a}\\ \left( \mathbf{T} + \mathbf{W}\right)\circ\mathbf{e}_{\theta} &= m\mathbf{a}_{\theta}\: \Longrightarrow \: mg\cos\theta =mr\ddot{\theta} \tag{A-03b}\\ \end{align}$$ Da ist hier nur Gleichung (A-03a) wichtig $$\begin{equation} T= m\;r\dot{\theta}^2 + m\;g\sin\theta \tag{A-04} \end{equation}$$ Um einen Ausdruck für zu finden $\:\dot{\theta}\:$wir verwenden Gleichung (B-09) $$\begin{equation} \dot{\theta}=\dfrac{\upsilon}{r} \tag{A-05} \end{equation}$$ denn in diesem Fall und zu jedem Zeitpunkt $\:t\:$Die Bewegung ist gegen den Uhrzeigersinn ( $\:\dot{\theta}> 0\:$).

Die Größenordnung$\:\upsilon \:$an jedem Punkt P auf der Kreisbahn wird aus der Energieerhaltung unter der Annahme, dass kein Energieverlust vorliegt (kein Luftwiderstand, keine Reibung auf der Strecke usw.), bestimmt:

$$\begin{equation} \dfrac{1}{2}m \Delta \upsilon^{2} + mg\Delta y = 0\:\Longrightarrow \: \dfrac{1}{2}m \left( \upsilon^{2}-\upsilon_{A}^{2}\right)=mg\left(h+r\sin\theta\right) \tag{A-06} \end{equation}$$ also (seit $\:\upsilon_{A}=0\:$) $$\begin{equation} \upsilon=\sqrt{2g\left(h+r\sin\theta\right)} \tag{A-07} \end{equation}$$ Und $$\begin{equation} r\dot{\theta}^2=\dfrac{2g\left(h+r\sin\theta\right)}{r} \tag{A-08} \end{equation}$$ Das Einfügen des obigen Ausdrucks in (A-04) ergibt $$\begin{equation} T= mg\left( \dfrac{2h}{r}+3\sin\theta\right) \tag{A-09} \end{equation}$$ Endlich $$\begin{equation} \text{$g$-force}=\dfrac{T}{mg} = \dfrac{2h}{r}+3\sin\theta \tag{A-10} \end{equation}$$

Hinweis: In der obigen Abbildung unter Skala das Verhältnis$\:\dfrac{h}{r}\:$, die Position P (d. h$\:\sin\theta\:$) und die daraus resultierenden$g$-Kraft sind wie folgt

$$\begin{equation} \dfrac{h}{r}=0.40 \:,\quad \sin\theta =0.60 \:\Longrightarrow \: \text{$g$-force}=2.60 \tag{A-11} \end{equation}$$

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ABSCHNITT B: Kinematik eines Teilchens in Kreisbewegung

Die folgende Analyse betrifft ausschließlich die Kinematik eines Teilchens in einer ebenen Kreisbewegung. Es ist ein Sonderfall einer ebenen krummlinigen Bewegung, die wiederum ein Sonderfall zwischen krummlinigen Bewegungen im Raum ist.
Die Bewegung eines Teilchens ist durch die Vektorfunktion gegeben$\mathbf{r}\left(t\right)$, also durch seine zeitliche Lage$\:t \:$. Der Geschwindigkeitsvektor$\mathbf{v}\left(t\right)$ist die zeitliche Änderungsrate dieses Positionsvektors

$$\begin{equation} \mathbf{v}\left(t\right)\equiv \dfrac{d\mathbf{r}}{dt}= \dot{\mathbf{r}} \tag{B-01} \end{equation}$$

Wir verwenden einen oberen Punkt oder zwei obere Punkte für die 1. oder 2. Ableitung in Bezug auf$\:t\:$, Zum Beispiel

$$\begin{equation} \dot{\mathbf{r}}\equiv \dfrac{d\mathbf{r}}{dt}\;, \quad \dot{\theta}\equiv \dfrac{d\theta}{dt}\;, \quad \ddot{\theta}\equiv \dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}} \tag{B-02} \end{equation}$$

Lassen Sie uns nun ein Koordinatensystem erstellen$\:\left(x,y\right)\:$in der Ebene wie in obiger Abbildung und$\:\mathbf{i},\mathbf{j}\:$die Einheitsbasisvektoren entlang der Achse$\:Ox,Oy\:$bzw. Bei ebenen Kreisbewegungen der Ortsvektor$\mathbf{r}\left(t\right)$des Teilchens kann wie folgt ausgedrückt werden:

$$\begin{equation} \mathbf{r}\left(t\right)= \left[r \cos \theta \left(t\right)\right]\mathbf{i}+\left[r \sin \theta \left(t\right)\right]\mathbf{j} \tag{B-03} \end{equation}$$

Beachten Sie, dass alle Größen als Positionsvektoren gelten$\:\mathbf{r}\:$, Geschwindigkeitsvektor$\:\mathbf{v}\:$, Beschleunigungsvektor$\:\mathbf{a}\:$, Winkel$\:\theta\:$und wie wir unten sehen, die Einheitsvektoren$\:\mathbf{e}_{r},\mathbf{e}_{\theta}\:$sind Funktionen der Zeit und lassen sich daher bequem weglassen$\:t\:$. Die Größenordnung$\:r=\Vert\mathbf{r}\Vert\:$des Positionsvektors ist natürlich zeitlich konstant.

Also ergibt (B-03).

$$\begin{equation} \mathbf{r}= r\left[\left(\cos\theta\right)\mathbf{i}+ \left(\sin\theta\right)\mathbf{j}\right]= r\mathbf{e}_{r} \tag{B-04} \end{equation}$$ wo per Definition $$\begin{equation} \mathbf{e}_{r} \equiv \left(\cos\theta\right)\mathbf{i}+ \left(\sin\theta\right)\mathbf{j} \tag{B-05} \end{equation}$$ ist ein Einheitsvektor entlang $\:\mathbf{r} \:$, wie in Abbildung. Der Geschwindigkeitsvektor ist $$\begin{equation} \mathbf{v}=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}= \dot{\mathbf{r}}=r\dot{\theta}\left[\left(-\sin\theta\right)\mathbf{i}+ \left(\cos\theta\right)\mathbf{j}\right]= r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta} \tag{B-06} \end{equation}$$ wo per Definition $$\begin{equation} \mathbf{e}_{\theta} \equiv \left(-\sin\theta\right)\mathbf{i}+ \left(\cos\theta\right)\mathbf{j} \tag{B-07} \end{equation}$$ ist ein Einheitsvektor, der den Kreis tangiert und senkrecht dazu steht $\:\mathbf{r} \:$, wie in Abbildung. Beachten Sie, dass :

(a) Die Menge$\:\dot{\theta}\:$ist im Wesentlichen die momentane Winkelgeschwindigkeit

$$\begin{equation} \dot{\theta}\equiv \dfrac{d\theta}{dt}=\omega\left(t\right) \tag{B-08} \end{equation}$$ Wenn $\:\dot{\theta}=\omega_{o}=\text{constant}$, dann haben wir eine gleichmäßige Kreisbewegung.

(b) aus (B-06) für die Größe$\:\upsilon\:$der Geschwindigkeit$\:\mathbf{v} \:$

$$\begin{equation} \upsilon =r\vert\dot{\theta}\vert=r\vert\omega\vert \tag{B-09} \end{equation}$$ Wo $\:\omega=\dot{\theta}> 0\:$( $\:<0\:$), wenn sich das Partikel sofort gegen den Uhrzeigersinn (im Uhrzeigersinn) bewegt.

(c) in der Regel, wenn es sich um einen variablen Vektor handelt$\:\mathbf{w}\left(\lambda\right)\:$, Wo$\:\lambda \:$ein reeller Parameter, hat eine konstante Norm, dann ist seine 1. Ableitung immer normal zu ihm

$$\begin{equation} \Vert\mathbf{w}\Vert ^{2}=\text{const}\rightarrow \mathbf{w}\circ \mathbf{w}=\text{const}\rightarrow \dfrac{d\left( \mathbf{w}\circ \mathbf{w}\right)}{d\lambda}=0\rightarrow \left( \mathbf{w}\circ \dfrac{d\mathbf{w}}{d\lambda}\right)=0 \tag{B-10} \end{equation}$$ Deshalb $\:\dot{\mathbf{e}}_{r}=\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta}\:$, das ist $\:\mathbf{e}_{\theta}\:$, ist immer normal $\:\mathbf{e}_{r}\:$.

Für die Beschleunigung$\:\mathbf{a}\:$wir haben von (B-06)

$$\begin{equation} \mathbf{a}=\dot{\mathbf{v}}=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=\dfrac{d\left(r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta}\right)}{dt}=\left(-r\dot{\theta}^2\right)\mathbf{e}_{r}+\left(r\ddot{\theta}\right)\mathbf{e}_{\theta} \tag{B-11} \end{equation}$$ seit von (B-07) $$\begin{equation} \dot{\mathbf{e}}_{\theta}=\;-\;\dot{\theta}\mathbf{e}_{r} \tag{B-12} \end{equation}$$ Gleichung (B-11) wird geschrieben als $$\begin{equation} \mathbf{a}=\underbrace{\left(-r\dot{\theta}^2\right)\mathbf{e}_{r}}_{centripetal}+\underbrace{\left(r\ddot{\theta}\right)\mathbf{e}_{\theta}}_{orbital} =\mathbf{a}_{r}+\mathbf{a}_{\theta} \tag{B-13} \end{equation}$$

Beschleunigungsvektor$\:\mathbf{a}\:$wird in zwei Normalkomponenten analysiert

(1) Die sogenannte Zentripetalbeschleunigung

$$\begin{equation} \mathbf{a}_{r} \equiv \left(-r\dot{\theta}^2\right)\mathbf{e}_{r} \tag{B-14} \end{equation}$$ der immer nach innen zum Zentrum zeigt und "versucht", nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors zu ändern $\:\mathbf{v}\:$, Und

(2) Die orbitale (tangentiale) Beschleunigung

$$\begin{equation} \mathbf{a}_{\theta} \equiv \left(r\ddot{\theta}\right)\mathbf{e}_{\theta} \tag{B-14} \end{equation}$$ der immer tangential zum Kreis ist und "versucht", nur die Größe des Geschwindigkeitsvektors zu ändern $\:\mathbf{v}\:$. Beachten Sie, dass der Beschleunigungsvektor $\:\mathbf{a}\:$zeigt im Allgemeinen nicht auf die Mitte.

Du bist gut.

Ja, man kann ziemlich davon ausgehen, dass es eine konstante Geschwindigkeit ist, solange$h \gg r.$Soweit ich mich erinnere, sind die beteiligten Ausdrücke äußerst einfach, solange Sie nicht versuchen, genau herauszufinden, was in der Zeit passiert: Das tatsächliche Lösen der Euler-Lagrange-Gleichungen gibt Ihnen eine Art von$\int d\theta / \sqrt{a + b \sin\theta} = t$Gleichung für$\theta(t)$, oder so etwas Schreckliches.

Also, lassen Sie uns ein paar Koordinaten und Geometrie haben: Sie beginnen bei$[x, y] = [0, r + h]$, dann bei$[x, y] = [0, r]$Sie betreten einen Kreis, der um zentriert ist$[r, r]$: und Ihren Fortschritt entlang dieses Kreises werde ich mit bezeichnen$\theta$als$\vec r = [x, y] = [r, r] - r\cdot[\cos\theta, \sin\theta]$. Sie tauchen dann danach auf$\theta = \pi/2$an Stelle$[r, 0]$, vorankommen. Wir werden Zeitableitungen als Punkte ausdrücken, und ich werde sie definieren$\omega = \dot\theta$.

Ihre Nettobeschleunigung während dieses Bogens ist$\vec a(\theta) = - g\cdot[0, 1] + c(\theta)\cdot [\cos\theta, \sin\theta]$für einige $c(\theta)$, da dies die Richtung ist, in die die Zwangskraft drückt. Allerdings wissen wir, dass auch diese eine ganz besondere Form haben muss:

$$\ddot{\vec r} = \frac{d}{dt} \left(r~\omega~[\sin\theta, -\cos\theta]\right)= r~ \dot\omega~ [\sin\theta, -\cos\theta] + r~ \omega^2~ [\cos\theta, \sin\theta].$$ Der $x$-component gibt die einfachere Version dieser Einschränkung, $c(\theta) = r~ \dot\omega~ \tan\theta + r~ \omega^2.$

Seit$\dot{\vec r} = \vec v = r~\omega~[\sin\theta, \cos\theta]$, das können wir aus der Energieeinsparung schnell feststellen

$$v^2 = r^2\omega^2 = 2g(h + r\sin\theta),$$ da die Zwangskraft keine Arbeit leistet. Bei einer zeitlichen Ableitung ergibt sich dies ebenfalls $$r^2~2~\omega ~\dot \omega = 2 ~g ~r~\omega~ \cos\theta$$ also haben wir $r \omega^2 = 2g(\sin\theta + h/r)$Und $r~\dot\omega=g\cos\theta,$Also, wenn ich die ganze Mathematik richtig gemacht habe, $$c(\theta) = g~\left(3~\sin\theta + 2~\frac hr\right).$$ An der Grenze $h\gg r$Sie erhalten eine ungefähr Konstante $c(\theta) = 2 h g / r$, und so wird Ihre G-Kraft in der Wende maximiert $\theta\approx0$wo ist es $a \approx \sqrt{g^2 + c^2} \approx c.$

Diese Lösung entspricht genau der$v^2 / r$mit$v = \sqrt{2 g h}$, wie Sie es gerne tun würden.

Wenn Sie nicht haben$h \gg r$, dann müssen Sie stattdessen entweder die Kraft räumlich mitteln (wie gesagt, die Zeitmittelung ist wahrscheinlich ein Albtraum) oder die Kraft maximieren

$$\frac d{d\theta} \big\lVert[c(\theta)~\cos(\theta),~~c(\theta)~\sin(\theta) - g]\big\rVert = 0.$$ Im Allgemeinen werden Sie feststellen, dass Ihre Beschleunigung "fast" auf das Rotationszentrum zeigt, aber etwas darunter, weil dort auch die Gravitationskraft steckt.

Ich weiß nicht, ob ich eine einheitliche Kreisbewegungsgleichung verwenden kann, da v nicht konstant ist

Die Gleichung für die Zentripetalkraft ist unabhängig davon, ob die Bewegung gleichmäßig kreisförmig ist oder nicht.

Unabhängig vom Radius der Bahn, der Geschwindigkeit an diesem Punkt und dem Gewicht der Achterbahn oder ob die Gleichung für die Zentripetalkraft noch gültig ist usw.; Da es an diesem bestimmten Punkt horizontal wird, muss jede Kraft, die Ihre "g-Kraft" verursachen muss, in horizontaler Richtung wirken. Da in der Horizontalen keine solche Kraft wirkt, ist die g-Kraft auf Sie, sobald Sie sich in die Horizontale bewegen, gleich null . So einfach ist das.

Sie haben zwei einfache Fragen gestellt - ich werde zwei einfache Antworten geben.

Ich weiß nicht, ob ich eine einheitliche Kreisbewegungsgleichung verwenden kann, da v nicht konstant ist

In dem Moment, in dem die Kurve beginnt, ist die Geschwindigkeit gegeben durch$\sqrt{2gh}$- und für diesen ersten Fall ist es konstant. Also ja, Sie können eine gleichmäßige kreisförmige Bewegung verwenden

Wohin wird die g-Kraft gerichtet? Das Zentrum der Kurve?

Es hängt davon ab, wie Sie "G-Kraft" definieren. Normalerweise ist es die "erfahrene Nicht-Gravitationsbeschleunigung". Wenn dem so ist, dann zeigt es in dem Moment, in dem Sie anfangen, sich um den Kreis zu bewegen, auf die Mitte des Kreises.

Wenn Sie akzeptieren, dass eine Person im Stillstand "1 g" erfährt, hängt die g-Kraft aufgrund der Schwerkraft vom Winkel der Schiene ab - sie steigt mit dem$\sin$des Winkels des radialen Vektors und bewirkt, dass die Kraft leicht über den Mittelpunkt des Kreises zeigt.

Echte Achterbahnbahnen beschreiben natürlich einen Spline, dh die Änderungsgeschwindigkeit der Krümmung ist stetig. Andernfalls wäre die plötzliche Änderung der g-Kraft höchst unangenehm.