Fallende Kette an einem Ende fixiert: Kraft am Scharnier

Dieses Problem wurde bereits in Physics SE angegangen, zum Beispiel:

Kann jemand diese Lösung für die Bewegung einer fallenden Kette erklären?
Energie der fallenden Kette

Eine umfassende Lösung wird in Falling Chains in American Physics Teacher gegeben.

Der 1. Link oben enthält eine lehrreiche Diskussion und Lösung des Problems aus dem Lehrbuch von Marion & Thornton. Es ist verlockend anzunehmen, dass sich die freie Seite der Kette im freien Fall befindet, aber das ist falsch. Stattdessen sollte davon ausgegangen werden, dass Energie erhalten bleibt, da sich reale Ketten so verhalten.

Ihr Ansatz ist gültig. Die Reaktion$R$am Gelenk hängt mit der Beschleunigung zusammen$\ddot y$des Massenschwerpunkts nach Newtons 2. Gesetz :$Mg-R=M\ddot y$. Worüber Sie sich nicht sicher sind, ist, wie Sie es finden können$\ddot y$.

Ihre Berechnung der Position des CM der gesamten Kette ist korrekt:
$y=\frac{1}{4l}(l^2+2lx-x^2)$.
Zweimal differenzieren ergibt:
$\ddot y=\frac{1}{2l}((l-x)\ddot x-\dot x^2)$

Ausdrücke für$\ddot x$Und$\dot x^2$kann aus dem Energieerhaltungssatz wie folgt ermittelt werden:

Zu jedem Zeitpunkt bewegt sich nur die rechte Seite der Kette. Die Länge dieser Seite ist$\frac12(l-x)$und das CM hat Geschwindigkeit$\dot x$, also ist sein KE$\frac14\rho (l-x)\dot x^2$. Der gewonnene KE entspricht dem Verlust an PE aufgrund des Abfalls des CM der gesamten Kette. Das CM liegt zunächst bei$y=\frac14 l=\frac{1}{4l}l^2$, also der Verlust an PE
$l\rho g \frac{1}{4l}(l^2+2lx-x^2-l^2)=\frac14 \rho g (2lx-x^2)$.
Deshalb
$\dot x^2 = g \frac{2lx-x^2}{l-x}$.
Differenzieren :
$\ddot x= \frac{g(2l^2-2lx+x^2)}{2(l-x)^2}$

Ersatz :
$\ddot y=\frac{g(2l^2-6lx+3x^2)}{4l(l-x)}$
$R=M(g-\ddot y)=Mg\frac{2l^2+2lx-3x^2}{4l(l-x)}$.

Ersetzen$x=\frac14l$gibt$R=\frac34Mg$. Aber beachten Sie, dass als$x \to l$Dann$R \to \infty$. Dies geschieht aufgrund des Schleudertrauma-Effekts .

Ich habe versucht, die Position des Massenmittelpunkts der Kette von oben zu lokalisieren, nachdem Ende B aus der Entfernung gefallen ist$x$von der Decke. Ich habe dann das Prinzip der Energieerhaltung verwendet, um die Geschwindigkeit des hängenden Teils zu finden, wenn es aus der Entfernung gefallen ist$x$, indem die Änderung der potenziellen Energie der Gravitation mit der Änderung der kinetischen Energie gleichgesetzt wird.

Dies erscheint mir richtig. Unter der Annahme, dass die horizontale Länge des Systems vernachlässigbar ist, sollte es ziemlich einfach sein. Beachten Sie, dass sich auch die Masse des beweglichen Teils ändert, wenn der nach oben zeigende Teil der Kette kleiner wird.

Dies gibt Ihnen die Geschwindigkeit des Kettenendes in Abhängigkeit von$x$.

Ich kann jedoch die Beziehung zwischen der Kraft am Scharnier und der Geschwindigkeit des hängenden Teils nicht herausfinden.

Die Summe der auf ein beliebiges System wirkenden Kräfte ergibt die Beschleunigung des Massenmittelpunkts des Systems. Die auf die Kette wirkenden Kräfte sind die Schwerkraft und die Kraft am Gelenk. Die Summe dieser ergibt also die Beschleunigung des Massenmittelpunkts der Kette.

Jetzt weißt du es also

• die Geschwindigkeit des Seilendes,$\frac{d}{dt}x$, als Funktion von$x$
• die Position des Massenmittelpunkts (nennen wir es$z$) als Funktion von$x$
• die Kraft am Scharnier in Bezug auf$\frac{d^2}{dt^2} z$.

Um Ihre Antwort zu bekommen, wollen Sie finden$\frac{d^2}{dt^2} z$bezüglich$x$. Du weisst$z$bezüglich$x$, Und$\frac{d}{dt} x$bezüglich$x$. Ich überlasse es Ihnen, herauszufinden, wie Sie von hier aus fortfahren können.