Wie findet man die Bewegungsgleichung für eine Schnur, die durch die Mitte eines Tisches gefädelt ist?

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Eine Zeichenfolge mit Gesamtlänge l wird durch ein Loch in der Mitte eines reibungsfreien horizontalen Tisches gefädelt und dann gelöst. Wie würde man vorgehen, um die vertikale Bewegungsgleichung für diese Saite zu finden, indem man die Newtonsche Mechanik anstelle der Lagrange-Mechanik verwendet?

In dem Lehrbuch, das ich gerade lese, ist die Bewegungsgleichung angegeben als ρ j G = ρ l D 2 j D T 2 , aber da bin ich mir nicht sicher. Der Begriff auf der rechten Seite impliziert, dass der Schwerpunkt der Saite vertikal beschleunigt wird, aber das stimmt nicht immer. Da die Spannung in der Saite in diesem Fall nicht konstant ist (sie muss variieren, damit die horizontale Saite beschleunigt wird), sollte sie sich nicht überall aufheben, also sollte die Spannung nicht auch irgendwo in der Bewegungsgleichung stehen?

Hinweis: Sie sollten damit beginnen, die Bewegungsgleichung von zu schreiben F = M A .
Ich habe den vertikalen Spannungsverlauf als ρ ( D 2 j D T 2 − G ) .
Nun, die erforderliche Bewegungsgleichung bezieht sich auf die vertikale Richtung, nicht nur auf den Massenmittelpunkt des Systems, der in horizontaler Richtung liegen kann. Die in Ihrem Lehrbuch angegebene Gleichung bezieht sich also auf den Teil der Zeichenfolge in vertikaler Richtung.

Antworten (1)

Die Masse der Schnur, die unter dem Tisch hängt, ist ρ j Wo ρ ist die Masse pro Längeneinheit (wir gehen hier von einer gleichmäßigen Saite aus ). Die Kraft auf die Saite ist also ρ j G .

Es gibt eine Normalkraft vom Tisch, aber diese ist gleich und entgegengesetzt zum Gewicht der Saite, die auf dem Tisch verbleibt, also können wir das ignorieren.

Die Beschleunigung der Saite ist D 2 j D T 2 . Die Masse der ganzen Saite ist ρ l die Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes auf die Saite als Ganzes ergibt also

ρ l D 2 j D T 2 = ρ j G

Sie müssen sich keine Gedanken darüber machen, ob der Schwerpunkt der Saite zu jedem Zeitpunkt auf dem Tisch oder unter dem Tisch liegt - diese Gleichung gilt in beiden Fällen.

Die Saitenspannung variiert von ρ G j am Rand des Tisches sowohl am nachlaufenden als auch am baumelnden Ende auf Null.
@mikestone Guter Punkt. Ich habe meine Antwort bearbeitet.
"Newtons zweites Gesetz für die Saite als Ganzes gibt ..." - das ist das Bit, das mich betrifft. Die Saite als Ganzes beschleunigt nicht nach unten, wenn das CoM eben auf dem Tisch liegt, wie können wir also Newtons zweites Gesetz auf diese Weise anwenden?
@Pancake_Senpai Wenn Sie Newton II nicht anwenden möchten, verwenden Sie ein Energieargument: 1 2 ρ l v 2 = 1 2 ρ j 2 G So ρ l v D v D T = ρ j v G .
Danke. Dieses Argument macht sehr viel Sinn. Ich bin mir zwar immer noch nicht sicher über die Anwendung von N2, aber das Energieargument ist viel sauberer, also werde ich damit gehen.
Hallo Gandalf, warum gibt es keine Spannung in der Saite???
Wenn Sie die Saite als ein einzelnes Objekt betrachten, ist die Spannung in der Saite eine innere Kraft, sodass Sie sie ignorieren können. Sie könnten die Schnur in zwei Teile aufteilen – den Teil auf dem Tisch und den Teil, der vor dem Tisch hängt – und dann die Spannung an der Stelle einbeziehen, an der die Schnur den Tisch verlässt. Aber der Energieerhaltungsansatz ist wahrscheinlich einfacher.
Wie findet man die Bewegungsgleichung für eine Schnur, die durch die Mitte eines Tisches gefädelt ist?
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