Warum ist die Spannung an den freien Enden null?

Betrachten Sie einen sehr kurzen Abschnitt des Seils$d\ell$, mit Masse$dm$. Die Bewegungsgleichung für dieses Segment entlang der Linie des Seils ist

Wenn im Seil eine Spannung ungleich Null vorhanden ist, können wir an der Grenze arbeiten, an der jede Gravitationskraft wirkt$dm\,g$Ist vernachlässigbar. Aus dieser Bewegungsgleichung erhalten wir die Annäherung, dass in einem "masselosen" Seil, das sich nicht dehnt, die Spannung im Seil konstant ist. Wenn$T_\text{forward} \neq T_\text{backward}$, sagt der Ansatz voraus, dass die Beschleunigung$a$wird größer als das Massensegment$dm$wird kleiner.

Betrachten Sie nun das letzte Segment des Seils, wo die Spannung in einer Richtung fehlt:

Die Spannung im Seil am Ende muss verschwinden, es sei denn, das letzte Segment soll beschleunigen.

OK, hier ist jetzt meine Meinung zu Frage 2. Ich habe Frage 1 bereits in einer anderen Antwort beantwortet und würde diese Antwort normalerweise bearbeiten, aber es scheint viel Verwirrung über Spannungen zu geben, und ich denke, eine separate Antwort würde die Aufmerksamkeit besser auf das Problem lenken . Ich habe 2 Hauptpunkte:

1 - Spannung beeinflusst die Reibung. Bei vielen Antworten und sogar bei der Frage, ob Spannung die Normalkraft beeinflusst oder nicht, herrscht große Verwirrung. Die Verwirrung rührt von der Tatsache her, dass, wenn wir eine kleine Seillänge betrachten und diese Länge gegen Null tendiert, die normale Spannungskomponente gegen Null tendiert, wodurch der Reibungsbeitrag der Reibung gegen Null tendiert. Wenn jedoch die Länge jedes Seilelements gegen Null geht, geht die Anzahl der zu berücksichtigenden Seilelemente gegen unendlich. Damit die Spannung vernachlässigt werden kann, muss sie schneller gegen Null gehen, als die Anzahl der Elemente zunimmt. Dies ist im Grunde eine Version von Zenos Paradoxon. Indem wir nicht unendlich viele sehr kleine Beiträge hinzufügen, benachteiligen wir uns selbst.

Für diejenigen, die nicht überzeugt sind, stellen Sie sich vor, Sie hätten ein Seil, das in einer Schleife zwischen zwei parallelen Stangen gewickelt ist und ein Oval ergibt. Ziehen Sie die Stäbe zunächst nur leicht auseinander, damit wenig Spannung entsteht. Sie können das Seil leicht um die Stangen bewegen. Dann mit den Stangen viel Spannung aufbringen, damit das Seil sehr straff ist. Es wird Ihnen viel schwerer fallen, am Seil zu ziehen, um es relativ zu den Stangen zu bewegen. Deshalb müssen Sie Riemen spannen, die zur Kraftübertragung in industriellen und anderen Anwendungen eingesetzt werden. Wenn die Spannung nicht ausreicht, rutscht der Riemen.

Nun würde man dazu neigen zu denken "aber das ist nicht dasselbe", diese Antwort spricht von endlichen Riemenlängen, und die Nullspannungsnäherung spricht von unendlich kleinen Seillängen. Das stimmt, aber wie wird die Reibung auf der Makroebene zunehmen, wenn wir sie auf der Mikroebene vernachlässigen können? Das ist nicht möglich. Jedes kleine Seilelement trägt ein wenig zur Reibung bei.

2 - Jetzt stellt sich die Frage: Können Sie hier die Reibung vernachlässigen, wenn Sie verstehen, dass die einzige äußere Kraft die Schwerkraft ist (keine äußere Spannung)? Die Antwort ist wahrscheinlich nicht, es sei denn, Sie suchen nach einer Annäherung.

Um zu sehen, warum, stellen Sie sich ein diskretes System aus 3 Blöcken vor, die durch sehr steife Federn miteinander verbunden sind. Mit sehr steif meine ich, dass jede Spannung zwischen den Blöcken ausgeübt werden kann, ohne die Blöcke zu stark zu bewegen, so dass diese Bewegungen vernachlässigt werden können. Dies ist vergleichbar mit einem nicht dehnbaren Seil. Um ein Seil zu modellieren, gehen wir außerdem davon aus, dass die Federn nicht unter Druck arbeiten können, sondern nur unter Spannung, wobei die auf die Feder ausgeübte Kraft bei Druck Null ist (bei negativer Spannung).

Legen Sie beispielsweise die Blöcke auf die runde Oberfläche der Frage bei 30, 45 und 60 Grad relativ zur Horizontalen. Stellen Sie sich zunächst vor, dass Sie die Blöcke ohne Spannung in den Federn im Gleichgewicht positionieren. Dies ist sicherlich möglich, wenn der Reibungskoeffizient groß genug ist. Fügen Sie nun etwas Spannung in der 45- bis 60-Grad-Feder hinzu. Die Spannung ändert sich, was die Reibung ändert, und wir sind immer noch im Gleichgewicht. Also die Frage

Wir müssen Spannung als Funktion von Theta finden

Ist nicht eindeutig bestimmt. Was ich denke, ist gemeint, wie groß die Spannung als Funktion von Theta ist, wenn der Reibungskoeffizient minimal ist. Meine Vermutung, warum die Spannung in dem Teil der ursprünglichen Frage, der ein Problem verursacht, vernachlässigt wird, ist, dass die Lösung das gesamte Seil als Einheit genommen und versucht hat, die Gesamtreibung zu bestimmen. Das Freikörperdiagramm für das Seil würde naiverweise für jedes Element Gravitationskraft, Normalkraft und Reibung enthalten, und dann integriert man, um diese Gesamtkräfte zu haben, und da die Spannung an beiden Enden Null ist, sonst nichts. Spannung kann aber, wie oben gesehen, nicht so einfach vernachlässigt werden. Das wäre so, als würde man annehmen, dass beim Ersatz des Seils durch eine Klemme die Schnittgrößen in der Klemme vernachlässigt werden können. Die einzige Möglichkeit, Spannung auf diese Weise zu vernachlässigen, ist, wenn die Spannung irgendwie viel kleiner ist als die Schwerkraft und Reibung überall. Zumindest in der ersten Abbildung ist dies wahrscheinlich nicht der Fall. Für den Teil des Seils, der sich in der Nähe von Punkt B befindet, liegt die Spannung in der Größenordnung der Schwerkraft, da beide Kräfte nahezu vertikal sind, sodass die Reibung vernachlässigbar ist. Wenn Sie jedoch ein Seilstück nehmen, das beispielsweise 10 Grad von Punkt B überspannt, ist die Spannung am gebundenen Ende relativ zur Vertikalen um 10 Grad orientiert (und in der Größenordnung des Gewichts des Seilstücks). und es wird aufgrund dieser Spannung eine Normalkraft geben, die zusätzlich zu den Beiträgen der Schwerkraft eine gewisse Reibung erzeugt. Da beide Kräfte nahezu vertikal sind, ist die Reibung vernachlässigbar. Wenn Sie jedoch ein Seilstück nehmen, das beispielsweise 10 Grad von Punkt B überspannt, ist die Spannung am gebundenen Ende relativ zur Vertikalen um 10 Grad orientiert (und in der Größenordnung des Gewichts des Seilstücks). und es wird aufgrund dieser Spannung eine Normalkraft geben, die zusätzlich zu den Beiträgen der Schwerkraft eine gewisse Reibung erzeugt. Da beide Kräfte nahezu vertikal sind, ist die Reibung vernachlässigbar. Wenn Sie jedoch ein Seilstück nehmen, das beispielsweise 10 Grad von Punkt B überspannt, ist die Spannung am gebundenen Ende relativ zur Vertikalen um 10 Grad orientiert (und in der Größenordnung des Gewichts des Seilstücks). und es wird aufgrund dieser Spannung eine Normalkraft geben, die zusätzlich zu den Beiträgen der Schwerkraft eine gewisse Reibung erzeugt.

Naiverweise würde man meinen, dass die Reibung in der Nähe von B, aber nicht genau bei B, doppelt so hoch wäre wie die Reibung, die ausgeübt wird, wenn die Spannung vernachlässigt wird. Tatsächlich wirken Schwerkraft und Reibung ungefähr in entgegengesetzte Richtungen und sind ungefähr gleich stark. Da die durch diese Kräfte erzeugte Normalkraft klein ist, was die Reibung bestimmt, kann Reibung keine große Rolle bei der Verringerung der Spannung spielen.

Abschließend, ohne das Originalmaterial, aus dem die Fragen stammen, und die Originallösungen zu sehen, ist es falsch zu sagen, dass die Spannung bei der Berechnung der Reibung vernachlässigt werden kann. Es kann etwas im ursprünglichen Problem geben, das darauf hindeutet, dass man dies tun sollte, oder die Antwort kann einfach falsch sein. Ich habe Universitätsprofessoren Fehler machen sehen, und ich habe Fehler in Lehrbüchern gesehen.

Bei Frage 1 beginnen wir damit, die Kräfte aufzuzählen, die auf ein kleines Stück Seil ganz am Ende wirken, das ich das Seilelement nennen werde. Wir haben Schwerkraft, Reibung und, wenn es eine gibt, Spannung. Beachten Sie, dass, da wir ganz am Ende sind, nur auf einer Seite des Seilelements Spannung vorhanden ist. Reduziert man nun die Länge des Seilelements gegen Null, so gehen Reibung und Gravitation gegen Null. Spannung ist jedoch ein Grenzphänomen am gebundenen Ende des Seilelements. Die Spannung hängt nicht davon ab, was innerhalb des Seilelements passiert, sondern nur von dem, was an der Schnittstelle zwischen dem Seilelement und dem Rest des Seils passiert. Wenn die Spannung für ein sehr kleines Seilelement ungleich Null wäre, würde das Seilelement sehr schnell beschleunigen, da die Spannung die einzige Kraft wäre, die auf das Seilelement mit sehr geringer Masse ausgeübt würde, da die anderen beiden Kräfte gegen Null gehen. Die einzige Bedingung, die zu einem statischen Zustand führt, ist eine Spannung, die am Ende mindestens so schnell gegen Null geht wie die anderen beiden Kräfte (gleiche Größenordnung in der Länge des Seils).

Auf der linken Seite gibt es keine Massenelemente, aber die rechten werden definitiv eine Kraft ausüben.

Es ist richtig, wenn wir annehmen, dass die Reibung nicht konstant ist. Wenn rechts fast keine Reibung vorhanden ist, muss das Gewicht nur vom letzten Teil links getragen werden. Als wäre es dort festgenagelt.

Angenommen, alle Elemente haben eine Reibungskraft$\Delta F_a = \Delta T - W_t$, (das bedeutet genug Reibung, um die Differenz zwischen der tangentialen Gewichtskomponente und der Spannungsdifferenz im Element auszugleichen).

Wenn die Analyse zum letzten Element kommt,$\Delta T = T$. Die freie Seite hat nichts, was sie zieht, und die innere Seite hat alle Spannungen dieser Region. Die Spannung geht folglich gegen Null, wenn man zu den freien Enden geht.

Die Kräfte in der senkrechten Reaktion sind Normalkraft, eine Gewichtskomponente, und Tdθ

Das Kräftegleichgewicht in einem Element sollte berücksichtigt werden$\Delta T$und nicht$T$. Aber es ist nur für die tangentiale Richtung vorhanden, wie zuvor gezeigt.

Senkrecht zur Oberfläche gibt es nur:$W_N = N$(die Komponente des Gewichts normal zur Oberfläche wird durch die Normalkraft ausgeglichen)

Wie von Jain Koustubh angedeutet, kann man mit einem kleinen Massestrangsegment arbeiten: dm = λR(dθ). Dann wären die Radialkräfte: dN – g(dm)sinθ – T(dθ) = 0 und die Tangentialkräfte dT + df – g(dm)cosθ = 0, wobei dN, df und dT die kleinen Kräfte Normal, Reibung sind , und Spannung im Zusammenhang mit dm. (Die T(dθ) ist die radiale Änderung des Vektors T, die vernachlässigbar angenommen werden muss, um die Berechnungen einfach zu halten.) Ich denke, wir können davon ausgehen, dass die Reibung proportional zur Normalkraft ist: df = u(dN) = ug(dm)sinθ wobei u eine Proportionalitätskonstante ist und vielleicht nicht der Standard-Haftreibungskoeffizient, der die maximal zulässige Reibung angibt. Mit diesem Reibungsausdruck in der Tangentialgleichung kann man nach dT auflösen und dann vom unteren Ende integrieren, um T als Funktion des Winkels zu finden. Ich habe T als Funktion von θ wie oben angegeben gefunden, es oben gleich Null gesetzt und u = 1 gefunden. Dann habe ich eine numerische Simulation für Skizze 1 (auf einer Tabelle) eingerichtet und in Schritten von einem halben Grad gearbeitet. Die Simulation stimmte mit meinen Berechnungen überein. Schließlich habe ich die Simulation so modifiziert, dass sie T(dθ) enthält. Das Ergebnis war u = 0,727. Natürlich kann T(dθ) nicht ignoriert werden. Nach weiterem Nachdenken habe ich meine Simulation so „abgestimmt“, dass sie über 90 Grad hinaus funktioniert (mit T(dθ)), habe u = (1/3) eingegeben und festgestellt, dass die Spannung an beiden Enden der 90 Grad liegt arc wäre Null, wenn der Winkel auf der linken Seite 67,8 Grad wäre. Ohne T(dθ) betrug der Winkel 63,7 Grad. Die Simulation stimmte mit meinen Berechnungen überein. Schließlich habe ich die Simulation so modifiziert, dass sie T(dθ) enthält. Das Ergebnis war u = 0,727. Natürlich kann T(dθ) nicht ignoriert werden. Nach weiterem Nachdenken habe ich meine Simulation so „abgestimmt“, dass sie über 90 Grad hinaus funktioniert (mit T(dθ)), habe u = (1/3) eingegeben und festgestellt, dass die Spannung an beiden Enden der 90 Grad liegt arc wäre Null, wenn der Winkel auf der linken Seite 67,8 Grad wäre. Ohne T(dθ) betrug der Winkel 63,7 Grad. Die Simulation stimmte mit meinen Berechnungen überein. Schließlich habe ich die Simulation so modifiziert, dass sie T(dθ) enthält. Das Ergebnis war u = 0,727. Natürlich kann T(dθ) nicht ignoriert werden. Nach weiterem Nachdenken habe ich meine Simulation so „abgestimmt“, dass sie über 90 Grad hinaus funktioniert (mit T(dθ)), habe u = (1/3) eingegeben und festgestellt, dass die Spannung an beiden Enden der 90 Grad liegt arc wäre Null, wenn der Winkel auf der linken Seite 67,8 Grad wäre. Ohne T(dθ) betrug der Winkel 63,7 Grad.