Positionsvektor vs. Polarkoordinaten

In einem kartesischen Koordinatensystem gilt

$$\mathbf{r}=x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y}+z\mathbf{\hat z}$$

Wo$\mathbf{r}$ist der "Positionsvektor". Zusätzlich,$r$(nicht fett gedruckt) wird normalerweise gleich der Entfernung vom Ursprung zu Ihrem Point of Interest genommen, dh

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

was in jedem Koordinatensystem gilt (unter der Annahme einer euklidischen Norm). Mit diesen beiden Definitionen ist das selbstverständlich

$$\mathbf{r}=r\mathbf{\hat r}$$

Dieser Ausdruck sagt nur, dass Ihr Positionsvektor in die Richtung Ihres normalisierten Positionsvektors zeigt und dass seine Größe ist$r$. Auch dieser Ausdruck gilt für jedes Koordinatensystem.

Es ist wirklich wichtig, dies zu beachten, wenn es sich um einen Punkt von Interesse handelt$p$gleich$(r,\theta,\phi)$in sphärischen Koordinaten (zum Beispiel), dann$\mathbf{r}$ist nicht gleich$r\mathbf{\hat r}+\theta \mathbf{\hat \theta} +\phi \mathbf{\hat \phi}$. Sie können dies sehen, indem Sie einfach die Einheiten der Vektoren und die Größen betrachten$r$,$\theta$, Und$\phi$. Stattdessen zu finden$\mathbf{r}$in sphärischen Koordinaten (oder jedem anderen Koordinatensystem) müssen Sie die bekannten Ausdrücke für verwenden$x$,$y$,$z$,$\mathbf{\hat x}$,$\mathbf{\hat y}$, Und$\mathbf{\hat z}$.

Es ist ebenso wichtig zu wissen, dass die Einheitsvektoren$\mathbf{\hat r}$,$\mathbf{\hat \theta}$, Und$\mathbf{\hat \phi}$ ändern sich mit Position (und Zeit). Sie sind also eigentlich Funktionen von$x$,$y$, Und$z$(oder$x(t)$,$y(t)$, Und$z(t)$).

Nebenbei leider viele Lehrbücher auch verwenden$r$um den Abstand von einem Punkt zur z-Achse in Kreis-/Zylinderkoordinaten anzugeben. Wie jemand anderes bereits sagte, sind diese beiden Definitionen nicht miteinander kompatibel und können ziemlich verwirren. Bessere Notation ist$(\rho, \phi)$oder$(s, \phi)$, so dass

$$s=\rho=\sqrt{x^2+y^2}$$

Bei jedem neuen Lehrbuch, Papier usw. ist es wichtig zu verstehen, wie sie ihre Grundkoordinaten definieren.

Schließlich, um Ihre Frage zu beantworten, die Zeitableitung von$\mathbf{r}$Ist

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d(r\mathbf{\hat r})}{dt}$$

... aus dem einfachen Grund, dass$\mathbf{r}$IMMER gleich$r\mathbf{\hat r}$. Beachten Sie, dass dieser Ausdruck etwas schwierig zu berechnen ist, da$\mathbf{\hat r}$ist eigentlich eine Funktion von Ort und Zeit.

In jedem Koordinatensystem

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y}+z\mathbf{\hat z})$$

$z = 0$in Polarkoordinaten, so dass

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y})=\frac{dx}{dt}\mathbf{\hat x}+\frac{dy}{dt}\mathbf{\hat y}=\frac{d (\rho \cos{\phi})}{dt}\mathbf{\hat x}+\frac{d (\rho \sin{\phi})}{dt}\mathbf{\hat y}$$

Ihr zitierter Ausdruck ist richtig, weil es sich um eine einfache Aussage handelt

$$\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{\hat x}+y(t)\mathbf{\hat y}$$

So haben wir den Positionsvektor überhaupt definiert.

Wie Sie andeuten, ist der Positionsvektor,$\mathbf r$, kann als Summe von drei kartesischen Komponenten ausgedrückt werden:

$$\mathbf r=x\mathbf {\hat x}+y\mathbf {\hat y}+z\mathbf {\hat z}$$ Dies ist in Polaren nicht möglich. Das Problem ist, dass es keine Einheitsvektoren gibt$\mathbf{\hat r}, \mathbf {\hat \theta}, \mathbf {\hat \phi}$das sind konstante Vektoren, genauso wie$\mathbf {\hat x}, \mathbf {\hat y}$Und$\mathbf {\hat z}$sind konstante Vektoren. [Wir können ausdrücken$d\mathbf r$in Bezug auf lokale Einheitsvektoren$\mathbf{\hat r}, \mathbf {\hat \theta}, \mathbf {\hat \phi}$, aber dies kann nicht auf endliche Verschiebungsvektoren erweitert werden.]

Wenn wir also Polare verwenden wollen, verwenden wir die Koordinaten,$r, \theta, \phi$, aber wir sehen sie nicht als skalare Koeffizienten von Einheitsvektoren.

Wie bereits gekonnt ausgeführt wurde, belässt man den Verschiebungsvektor bei$\mathbf r$ist auf kein Koordinatensystem festgelegt.

Korrigieren Sie einen Vektorraum$V$von Dimension$n$. Lassen Sie uns auch ein kartesisches und ein polares Koordinatensystem festlegen.

Nun, die Unterscheidung, die Sie sehen, beruht im Wesentlichen auf der Tatsache, dass die radiale Richtung in Polarkoordinaten von allen kartesischen Richtungen abhängt, und wir erwarten, dass dies der Fall ist$n$Richtungen der Freiheit (dof). Der normalisierte radiale Vektor ist jedoch darauf beschränkt, auf der Einheitskugel zu liegen, und hat daher einen einzigen dof weniger.

Somit ermöglicht der mit einem gewissen Maßstab multiplizierte radiale Vektor, den Raum abzudecken. Dies ist, was Sie sehen Jedes andere Koordinatensystem mit derselben Eigenschaft wäre in der Lage, dasselbe zu tun.

Nun die Vektoren ($\hat x_i$) ebenso gut wie ($\hat r, \hat \theta_i$), obwohl Vektoren, leben nicht im gegebenen Vektorraum$V$. Sie liegen drin$TV$, der Tangentialraum von$V$. Dies ist ebenfalls ein Vektorraum und von der doppelten Dimension von$V$und so hat es Dimension$2n$. Genau genommen sind sie Tangentenvektoren. Genauer gesagt handelt es sich tatsächlich um Tangentialfelder. Es ist nur, wenn Sie eine Position angeben$p$(was hier ein Vektor ist, da unser zugrunde liegender Raum ein Vektorraum ist), dass Sie beispielsweise einen Tangentenvektor erhalten$\hat r(p)$und dies lebt im Tangentialraum$T_pV := TV[p]$.

Nun der Ausdruck:

$x^i(p).\hat x_i(p)$

ist dann nur noch ein allgemeiner Tangentenvektor at$p$.

so ist der ausdruck:

$r(p).\hat r(p) + \theta^i(p).\hat \theta_i(p)$

Die zwei Familien von Tangentenvektoren${\hat x_i(p)}$Und${\hat r(p),\hat \theta_i(p)}$sind beide Basen von$T_pV$und die Transformationsmatrix zwischen ihnen ändert Tangentenvektoren (und nicht Positionsvektoren!), die in einem Koordinatensystem ausgedrückt sind, in ein anderes.

Insbesondere der Ausdruck:

$x^i(p).\hat x_i(p)$

macht im Allgemeinen - also über einem gekrümmten Raum - keinen Sinn. Warum? Weil$x^i(p)$sind die Komponenten eines Vektors und nicht eines Tangentenvektors, und daher sollten wir dies nicht über die Tangentenbasis summieren. Der Grund, warum wir dies tun können, ist, dass die Tangentialräume des Vektorraums einen kanonischen Isomorphismus mit dem zugrunde liegenden Vektorraum haben. In diesem Ausdruck können wir also auch denken$\hat x_i(p)$da auch im Vektorraum liegen und somit die Summe sinnvoll ist.

Die Position wird als Vektor angegeben$\vec r$. Verwendung von Polarkoordinaten$\vec r$wird mit angegeben$r$Und$\theta$. Lassen$\hat n$ein Einheitsvektor sein, der die Richtung angibt$\vec r$;$\vec r = r \hat n$. (Sie nutzen$\hat r$für den Einheitsvektor verwende ich$\hat n$den Unterschied machen zwischen$\hat r$Und$\hat n$klarer.)$\hat n$hat die Größe eins, ist aber nicht in der Richtung festgelegt;$\hat n$kommt drauf an$\theta$, So$\vec r = r \hat n(\theta)$.

Die Geschwindigkeit$\vec v$wird gegeben von:$\vec v = {d \over dt} \vec r = {dr \over dt} \hat n + r {d \hat n \over dt} = {dr \over dt} \hat n + r{d\hat n \over d\theta}{d\theta \over dt}$.

Lassen$\hat l$sei ein Einheitsvektor in der$\theta$Richtung. (Sie nutzen$\hat \theta$für den Einheitsvektor verwende ich$\hat l$.)${d \over d\theta} \hat n = \hat l$. So,$\vec v = {dr \over dt} \hat n + r {d \theta \over dt} \hat l$.

Informationen basierend auf OP-Kommentar hinzugefügt. $\vec r \ne r\hat n + \theta\hat l$; Position hängt nicht davon ab$\hat l$. Geschwindigkeit und Beschleunigung hängen beide davon ab$\hat l$ebenso gut wie$\hat n$. Sehen Sie sich ein gutes Physik-Mechanik-Buch an.

Die folgende Abbildung erklärt, wie derselbe Positionsvektor$\vec r$kann unter Verwendung der Polarkoordinaten-Einheitsvektoren ausgedrückt werden$\hat n$Und$\hat l$, oder unter Verwendung der kartesischen Koordinateneinheitsvektoren$\hat i$Und$\hat j$, Einheitsvektoren entlang der kartesischen x- bzw. y-Achse.$\hat n$Und$\hat l$sind nicht in Richtungen festgelegt, sie bewegen sich als$\theta$Änderungen.$\hat i$Und$\hat j$sind in Richtungen entlang ihrer jeweiligen festen Achsen fixiert.

Dein$r$'s spielen mehrere Rollen.

Lassen Sie stattdessen$\vec R$sei der Positionsvektor ($\vec R=R\hat R$), und lass$r$sei die radiale Koordinate in (sagen wir)$(r,\theta,\phi)$.

Nun also der Positionsvektor$\vec R$und ihre zeitliche Ableitung ist die Geschwindigkeit$\vec V=\frac{d}{dt}\vec R$,
die in einem beliebigen Satz von Koordinaten ausgedrückt werden könnte,
z. B. rechteckig$(x,y,z)$oder kugelförmig$(r,\theta,\phi)$oder zylindrisch$(s,\theta,z)$.